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统计学 第6章--统计量及其抽样分布(7)20200329

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x
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第6章 统计量与抽样分布
主要内容
• 总体和样本的统计分布 • 统计量 • 抽样分布
第一节 总体和样本的统计分布
• 一、统计推断中的总体及总体分布 • 总体的概念 总体是根据一定的目的确定的所要研究的事物 的全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质 的众多个体构成。总体中的各个单位称为个体。 由引例：每批麦子 每批麦子的每单位出酒量的 数值 编制变量的分布数列 实物总体 数值总体 分布总体
引例
• 1899年，戈塞特进入都柏林A.吉尼斯父子酿酒公司担任酿 酒化学技师，从事统计和试验工作。他发现，供酿酒的每 批麦子质量相差很大，而同一批麦子仲能抽样供试验的麦 子又很少，每批样本在不同的温度下做式样其结果相差很 大，这决定了不同批次和温度的麦子样本是不同的，不能 进行样本合并，这样一来实际上取得的麦子样本不可能是 大样本，只能是小样本。小样本得出的结果和正态分布有 较大差异，特别是尾部比正态分布高…… • 大样本和小样本有什么差异？如何用样本推断总体？
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机 变量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信 息，对总体的某些性质或数量特征进行推断。
参数估计 统计推断
假设检验
这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同 而已。 参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一 未知参数； 假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有 某种性质或数量特征。
1 f( x , ,x ) n 1 i 1 2

n
2 x ( ) i 2 e 2
( 2 2 i1

概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布

概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布

(2) X 1
~
2 (n1 ),
X2
~
2 (n2 ),
X1,
X
独
2
立
，
则
X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
(3) X ~ 2 (n), E( X ) n, D( X ) 2n,
.
2021/3/11
20
(4). 2分布的分位点
对于给定的正数，0 1,
称满足条件
P
2 2 (n)
k 1
,
X
k 2
,,
X
k n
独立且与X
k同分布,
E
(
X
k i
)
k
k 1,2,,n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1, A2 ,, Ak ) p g(1,2 ,,k ) 其中g为连续函数.
这就是矩估计法的理论根据.
2021/3/11
18
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现 数理统计
10
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/3/11
11
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有
lim h(t)
n
1 et2 2. 2

第6章统计量与抽样分布

第6章统计量与抽样分布

x; n1, n2
1


B
, n1 n2 22
n n x n n x , n1 2
n2 2
n1 2
1
12
2
n1 n2 2
1

0,
其中B

a,
b

1
0
x
1
1

x b1
dxຫໍສະໝຸດ a a b b
.
x 0, x 0.
f x; n1, n2
F n1, n2 分布概率密度函数
第六章 统计量与抽样分布
随机样本与统计量 2分布 t分布 F分布 正态总体下的抽样分布
1
数理统计 是一门以数据为基础的学科, 可以定义为收
集数据, 分析数据和由数据得出结论的一组概念、 原
则和方法。
例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定 次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批 灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验， 以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计研究的问 题。
关于调查数据和实验数据的收集可以根据数据 本身的特点有多种不同的方法和设计，有专门的课 程讲授，这里不作详细介绍。
6
总体的某个指标X, 对于不同的个 体来说有不同的取值, 这些取值构 成一个分布, 因此X可以看成一个 随机变量. 有时候就把X称为总体. 假设X的分布函数为F(x), 也称F(x) 为总体.
答：共有16个样本，分别为：
（88，88）（88，75）（88，70）（88，63） （75，88）（75，75）（75，70）（75，63） （70，88）（70，75）（70，70）（70，63） （63，88）（63，75）（63，70）（63，63）

第六章 统计量及其抽样分布

第六章 统计量及其抽样分布

样本均值的抽样分布
样本均值的抽样分布
1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分 布
2. 一种理论概率分布 3. 进行推断总体总体均值的理论基础
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。 总体的均值、方差及分布如下

第 一
16个样本的均值（x）
个
第二个观察值
观 察值1 2
3
4
11
1.
20.

52. 0.
5
21
2.
25.

03. 5.
0
23
2.
30.

53. 0.
5
24
3.
35.

