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河南科技大学数值分析(计算方法)期末复习画题资料

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1. 数值积分公式形如（15）1'0100()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f =++⎰(1) 试确定求积公式中的参数010,,A A B ，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。

(2) 已知该求积公式余项'''[](),(0,1),R f kf ξξ=∈试求出余项中的参数k 。

（1）解：()1f x =时，左1()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右01B A =+，左＝右得：0112B A +=2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：113A =联立上述三个方程，解得：001211,,363A B A ===3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113A ==，左≠右所以，该求积公式的代数精度是2 （2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰112201()()!))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72f ζ'''=-所以，172k =-2. 设初值问题 101)0(23<<⎩⎨⎧=+='x y yx y .写出用改进的Euler 法解上述初值问题数值解的公式，若0.2h =，求解21,y y ，保留两位小数。

（10分）.解：改进的Euler 公式是：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩ 具体到本题中，求解的公式是：11110.2(32) 1.40.60.1[3232](0)1n n n n n nn n n n n n y y x y y x y y x y x y y ++++=++=+⎧⎪=++++⎨⎪=⎩代入求解得：1 1.4y =,1 1.54y =222.276, 2.4832y y ==3. 分别用梯形公式，复化梯形公式计算积分：1011dx x +⎰其中在用复化梯形公式求积分时，步长2.0=h 。

（10分） 梯形公式为:(()())2b aT f a f b -=+1120.752+==复化梯形公式为:11(()2()())2n n i i hT f a f x f b -==++∑具体到本题中,可知0.2,0,1h a b ===461((0)2()(1))2i i hT f f x f ==++∑=0.1(1.5 5.456)0.6956⨯+=4.用改进的欧拉方法求解初值问题：'2(00.4)(0)0y x x yx y ⎧=+-≤≤⎨=⎩取步长2.0=h ，计算过程中保留到小数点后四位。

（10分） .改进的Euler 公式为:1111(,)((,)(,))2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩ 具体到本题中,则为212221()[()()()]2n n n n n n n n n n n n n n n n y y h x x y h y y x x y x h x h y h x x y ++⎧=++-⎪⎨=++-++++--+-⎪⎩经化简为:210.820.180.220.024n n n n y y x x +=+++所以:(0.2)0.024y ≈0 (0.4)0.0949y ≈5.证明: 设()1,,(11)2b af x b a b a -=-=+=-左=右,左=右 2222(),(),()(),2b a f x x b a b a b a-=-=⨯+=-11左=右22左=右332(),b a f x x -=左=3,右322322()()2b a b ba ab a a b -+--=⨯+=2,左≠右所以,该公式具有一次代数精度. 6. 用两点Gauss-Legendre 求积公式求积分11xdx -⎰解：两点Gauss-legrende 求积公式为：11()(f x dx f f -=+⎰所以11033xdx -=-+=⎰7. 用欧拉法求解常微分方程组初值问题：（10分） '112'21212324(0)0,(0)1y y y y y y y y ⎧=+⎪=+⎨⎪==⎩ 在[0,0.4]上的数值解,取步长2.0=h ，计算过程中保留两位小数。

（10分）Euler 公式为:1(,)n n n n y y hf x y +=+具体到本题中,则为1,11,1,2,2,12,1,2,12(32)(4)(0)0,(0)1n n n n n n n n y y h y y y y h y y y y ++=++⎧⎪=++⎨⎪==⎩ 又因为：0.2h =所以上述求解公式可化简为:1,11,2,2,11,2,121.60.40.8 1.2(0)0,(0)1n n n n n n y y y y y y y y ++=+⎧⎪=+⎨⎪==⎩ 所以:1,12,10.4, 1.2y y ==；1,22,21.12, 1.76y y ==8.分别写出用雅可比（Jacobi ）迭代，高斯—赛德尔迭代求解方程组：123122111132212x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的迭代公式.并判断用高斯—赛德尔迭代法求解该方程组的收敛性。

(15分).解:Jacibo 迭代公式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩Gauss-Seidel 迭代公式为:(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩(2)解:设矩阵A 可分解为三个矩阵的和,即A D L U =--,其中100221,10,0112200D L U --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11100100()110110221021D L --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以, Gauss-Seidel 迭代的迭代矩阵1100022022()110012102102G B D L U -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-==-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221(2)02G I B λλλλλλ-=+=+=+可求得0,2λλ==- 所以,()21G B ρ=>所以,用Gauss-Seidel 迭代法求解该方程组是发散的.9.证明(10分)1.设3[,]()a b f x C ∈,已知插值节点012,a x x x b =<<=且1i i x x h --=,1,2i =,证明: (1)()f x 在[,]a b 上的线性插值函数1()L x 的误差界为21()max ()()max ()8a xb a x b b a f x L x f x ≤≤≤≤-''-≤ (2)二次插值多项式2()L x 的误差界为2max ()()()a x b a x bf x L x f x ≤≤≤≤'''-≤ 1证明: 因为1()L x 是()f x 在[,]a b 上的线性插值函数 所以有插值余项公式可知其插值余项为：1()()()()2!f x R x x a x b ''=--，其中a x b ≤≤ 即：1()()()()()2!f x f x L x x a x b ''-=--令()()()g x x a x b =--，a x b ≤≤易知：2()()4b a g x -≥-，所以：2()()4b a g x -≤1()max ()()max()()2!a x ba x bf x f x L x x a x b ≤≤≤≤''-=-- ()max ()max2!a xb a x b f x g x ≤≤≤≤''≤2()max ()8a x b b a f x ≤≤-''≤ 10. 证明: 因为2()L x 是()f x 在[,]a b 上的二次插值多项式 可知其插值余项为：2012()()()()()2!f x R x x x x x x x ''=---，其中02x x x ≤≤ 即：2012()()()()()()3!f x f x L x x x x x x x ''-=--- 令012()()()()g x x x x x x x =---，02x x x ≤≤ 令102,11x x th x x x t =+≤≤-≤≤由可知321()()(1)g x g x th h t t =+=-令3()t t t ϕ=-，则2()310t t t ϕ'=-=⇒=所以，11max ()max (1),(,(),(1)339t t ϕϕϕϕϕ-≤≤⎧⎫⎪⎪=----=⎨⎬⎪⎪⎩⎭1012()max ()()max()()()3!a x ba x bf x f x L x x x x x x x ≤≤≤≤''-=--- ()max ()max3!a x ba x bf xg x ≤≤≤≤'''≤331max ()max ()3!a x b a x bf x h f x ≤≤≤≤''''≤⨯=11．用Euler 方法求解初值问题'(0)0y x yy ⎧=-⎨=⎩取0.1h =在区间[0,0.3]计算,结果保留到小数点后4位。

