高中数学第三章三角恒等变换3.2.1两角差的余弦函数教案北师大版必修4课件

3.2.1两角差的余弦公式教材分析教学内容为北师大版《数学》必修４第三章第一节第一课时《两角差的余弦公式》.实际生活中需要解决两角和差的三角函数与单个角的三角函数的关系，本节从两角差的余弦公式入手，解决此类问题，于是教材从探索发现两角差的余弦公式开始，并通过向量这一有力的工具，结合三角函数有关的知识来证明公式，使学生掌握公式的结构和特点，然后通过简单运用巩固公式。

其次，公式本身也是后面各公式的推导基础和“源头”，其地位显而易见，也是前面所学三角函数的继续与发展，因此，起着承上启下的核心作用。

课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。

教学目标（一）知识目标1、理解两角差的余弦公式的推导过程，并会利用两角差的余弦公式解决简单问题。

（二）能力目标通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，学生体会利用已有知识解决问题的一般方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（三）情感目标使学生经历数学知识的发现、探索和证明的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

教学重点与难点重点：两角差的余弦公式的探索和简单应用难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导教学方法与手段教学方法：探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学教学过程教学环节教学内容设计意图师生互动情境导入我们知道一些特殊角的三角函数值，例如2330cos,2245cos00==，cos45°-cos30°=_____________;cos15°=________________________;(0304515-=大家探究一下，能否用030,45的三角函数值表示15cos呢？教科书以一个实际问题（求电视发射塔的高度）作为引子，目的在于提出问题，引入研究课题。

3.2.1 倍角公式点、易错点名师点拨(1)T 2α只有当α≠k π＋2(k ∈Z )及α≠2＋4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2n m α)＝2sin(2n －1m α)cos(2n －1m α)；cos(2n m α)＝cos 2(2n －1m α)－sin 2(2n －1m α)；tan(2nm α)＝n －1m α1－tan 2n －1m α. 【自主测试1】已知tan α＝2，则tan 2α等于( )A ．4B ．45C ．－43D ．43答案：C【自主测试2】(2012·广东珠海质检)函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 答案：D【自主测试3】已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案：B关于升降幂公式的解读 剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α； (4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．题型一 化简、求值问题【例题1】求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×＋cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二 给值求值问题【例题2】若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79解析：观察发现2π3＋2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三 给值求角问题【例题3】已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：tan α＝13→tan 2α→α－β→确定2α－β的范围→在确定范围中找出角解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四 恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tan α.求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答． 证明：tan(α＋β)＝3tan α，可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β)⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β) ⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝ sin(2α＋2β)，所以等式成立，即得证．反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题【例题5】已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f (x )化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质．解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.题型六 易错辨析【例题6】已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α所在的 象限为________．错解：由sin α2＝45＞0，cos α2＝－35＜0，可知α2为第二象限的角，即2k π＋π2＜α2＜2k π＋π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜α＜4k π＋2π(k ∈Z )，∴α为第三或第四象限的角．错因分析：仅根据α2的正弦、余弦的正负来判断α2的范围是比较粗浅的，尤其由α2的范围通过不等式的性质得α的范围往往使范围扩大，具体的操作还要求出α的正弦值、余弦值来确定．正解：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725＜0，∴α是第三象限的角．1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案：D2．(2012·山东曲阜期末)函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 答案：D3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－459答案：C4．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________. 解析：cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32；tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 答案：14 32 365．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________．解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 答案：1201696．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。

