3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.显然，OA=(cosα,sinα),OB=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有OA·OB=1(cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想.②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键. 记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos［2-(α-β)］=cos［(2-α)+β］=cos(2-α)cosβ-sin(2-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是2均为任意角.的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β误区警示公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点.学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(α+β)=s in(cos())s incosc oscosc ossin sinsin，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ，即得用tanα和tanβ表示的公式：tan tantan(α+β)=1tantan，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：tan tantan(α-β)=1tantan.2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+2,β≠kπ+2，α+β≠kπ+2或2α-β≠kπ+2，以上 k∈Z .当 tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或 其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是 化简三角恒等式的重要手段，如 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如 tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运 用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例 1 求 sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° = 232 1 62 22 24 2；tan60tan 45 3 1tan15°=tan(60°-45°)= 2 31 tan 60tan 45 1 3 tan 60 45 1 3，3 1tan 45 tan 303或 tan15°=tan(45°-30°)= 2 31 tan 45tan 303 13. 例 2 求 sin 7 c os 7c os15sin 8 sin15sin 8的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中 7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约 分、化简、求值.若用 7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用 15°=8°+7°或 8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=sin 7 cos 7cos(7 sin(78)sin 8 8)sin 8s in 7 cos 7cos7cos8sin 8 s in7cos8sin8s in 7cos7sin2sin28 8s in 7(sin cos 7sinsin 7cos2 cos 7cos288cos7cos8sin8sin7cos8sin8s in7cos8cos7sin 8c os7cos8sin7sin 8sin15tan1523. cos15巧解提示:原式=sin(15cos(158)8)c os15sin 8sin15sin 8s in15 cos8 c os15 cos8cos15sin8sin 8sin15cos15sin15sin8sin83s in15cos8cos15cos8=tan15°=tan(45°-30°)31tan45tan30323.1tan45t an 30313方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值1例3 已知sinα=，求cos( +α)的值.3 3思路分析：因为是个特殊角，所以根据C(α+β)的展开式，只需求出cosα的值即可.由于条31件只告诉了sinα=，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cosα的值，再代3入展开式确定cos( +α)的值.31解：∵sinα=>0，∴α位于第一、二象限.3当α是第一象限角时，cosα=1221()2，33∴cos(3+α)=cos3cosα-sin3sinα=1223122232363;22同理，当α是第二象限角时，cosα=，3∴cos(3233+α)=.6方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos( +α)这样的2函数求值，由于它们的角与的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导2公式可能更简单.例4 已知cos(α-2)=1，sin(92-β)=23，并且2＜α＜π，0＜β＜2，求cos24思路分析：观察给出的角()()，结合公式C(α-β)展开式的特点，只需222利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-)、cos( -β)的值即可.22解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜.2242224∴＜α-＜π，- ＜-β＜.424221＜0，∴又∵cos(α-)= .29221∴sin(22)1sin()1()229459.同理，∵sin(2-β)=23>0，∴.222∴cos(22)1sin()1()22353.故cos[()()]cos222=cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin(2222-β)1545275.939327例5 在△ABC中，sinA=355,cosB=13，求cosC.思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符解：5,∴B∈( 2∵cosB=13 24 ,212 13)且 sinB=. ∵sinA= 3 ,∴A∈(0, 2 5 24 )∪( 34 ,π).33若 A∈(,π),B∈( , )，则 A+B∈(π,)与 A+B+C=π 矛盾，44 2234∴A(,π).因此 A∈(0, )且 cosA= .445 45 3 12 16从而 cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=. 5 13 5 13 655例 6 如图 3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转 45°到 OP′的位置，求点 P′(x′,y′)的 坐标.图 3-1-7思路分析：本题相当于已知角 α 的三角函数值，求 α+45°的三角函数值. 解：设∠xOP=α.因为|OP|= 32 42 5 ，所以cosα=3 5 ,sinα=45 . 因为 x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°)3 24 2 2 5( )，5 2 5 22同理,可求得 y′=5sin(α+45°)=7 22 7 ，所以 P′(,2 2 22 ).方法归纳 ①已知角 α 的某一三角函数值和角 α 所在的象限，则角 α 的其他三角函数值唯 一；已知角 α 的某一三角函数值，不知角 α 所在的象限，应先分类讨论，再求 α 的其他三 角函数值.②一般地，90°±α，270°±α 的三角函数值，等于 α 的余名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已 知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例 7 已知 sinα=5 5 ，sinβ= 10 10,且 α、β 都是锐角，求 α+β 的值.思路分析：(1)根据已知条件可先求出 α+β 的某个三角函数值，如 cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出 cosα、cosβ 即可.(3)由于 α、β 都是锐角，所以 0＜α+β ＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据 cos(α+β)的值即可求出 α+β 的值. 解：∵sinα=5 5,sinβ=10 10，且 α、β 都是锐角，∴cosα=2 5 1 sin2，cosβ=53 10 1 sin 2.10∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=210 10. 5 3 5 2 5 1051026又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4.方法归纳给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sinβ=3sin［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα，sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，又3s inβ=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.∴tan(α+β)=2tanα.方法归纳对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.tan12tan18解：∵1tan12tan18=tan(12°+18°)=tan30°=33，∴tan12°+tan18°=33(1-tan12°·tan18°)，即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边.∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.方法归纳三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.tan tan解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=1tantan=1，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1，即(1+tanα)(1+tanβ)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳当α+β=kπ+4,k∈Z时，(1+tanα)(1+tanβ)=2；7当 α+β=kπ- 问题•探究 思想方法探究4,k∈Z 时，(1+tanα)(1+tanβ)=2tanαtanβ.问题 1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些 公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的， 尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ 化简为__________.将 α-β 看作一个角，β 看 作另一个角,则 cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=cos ［(α-β)+β］=cosα.解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换.tantan探究结论:两角和的正切公式 tan(α+β)=1 tan tan.除了掌握其正向使用之外，还需掌握 如 下 变 换 ： 1-tanαtanβ=tan tan( tan)； tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβtan(α+β)=tan (α+β)-tanα-tanβ 等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉， 其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题 2 2004年重庆高考有一题为：求函数 y=sin 4x+2 3 sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最 小 值 ， 并 写 出 该 函 数 在 ［ 0,π］ 上 的 单 调 递 增 区 间 .该 函 数 变 形 后 就 需 要 用 到 形 如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角 变换？探究过程:形如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为 Asin(x+φ)的形ab式.asinx+bcosx=b ( sincos )a 22xx ,abab2222令 cosφ=aa2b2,sinφ=ba2b2，则原式= a 2b 2 (sinxcosφ+cosxsinφ)= a 2 b 2 sin(x+φ).(其中 φ 角所在象限由 a 、b 的符号确定，φ 角的值由 tanφ=b a 确定，常常取 φ=arctan b a).探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如 2sinx-3cosx ，就可以利用这一结 论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为 a=2,b=-3,A= a 2 b 2 13 ，所以 2sinx-3cosx= 13 sin(x+φ)，(其中 φ 在第四象限，且 tanφ=3)，所以 2sinx-3cosx 2的最大值是 13 ，最小值是 13 .8。