(10分） .解：Euler 公式是：100(,)()n n n n y y hf x y y x y +=+⎧⎨=⎩ 具体到本题中，求解的Euler 公式是：10.1()0.90.1(0)0n n n n n ny y x y y x y +=+-=+⎧⎨=⎩ 代入求解得：10y =20.01y =30.029y =12. 用LU 分解法解线性方程组（10分）123123142521831520x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解，设A 可以三解分解，即111213212223313233111u u u A LU l u u ll u ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由矩阵的乘法及矩阵相等可得：121351L ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 1231424U ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭令,L ,Ux y Ax b y b Ux y ====则可转化为两个等价的三角方程组： 求解三角方程组：Ly b =，得：(14,10,72)y T =-- 求解三角方程组：Ux y =，得：(1,2,3)x T = 所以，原方程组的解为：(1,2,3)x T = 13试证明线性二步法：111111[(,)(,)]n n n n n n y y h f x y f x y +-++--=++的局部截断误差与3h 同阶，并求出截断误差的首项。

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数值分析期末考试和答案

数值分析期末考试和答案

数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。

答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。

答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。

答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。

答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。

数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。

答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。

答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。

答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。

答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。

解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。

拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。

河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷1及参考答案

河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷1及参考答案

7,2]= ,2]=8--参考答案一.填空 1. 舍入误差 2. 115,1,0 3.(1)(1)011()()()()()().(()())(1)!(1)!n n n n f f R x x x x x x x orR x w x n n ξξ+++=---=++4. 15.2211()()()2()()2k k k k k k k k k k k kx f x f x x x x orx x x f x f x x ++--=-=-''--6. 有7. 18. 1121212213k kk kx x x x ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 二.计算1.解:构造差商表:--所以,22()2H x x x =+证明:设2()()()R x f x H x =-222(0)(0),(0)(0),(1)(1)f H f H f H ''=== (0)(0)(1)0R R R '∴=== 所以,可设2()()(1)R x k x x x =- 构造函数:22()()()()(1)t f t H t k x t t ϕ=---显然()(0)(0)(1)0x ϕϕϕϕ'====因为函数()t ϕ在所给的插值区间至少有4个根且函数()t ϕ'''存在, 所以函数()t ϕ'''在所给的插值区间至少有1个根,即存在一点ξ,满足: ()0ϕξ'''=又()()3!()t f t k x ϕ''''''=-()()()3!()0()3!f f k x k x ξϕξξ'''''''''∴=-=⇒=--所以22()()()(1)(1)3!f R x k x x x x x ξ'''=-=- 2.梯形公式为:(()())2b aT f a f b -=+1120.752+==复化梯形公式为:11(()2()())2n n i i hT f a f x f b -==++∑ 具体到本题中,可知0.2,0,1h a b ===461((0)2()(1))2i i hT f f x f ==++∑=0.1(1.5 5.456)0.6956⨯+= 3.改进的Euler 公式为:1111(,)((,)(,))2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩ 具体到本题中,则为212221()[()()()]2n n n n n n n n n n n n n n n n y y h x x y h y y x x y x h x h y h x x y ++⎧=++-⎪⎨=++-++++--+-⎪⎩--经化简为:210.820.180.220.024n n n n y y x x +=+++所以:(0.2)0.024y ≈0 (0.4)0.0949y ≈5解(1):A 为对称正定矩阵时, 线性方程组Ax b =可用平方根法求解. 由A A T =可知3,5a b ==.(2)因为矩阵A 对称正定,所以存在下三角阵L 使得:A LL T =即:1111213121222232313233333350035900591700l l l l A l l l l l l l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求得:112131223233l l l l l l ======即00L⎛⎫⎪⎪⎪=⎪所以,方程组Ax b=就转化为LL x bT=,令L x yT=,解下三角形方程组Ly b=得(y T=;解上三角形方程组L x yT=得(1,1,2)x T=-所以原方程组的解为: (1,1,2)x T=-5.解:Jacibo迭代公式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223222k k kk k kk k kx x xx x xx x x+++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩Gauss-Seidel迭代公式为:----(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩三.证明: 设()1,,(11)2b a f x b a b a -=-=+=-左=右,左=右 2222(),(),()(),2b a f x x b a b a b a -=-=⨯+=-11左=右22左=右332(),b a f x x -=左=3,右322322()()2b a b ba ab a a b -+--=⨯+=2,左≠右 所以,该公式具有一次代数精度.。

数值分析期末考试题及答案

数值分析期末考试题及答案

数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。

答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。

它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。

2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。

例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。

答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。

2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。