1.2.2 两角和与差的正、余弦函数整体设计教学分析本节课是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦公式.以两角差的余弦为基础,推导后面其他公式的过程是一个逻辑推理的过程,也是一个认识三角函数式的特征,体会三角恒等变形特点的过程,我们不仅要重视对推出的公式的理解、应用,而且还应重视推导过程的教育功能.在这些公式的推导中,教科书把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点.例如:比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦,只是角的形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,如α+β=α-(-β)的关系.又如:比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式即可建立角的正弦与余弦的联系.通过对“两角和与差的正弦、余弦公式”的推导,揭示了两角和与差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,使学生加深了对数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容对培养学生的运算能力\,逻辑思维能力\,创新能力及发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节的公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领悟它们的这种联系,加深对公式的理解和记忆.本节教案设计的几个例子较课本例子要丰满广阔,主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对具体问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等,这些都是培养学生三角恒等变形能力所不能忽视的.三维目标1.通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正、余弦公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,并通过公式的具体运用,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题\,解决问题的能力.2.通过本节公式的推导,不仅使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察\,分析问题的能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.而且要在推导公式的逻辑结构熏陶下,升华学生的理性思维,以数学自身的美去吸引学生,让学生更有效地抓住问题的本质,并从中获得研究方法的有益启示.重点难点教学重点:两角和与差的正弦、余弦公式及其推导.教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并让一学生把公式默写在黑板上,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察思考:公式cos(α-β)中α、β既然是任意角,你能把它转化为cos(α+β)、sin(α-β)吗？由此展开一系列公式的推导及应用.思路2.(问题引入)教师提出问题,先让学生计算以下几个题目:若sinα=55,α∈(0,2π),cosβ=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.这样既复习回顾了上节所学公式,又为本节新课作铺垫.学生利用公式C α-β很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α+β)的值却有困难了,需要想法转化为公式C α-β的形式来求,怎样转化呢？从而引出新课题,并由此展开联想,推出其他公式.推进新课新知探究提出问题①回忆两角差的余弦公式及推导过程,其他两角和与差的公式也用此法吗？你是否考虑过:在公式C α-β中,因为角β是任意角,所以将角α-β中β换成角-β后用诱导公式? ②观察C α+β的结构有何特征,并与公式C α-β进行比较,你有哪些发现?③你能否利用诱导公式从余弦的两角和公式推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?并观察思考公式的结构特征与和差的余弦公式有什么不同？活动:先让学生默写两角差的余弦公式,教师适时地打开课件,点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法吗？并鼓励学生大胆猜想,引导他们比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕,这样就很自然地得到:cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 观察以上公式的结构特征可知:两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积,同时让学生对比公式C α-β进行记忆.由上面推得两角和与差的余弦公式的方法,教师引导学生思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们自然想到利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化,此法让学生在课下试一试),因此有: sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中β用-β代之,则有:sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 根据以上探究,我们得到以下公式:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.上述结论我们分别称之为两角和的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式、两角差的正弦公式.对以上公式教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征以便于整体记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式的变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美以及这种逻辑结构的内在魅力.这种逻辑结构的熏陶是我们中学数学的灵魂,是培养学生的理性思维的特有载体.因此要深刻理解它们之间的内在联系,并借以理解\,灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用,在例题及练习训练中要注意领悟.讨论结果:①—③略.应用示例思路1例1 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=-135,β∈(π,23π), 求cos(α+β),cos(α-β)的值.活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,应先求出cosα的值,才能利用公式得解.本题是直接应用公式解题,目的是为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立探究完成,必要时给以点拨. 解:由已知sinα=54,α∈(2π,π),得cosα=α2sin 1--=-53. 又由已知cosβ=-135,β∈(π,23π),得sinβ=β2cos 1--=-1312. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-53)×(-135)+54×(-1312)=-6533; cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-53)×(-135)-54×(-1312)=6563. 点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.已知sinα=-53,α是第四象限角,求sin(4π-α),cos(4π+α)的值. 解:由sinα=-53,α是第四象限角,得 cos α=α2sin 1--=2)53(1--=54 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α =22×54-22×(-53)=1027; cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=22×54-22×(-53)=1027. 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于( ). A.57 B.51 C.27 D.4 答案:A例2 在△ABC 中,sinA=53(0°＜A ＜45°),cosB=135(45°＜B ＜90°),求sinC 与cosC 的值.活动:本题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的,同时也加强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意三角形内角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=53且0°＜A ＜45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°＜B ＜90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评:本题是利用两角和差公式来解决三角形问题的基础性典型例子,培养了学生的应用意识,也使他们更加认识了公式的作用.变式训练在△ABC 中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形 答案:C思路2 1.若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=43π,且0＜α＜4π＜β＜43π,求cos(α+β)的值. 活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,不可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当地点拨引导,指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注意确定角的范围,判断好准确的三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于比较好的学生可让其扩展本题,或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练,提高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值. 解:∵0＜α＜4π＜β＜43π, ∴43π＜43π+α＜π,-2π＜4π-β＜0. 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,∴cos(43π+α)=-1312,sin(4π-β)=-54 ∴cos(α+β)=sin［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β)=135×53-(-1312)×(-54)=-6533. 变式训练 已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解:∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312, ∴23π＜α+β＜2π,2π＜β-4π＜43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=-135, ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =(-135)×54+(-53)×1312=-6556. 例2 化简αθαθθβθββαβαsin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(-+-+-. 活动:本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先让学生自己独立地做完,然后进行讲评反思,也可以把它改编为三角证明题.解:原式=αθαθαβθβθβθββαβαβαsin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin -+-+- =θβαθβαθβαθβαθβαθβαsin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin -+- αβθαβθαβθsin sin sin sin sin cos cos sin sin -+=αβθsin sin sin 0=0. 点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练化简:)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+. 解:原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+-+ βαβαβαβαcos cos sin sin cos sin sin cos +-=)cos()sin(αβαβ--==tan(β-α). 知能训练课本练习3、4、5.课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导中悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与三角等式的证明,本节公式推导的逻辑结构如何？2.教师提纲挈领:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦公式及其推导,明白怎样从已知推得未知,理解数学当中重要的数学思想——“转化与化归”以及由逻辑结构编织的公式体系,并正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系.一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变形思路,强化数学思想方法之目的.作业已知0＜β＜4π,4π＜α＜43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解:∵4π＜α＜43π, ∴-2π＜4π-α＜0. ∴sin(4π-α)=2)53(1--=-54. 又0＜β＜4π, ∴43π＜43π+β＜π,cos(43π+β)=2)135(1--=-1312. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(-1312)×53-135×(-54)=6556. 设计感想1.本节课可以说是公式推理及其应用的理性特别强的课时,是培养学生理性精神的特有载体,因此教案设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”,这个过程的重点是转化推导,它充分展示了公式推导教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题.从而使学生领会了数学当中重要的数学思想——“转化与化归”,并培养他们主动利用“转化与化归思想”探索解决数学问题.2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量很大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单应用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导证明方法,熟练会用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律,探索推导,获取新知的方法,让他们真正尝到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.备课资料一、备用习题1.计算οοοοοο8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值.2.利用和差角公式计算下列各式的值.(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).3.化简cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.4.已知2π＜β＜α＜43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,求cos2β的值.5.求证:cos α+3sin α=2sin(6π+α).参考答案:1.解:原式=οοοοοοοοοοοοοοοοοοοο8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(-++-=--+- =οοοο8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) =3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=+-οοοο.2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=21.(2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.(3)原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.3.解:原式=cos ［(α+β)-β］=cos α.4.解:∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α-β＜4π,π＜α+β＜23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=-53.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-53×1312+(-54)×135=-6556.5.证明:方法一:右边=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α) =2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二:左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S α+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式S α+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acosφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=2222sin ,b a b b a a+=+ϕ,从而得到tanφ=b a ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.二、三角函数知识歌诀三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.。

高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。

思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。