04. 5.
0
.3 P (X ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
第六章 统计量及其抽样分布
抽样理论依据： 1、大数定律 （1）独立同分布大数定律：证明当N足够大时，平均数据有稳定性，为用样本平 均数估计总体平均数提供了理论依据。 （2）贝努力大数定律：证明当n足够大时，频率具有稳定性，为用频率代替概率 提供了理论依据 2、中心极限定律 （1）独立同分布中心极限定律：设从均值为u、方差为s2（有限）的任意一个总体 中抽取样本量为n的样本，但n充分大时，样本均值X的抽样分布近似服从均值为u， 方差为s2/n的正态分布。 （2）德莫佛-拉普拉斯中心极限定律：证明属性总体的样本数和样本方差，在n足 够大时，同样趋于正态分布。
(central limit theorem)

第6章_统计量及其抽样分布

第6章_统计量及其抽样分布
第 6 章 统计量及其抽样分布
统计量 抽样分布 由正态分布导出的几个重要分布 样本均值的分布与中心极限定理 样本比例的抽样分布 两个样本平均值之差和两个样本比例之 差的分布 6.7 样本方差的分布 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
6.1 统计量
6.1.1 统计量的概念 6.1.2 常用统计量 6.1.3 次序统计量
x
用Excel计算F分布的概率和临界值
1. 利用Excel提供的【FDIST】统计函数，计算F分布右尾 的概率值
语法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)
2. 利用【FINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度 时的相应临界值
语法： FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)
用Excel计算2分布的概率（续）
计算自由度为8，随机变量2值大于10的概率？
用Excel计算2分布的概率（续）
计算自由度为10，随机变量2分布右尾概率为0.1 的临界值？
t分布 (t distribution)
历史：William Gosset于1908年提出的，由于其经常用 “student”为笔名发表文章，其所提的此分布也称为学生 分布(student’s t)。
样本确定后，统计量的值总是可以计算出来。
常用统计量
设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，
1.样本平均数X 源自Xi 1n
i
n
n
X1 X 2 X n n
2.样本方差 3.样本比例
s2
2 ( X X ) i i 1
n 1

统计量及其抽样分布

统计量及其抽样分布

E
X
n
n
2
,
n
2D
X
2n2 m n 2 mn 2n 4
,
n
4
6.4 样本均值的分布与中心极限定理
当总体分布为正态分布N , 2 时，可以
得到下面的结果：X 的抽样分布仍为正态分布，
数学期望为 ，方 差为 ， 则2 n
X : N , 2 n
当用样本均值估计总体均值时，平均来
说没有偏差（无偏性）；当n越来越大时，X 的 分散程度越来越小，估计越来越准确。
（1）计算样本均值小于9.9的近似概率
（2）计算样本均值超过9.9的近似概率
（3）计算样本均值在总体均值附近0.1范围内 的近似概率
根据中心极限定理，不论总体分布是什么形 状，当n充分大时，样本均值的分布近似服从 正态分布 X : N 10，0.62 36
PX
9.9
P
X 10 0.1
9.9 10 0.1
布，记为 t : t n
n 2时，E t 0
n 3时，D t n
n2
如果X : N , 2
则 n X
, , , X
1 n
n i 1
Xi
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
: t n 1
S
如果X,Y是两个相互独立的总体，
X :
N
1, 2
，Y :
N
2, 2
，X
【例】设一个总体，含有4个元素（个体）， 即总体单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、 X2=2、X3=3 、X4=4 。
总体的均值、方差及分布如下
1 N
n i 1
Xi

统计学(06)第6章--统计量及其抽样分布

样本均值、样本比例、样本方差等都是常用 统计量
当获得样本的一组具体观测值x1,x2,…,xn时， 代入T函数，就得到一个具体的统计量值
2. 统计量是样本的一个函数，样本X1,X2,…,Xn是随
机变量，故统计量也是一个随机变量
6 -5
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
#简单随机样本的两个基本特性
数和众数； 决定了图形的中心位置, 决定曲线
的平缓程度，即宽度
4. 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无
限延伸，且理论上永远不会与横轴相交 5. 随机变量X的概率由曲线下的面积给出 66. - 1正5 态曲线下的总面积等于1
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
和 对正态曲线的影响
f(x) B
3. 抽样分布提供了样本统计量长远而稳定的信息， 是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的 重要依据
6 - 10
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
6.3 由正态分布导出的几个重要分布
6.3.1 2分布
6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 11
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
正态分布
自己的正态概率分布表，这种表格是无穷 多的 3. 若能将一般的正态分布转化为标准正态分 布，计算概率时只需要查一张表
6 - 18
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
标准正态分布函数
1. 任何一个一般的态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
Z X ~ N (0,1)
2. 标准正态分布的概率密度函数
6 - 12
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
正态分布
(normal distribution)
1. 描述连续型随机变量的最重要的分布 2. 经典统计推断的基础

