高中数学 情境互动课型 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式课件 新人教版必修4

两角差的余弦公式

（选自人教版高中数学必修4第三章3.1.1节）

一、 教材分析

《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、 学情分析

1．本节课的授课对象是高二学生，他们已经了解高中数学的教学模式，并形成自己独

特的掌握新知识的方法，具有强烈的好奇心和求知欲；

2．在知识水平上，高二学生之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，教师在教学新内容前可以先对这些知识进行适当回顾，为学生本节课的学习奠定良好的基础；

3．教师在学生已经掌握三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用的基础上，引导学生如何利用差角的正弦余弦值来表示任意角，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

三、教学目标

（一）知识与技能

引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及

其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

（二）过程与方法

通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

（三）情感态度与价值观

在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合

作交流的能力。

四、教学重难点

1．教学重点

通过探索得到两角差的余弦公式以及两角差余弦公式的应用。

2．教学难点

探索过程中的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程所必备

的基础知识是否已掌握的问题以及运用已学知识和方法的能力问题等等。

五、教学方法与手段

启发式讲授法，并用多媒体展示、计算机辅助教学。

六．教学关键

注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比，联系，化归的观点去分析，处理问

题，使他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）

课堂导学

三点剖析

1.二倍角公式在证明题中的应用

【例1】 求证:xxcos22sin（1+tanx·tan2x）=tanx.

思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx，tan2x=xxxxxxxsincos12cos2sin22sin22cos2sin2.

证法1：左端=xxxcos2cossin2（1+xxxxsincos1cossin•)

=sinx（1+xxcoscos1）

=xxcossin=tanx=右端.

证法2：左端=xxxxxxxxxxxxxxxcossin2tan2coscos2sincos2cossin2)2tan(2tantancos22sin•••

=xxcossin=tanx=右端.

温馨提示

证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.

2.二倍角公式在化简题中的应用

【例2】 已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若x∈［0，2］，求f（x）的最大值，最小值.

解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x

=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x

=cos2x-sin2x=2cos（2x+4）， 所以f（x）的最小正周期T=22=π.

（2）因为0≤x≤2，所以4≤2x+4≤45.

当2x+4=4时，cos（2x+4）取得最大值22；

当2x+4=π时，cos（2x+4）取得最小值-1.

所以f（x）在［0，2］上的最大值为1，

最小值为2.

温馨提示

（1）将cos2x-sin2x变形为sin（4-2x），也会有同样的结果;

《两角差的余弦公式》教学设计

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4

课题：3.1.1 两角差的余弦公式

课时：1课时

一、 教学内容分析

三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.

因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.

二、教学目标

1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；

2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；

3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.

三、学生学情分析

学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.

教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误. 因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.

四、教学过程设计

1.创设情景

【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB建筑市郊的一座小山CD上,从山脚A测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB)为60，从A点观测塔顶B的视角（CAB）约为45，求：A,B两点间的距离.

教

目标 知识与技能： 通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，包括公式的直接运用与公式的逆用，会进行简单的求值、化简；有目的的化简函数。

过程与方法： 在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、正切公式。

情感、态度、价值观： 通过知识的探究过程培养学生认真分析的良好的习惯及勇于探索精神,激发学生的学习兴趣。

重点 两角和与差的正弦和正切公式的推导，及运用公式进行简单的求值。

难点 灵活运用所学公式进行求值、化简。

教学方法 探究学习，小组讨论、

学案导学 教学手段 投影仪，多媒体

教 学 过 程 设 计 意 图

一、知识回顾

学生活动：回顾复习，完成两角差与和的余弦公式的填空。

二、公式推导

思考1：上面学生回顾复习了两角和与差的余弦公，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？

?)(cos ?)(cos

师生活动: 引导学生回答)(cos是怎样由)(cos推导出来的？

思考2：我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？

学生活动：学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦

即

引导学生得出：sin(α+β)=cos［2-(α+β)］=cos［(2-α)-β］

合作探究：（分小组讨论完成下面的推导）

cos［(2-α)-β］=cos(2-α)cosβ+sin(2-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.

思考3：类比cos(α-β)推导出cos(α+β)的方法，我们可以由

sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式吗？

β用-β代之，则（下面由学生自己推导，找一个学生回答）

学生活动：sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) 设计意图：由复习引入新课，激发学生的成功喜悦，同时引起学生对新知识的思考和探索，激发学生的学习兴趣，增强学生的求知欲望．