Cauchy积分公式

2π i， n = 0 dz ∫C ( z − z0 )n+1 = n≠0 0，
☺ 对于普通的在 C 内部具有唯一奇点 z0 的 函数，设 f 是解析函数，如何求沿 C 的积分？
f ( z) ∫C ( z − z0 )n+1 dz
☺ 对于普通的在 C 内部具有唯一奇点 z0 的 函数，设 f 是解析函数，如何求沿 C 的积分？
lim i ∫
r →0
0
f ( z) f ( z0 + re )dθ = ∫C z − z0 dz
iθ
C
因此，
∫
f ( z) dz = 2π if ( z0 ) z − z0
定理（Cauchy 积分公式）： 假设 f 在区域 D 内解析； C 是 D 内的简单闭曲线，正向； C 围住部分都在 D 内； z0 在 C 内部。 则
z
e dz 例3： 计算积分 2 ∫C ( z − 1)( z − 3) ，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
z
e dz 2 ∫C ( z − 1)( z − 3) e 1 = dz ∫C ( z − 1)( z + 1) z − 3 e 1 1 1 ∫C 2 ( z − 1 − z + 1) z − 3 dz
z
1 e e = dz dz 2 2 2 2 ∫C ( z + 1) ∫C1 ( z − i) ( z + i) 1 e + ∫C2 ( z + i)2 ( z − i)2 dz
z
z
z
在 C1 内 解 析
e 例5： 计算积分 ∫C ( z 2 + 1)2 dz，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
0
2π
+i ∫
2π
0
v( x0 + r cos θ，y0 + r sin θ )dθ
= 2π u ( x0 + r cos θ1，y0 + r sin θ1 ) +i 2π v( x0 + r cos θ 2，y0 + r sin θ 2 )
☺ 第三步，将参数消掉。 注意到圆周是任意的，即半径 r 为任意 正数。
定理：设（1）f 在单连通区域 D 内解析，在 D+C 上连续；（2）C 是 D 的正向边界；则
f
(n)
n! f ( z) ( w) = dz n 1 + ∫ 2π i C ( z − w)
要求单连通区域，目的是为了保证被积 函数在C内只有一个奇点 对于多连通区域，割开即可
e 例4： 计算积分 ∫C ( z − 1)3 dz ，
z
莫勒拉定理：设 f 在单连通区域 D 内连续， 对 D 内任一围线 C，都有 则 f 在 D 内解析。
∫
C
f ( z )dz = 0
莫勒拉定理：设 f 在单连通区域 D 内连续， 对 D 内任一围线 C，都有 则 f 在 D 内解析。
∫
C
f ( z )dz = 0
定理：设 f 在单连通区域 D 内连续，则 f 在 D 内解析
回顾复变函数沿简单闭曲线的积分 f 在 C 内没有奇点，由 Cauchy-Goursat 定理
∫
C
f ( z )dz = 0
回顾复变函数沿简单闭曲线的积分 f 在 C 内没有奇点，由 Cauchy-Goursat 定理
∫
C
f ( z )dz = 0

f 在 C 内有唯一的奇点 z0
1 f ( z) f ( z0 ) = dz ∫ 2π i C z − z0
sin z dz 例1： 计算积分 ∫C z ，
其中，C 为正向圆周 |z|=1。
sin z dz 例1： 计算积分 ∫C z ，
其中，C 为正向圆周 |z|=1。 分析与解： 此时奇点 z=0 在 C 的内部，由 Cauchy 积分公式可得
例7：P56，T10
例6： f(z)=z-3 在整个复平面上除0外解析， 对于该区域中的围线C， 若0在C外面，则由Cauchy-Goursat定理 知沿C积分为0 若0在C内，沿C积分也为0（P41例3.5）
⇔
f 沿 D 内任一围线积分为0 ⇔ f 的曲线积分与路径无关
例6： f(z)=z-3 在整个复平面上除0外解析， 对于该区域中的围线C， 若0在C外面，则由Cauchy-Goursat定理 知沿C积分为0 若0在C内，沿C积分也为0（P41例3.5）
例6： f(z)=z-3 在整个复平面上除0外解析， 对于该区域中的围线C， 若0在C外面，则由Cauchy-Goursat定理 知沿C积分为0 若0在C内，沿C积分也为0（P41例3.5）
1 2z ( + ) dz 例2： 计算积分 ∫C z + 5 z − 3 ，
其中，C 为正向圆周 |z|=4。
1 2z ∫C ( z + 5 + z − 3 )dz 1 2z = ∫C z + 5 dz + ∫C z − 3 dz = 0 + 2π i 2 z |z =3 = 12π i