统计量及其抽样分布

STAT
平均数的抽样分布
An example A die is thrown infinitely many times. Let X represent the number of spots showing on any throw.一个骰子被投掷了无数次,用X表示每一次出现的点数. The probability distribution of X is
统计学
第 6 章 统计量及其抽样分布
PowerPoint
作者：中国人民大学统计学院 贾俊平
统计量
01
关于分布的几个概念
02
由正态分布导出的几个重要分布
03
样本均值的分布与中心极限定理
04
样本比例的抽样分布
05
两个样本平均值之差的分布
06
关于样本方差的分布
07
第 6 章 统计量及其抽样分布
了解统计量及其分布的几个概念
理解样本均值的分布与中心极限定理
了解由正态分布导出的几个重要分布
掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
学习目标
2
常用统计量
3
次序统计量
1
统计量的概念
4
充分统计量
6.1 统计量
设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
统计分布类型就是：在某些限定条件下，考察不同类型的个别数量现象在总体上具有什么样的分布特征，熟知的如正态分布。这些模型的结果告诉我们各种情况出现的可能性。
1
2
3
4

样本主要统计量： 平均数 比率（成数） 方差

第六章统计量及其抽样分布(统计学贾俊平)

经管类 核心课程
统计学
第 6 章 统计量及其抽样分布
经管类 核心课程
统计学
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 §6.6 §6.7
第 6 章 统计量及其抽样分布
统计量 关于分布的几个概念 由正态分布导出的几个重要分布 样本均值的分布与中心极限定理 样本比例的抽样分布 两个样本平均值之差的分布 关于样本方差的分布
经管类 核心课程
统计学
定义6.2
6.1.3
次序统计量
，X n 是从总体X中抽取的 设 X1，X 2，
X (i ) 称为第i个次序统计量， 容量为n的一个样本，
它是样本 ( X1，X 2， ，X n ) 满足如下条件的函数：
，xn 时， 每当样本得到一组观测值 x1，x2，
其由小到大的顺序 x(1) x( 2) x( n) 中， 第k个值 x( k ) 就作为次序统计量X ( k ) 的观测值， ，X ( n) 称为次序统计量。 而 X (1)，X ( 2)，
经管类 核心课程
统计学
学习目标
1. 理解统计量与分布的几个概念 2. 掌握t、卡方、F三大分布 3. 掌握单总体参数（均值/比例/方差）推断 时样本统计量的分布 4. 掌握双总体参数（均值差）推断时样本统 计量的分布
经管类 核心课程
统计学
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
p( x)

~ N (0， 1)
n=1
n=10
n=4
n=20
2 (n)分布的概率密度函数曲线 图6-1
x
经管类 核心课程
统计学
6.3.1
2 分布

第六章 统计量及其

E( X (1) X ( 2) ) E( X (1) ) E( X ( 2) ) (1) ( 2)
D( X (1) X ( 2) ) D( X (1) ) D( X ( 2) ) n1 n2 2 2 X1 X 2 ～ N ( 1 2 , 1 2 ) n1 n2
解：设600份报表中至少有一处错误的报表所 ˆ ，由题意知： p 占的比例为 p ˆ 0.02
p ˆ (1 )
n 0.02 (1 0.02) 0.0057 600
由中心极限定理， 有 (1 ) 2 ˆ N ( , ) p ˆ 即 ～ N (0.02,0.0057 ) p～ n 从而所求概率为：
即该统计人员所填写的报表中至少有一处错误的报 表所占的比例在0.025～0.070之间的概率为 19.02%。
第六节两个样本均值之差的分布
• 两个正态总体 2 (1) (1) (1) N ( ,1 )的一个 设 X 是独立地抽自总体 X ～ ) X ( 2是是独立地 容量为n1 的样本的样本均值， 抽自总体 X ( 2) ～N ( (1) , 2 2 ) 的一个容量为 n2 的样本的样本均值， 则有
(1)
( 2)
D( X
(1)
( 2)
) D( X ) D( X
(1)
( 2)
)