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
z
e 例4： 计算积分 ∫C ( z − 1)3 dz ，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。 解：奇点 z=1 在 C 的内部，n=2，因此
z
e 2π i d z π ei e = 2 ∫C ( z − 1)3 dz = 2! dz z =1
z 2
e 例5： 计算积分 ∫C ( z 2 + 1)2 dz，
z
1 ez ∫C1 ( z − i)2 ( z + i)2 dz d e = 2π i 2 dz ( z + i ) =
z
z =i
π
2
[(cos1 + sin1) + i (sin1 − cos1)]
e 例5： 计算积分 ∫C ( z 2 + 1)2 dz，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
z
z
e dz 例3： 计算积分 2 ∫C ( z − 1)( z − 3) ，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。 或取 C1、C2 为以±1为圆心 1/3 为半径的圆周
z
1 e e dz = dz 2 ∫C ( z − 1)( z − 3) ∫C1 z − 1 ( z + 1)( z − 3)
iθ
0 ≤ θ ≤ 2π
其中，r 为半径，可以取任意的正数。 考虑最简单的情形：n=0，则
∫
C
f ( z) dz z − z0
∫
2π
0 2π
f ( z0 + re ) iθ d ( z0 + re ) iθ re f ( z0 + re )dθ
iθ
iθ
= i∫
0
☺ 第二步，分实部和虚部
∫
2π
0
z
e dz i (sin1 cos 1) = π − 2 2 ∫C ( z + 1)
z
e 例5： 计算积分 ∫C ( z 2 + 1)2 dz，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
z
e dz i (sin1 cos 1) = π − 2 2 ∫C ( z + 1)
☺ 关键是保证闭曲线内仅有一个奇点 ☺ 用一些充分小的圆将奇点分割孤立
sin z dz 2= π i sin 0 0 ∫C = z
1 2z ( + ) dz 例2： 计算积分 ∫C z + 5 z − 3 ，
其中，C 为正向圆周 |z|=4。
1 2z ( + ) dz 例2： 计算积分 ∫C z + 5 z − 3 ，
其中，C 为正向圆周 |z|=4。 分析与解： 两个奇点 z1=-5，z2=3，其中 z2=3 在 C 的内部，由 Cauchy-Goursat 定理及 Cauchy 积分公式可得
z
1 ez ∫C2 ( z + i)2 ( z − i)2 dz d e = 2π i 2 dz ( z − i )
z
z = −i
= [(− cos1 − sin1) + i (sin1 − cos1)] 2
π
e 例5： 计算积分 ∫C ( z 2 + 1)2 dz，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
f ( z) ∫C ( z − z0 )n+1 dz
☺ 第一步，将 C 变成参数方程容易求的简 单闭曲线——圆周（被积函数只有一个 奇点 z0 ，利用闭路变形原理）
圆周的参数方程为
z = z0 + re ，
iθ
0 ≤ θ ≤ 2π
其中，r 为半径，可以取任意的正数。
圆周的参数方程为
z = z0 + re ，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
z
1 e e = dz dz 2 2 2 2 ∫C ( z + 1) ∫C1 ( z − i) ( z + i) 1 e + ∫C2 ( z + i)2 ( z − i)2 dz
z
z
z
e 例5： 计算积分 ∫C ( z 2 + 1)2 dz，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
z z
z
e dz 例3： 计算积分 2 ∫C ( z − 1)( z − 3) ，
其中，C 为正向圆周 |z|=2。
z
1 1 e 1 1 e ∫C 2 z − 1 z − 3 dz − ∫C 2 z + 1 z − 3 dz z z 1 e 1 e 2π i − 2π i 2 z − 3 z =1 2 z − 3 z = −1 1 e = ( − )π i 4e 2