2 1
n1


2 2
n2
例6.8 甲、乙两所高校在某年录取新生时，甲 校的平均分为655分，且服从正态分布，标 准差为20分；乙校的平均分为625分，也服 从正态分布，标准差为25分.现从甲乙两校 各随机抽取8名新生计算其平均分数，出现 甲校比乙校的平均分低的可能性有多大？ 解：因为两个总体均为正态分布，所以8名新 生的平均成绩X (1) , X (2) 也分别为正态分布， X (1) X ( 2 ) 也为正态分布，且 2 2 X (1) X ( 2 ) ～ N ( (1) ( 2) , 1 2 )
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统计学
STA(第TI7S版TI)C性S 质F1
( n1 ,
n2 )
F
1 (n2 ,
. n1 )
性质的证明 因为F ~ F (n1, n2 ), 所以
P
1 F
1
F1
(n1
,
n2
)
1
P
1 F
1
F1
(n1
,
n2
)
1 P{F F1 (n1, n2 )} 1 (1 )
由于 1 F
样本均值的抽样分布 与中心极限定理
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数
学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
=10
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
= 50 X
总体分布
x 50
x
抽样分布
6 - 25
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
3. 令 Y z 2 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即
Y ~ 2 (1)
4. 当总体 X ~ N(, 2 ) ，从中抽取容量为n的样本，则
n
(xi x)2
6 - 10
i 1
2
~ 2 (n 1)
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
2分布
(性质和特点)
STATISTICS (第7版)
t 分布
1. 戈 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出
2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布， 它通常要比正态分布平坦和分散
3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于 正态分布
1. 分布的变量值始终为正
2. 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不
对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称
3. 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由
度)
4. 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量 ， U~2(n1) ， V~2(n2), 则 U+V 这 一 随 机 变 量 服 从自由度为n1+n2的2分布
统计学
STATISTICS (第7版)
中心极限定理
(central limit theorem)
从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的
样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均 值为μ、方差为σ2/n的正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 37
/
2 1
S22
/
2 2
F(n1 1, n2 1)
6 - 33
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学 样本均值的抽样分布与总体分布的关
STATISTICS
系
(第7版)
总体分布
正态分布
正态分布
6 - 35
非正态分布
大样本
小样本
正态分布 非正态分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统例计6.2学:设从一个均值为10、标准差为0.6的总体中随
(1)P(x 9.9) P( x 10 9.9 10 ) P(z 1) 1 P(z 1) 0.1587 0.6 36 0.6 36
(2)P(x 9.9) P( x 10 9.9 10 ) P(z 1) P(z 1) 0.8413 0.6 36 0.6 36
解二：P(x 9.9) 1 P(x 9.9) 1 0.1587 0.8413
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数
3. 统计量是统计推断的基础
6 -5
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
常用统计量
6 -6
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS 6.2 由正态分布导出的几个重要分布
2. 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V 为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相
互独立，则称FF为服U从n自1 由度n1和n2的F分布，记为 V n2
6 - 18
F ~ F (n1, n2 )
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
6 -8
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
2 分布
6 -9
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
6 - 11
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
n=1
2分布
(图示)
n=4 n=10 n=20
6 - 12
不同容量样本的抽样分作布者：贾俊平，中国人民大学统计学院2
统计学
STATISTICS (第7版)
t 分布
6 - 13
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
6 - 26
x
x
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
中心极限定理
6 - 27
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
x 的分布趋 于正态分布 的过程
中心极限定理
(central limit theorem)
6 - 28
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
一、一个正态总体的情况
设总体 X ~ N (, 2 ) 定理1 X N (, 2 / n) 证明
样本为 X1, X2, , Xn
1 n
X n i1 Xi
S 2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
S
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
U X N (0,1) / n
性质. F分布的数学期望为:
若n2>2 即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
F 分布的上侧分位数 F (n1 , n2 ) : P{F F (n1, n2 )}
其值可通过查附表获得,如
F0.025 (8,7) 4.90, F0.05 (30,15) 2.25 .
6 - 19
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS
第6章
统计量及其抽样分布
(第7版)
6 -1
作者：中国人民大学统计学院
贾俊平
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS
第6章
统计量及其抽样分布
(第7版)
6.1 统计量 6.2 由正态分布导出的几个重要分布 6.3 样本均值的分布与中心极限定理
6 -2
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
(第7版)
6.2.1 抽样分布
6.2.2 2分布
6.2.2 t 分布 6.2.3 F 分布
6 -7
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第7版)
抽样分布
(sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
统计学
STATISTICS (第7版)
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
6 -3
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
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STATISTICS (第7版)
6.1 统计量
~
F (n2 , n1 ),
所以 F (n2 , n1 )
1 F1- (n1 , n2 )
例如
F0.95 (12,9)
1 F0.05(9, 12)
1 2.8
0.357
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F分布
(图示)
不同自由度的F分布
（1,10)
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统计学
STATISTICS (第7版)
样本均值的抽样分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本均 值的所有可能取值形成的相对频数分布
2. 一种理论概率分布
3. 推断总体均值的理论基础
6 - 24
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统计学
STAT定IST理ICS4
(第7版)
U
( X Y ) (1
2 1
/
n1
2 2
/
2 )
n2
N (0,1)
定理5
若更设
2 1
=
2 2
,
则
T
(X
Y
)
(1 Q
2
)
t
(n1