三边关系

典型例题一例01．在ABC ∆中，2,9==BC AB ，并且AC 为奇数，那么ABC ∆的周长是多少？ 分析：已知三角形两边，可以求第三边范围：BC AB AC BC AB +<<-，有2929+<<-AC 即117<<AC而第三边为奇数，所以9=AC ，从而总是可求，解答：根据三角形三边关系有BC AB AC BC AB +<<- ∴ 12929++<-AC 即 117<<AC 又 ∵AC 为奇数 ∴9=AC∴ABC ∆的周长20299=++=典型例题二例02．如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长.分析 由题意可知，中线BD 将ABC ∆的周长分成AD AB +和CD BC +两部分，故有两种可能.（1）⎩⎨⎧=+=+615CD BC AD AB （2）⎩⎨⎧=+=+156CD BC AD AB再由CD AD AC AB 22===，知（1）式成立，（2）式不成立.解答：设x AC AB 2==，则x CD AD == （1）当6,15=+=+CD BC AD AB 时 有152=+x x ∴5=x（2）当6,15=+=+AD AB CD BC 时， 有62=+x x∴42,2==x x ∴13=CD∵1344<+故不能组成三角形答：三角形的腰长为10，底边长为1.例03．已知年度为cm cm cm cm 5,4,3,2的四条线段，能组成多少个不等边三角形？ 分析：四条线段中任取三条线段能否组成三角形，只要验证：较短的两条线段长之和是否大于第三条线段的长.解答：可经组成三个不等边三角形，它们的三边长分别为2cm ,3cm ，4cm ，5cm ；2cm ，4cm ，5cm .典型例题四例04．已知等腰三角形的周长是14cm ，底边与腰的比为2:3，求各边的长. 分析：求等腰三角形各边的长，即需求出其底与腰长即可，可以通过方程组求解. 解答：由题意可设等腰三角形底边与腰的长为x cm ，y cm .则⎩⎨⎧==+2:3:142y x y x 解之得4,6==y x .答：底边长为6cm ，腰长为4cm . 说明：本题也可设底边的长为x ，则腰长为214x-或设腰长为x ，则底边的长为x 214-. 典型例题五例05．如图，D 是ABC ∆内任意一点，BD 延长线与AC 交于E 点，连结DC . 求证：DC BD AC AB +>+.分析 求证的结论是边的不等关系，因此，应考虑本节定理“两边之和大于第三边”，将AB 、AC 、BD 、DC 联系起来的三角形有ABE ∆、EDC ∆证明：在ABE ∆中，∵ DE BD BE AE AB +=>+ 即 BD DE AE AB >-+ 而在EDC ∆中， ∵DC EC DE >+∴DC BD EC DE DE AE AB +>++-+)()( ∴DC BD AC AB +>+典型例题六例06．如图，O 为ABC ∆内一点. 求证：)(21CA BC AB OC OB OA ++>++分析：由三角形的三边关系可知： 在AOB ∆中，AB OB OA >+ ① 在BOC ∆中，BC OC OB >+ ② 在AOC ∆中，AC OA OC >+ ③ 将上面的三式相加 ①＋②＋③得AC BC AB OC OB OA ++>++)(2从而得证证明：在AOB ∆中， AB OB OA >+ ①在BOC ∆中 BC OC OB >+ ② 在AOC ∆中，AC OA OC >+ ③ ①＋②＋③得AC BC AB OC OB OA ++>++)(2即：)(21CA BC AB OC OB OA ++>++ 典型例题七例07．两根木棒的长分别为3cm 和5cm ，要选择第三根木棒，将它钉成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒的长是多少？分析：这是一个利用三角形三边关系，已知两边，确定第三边的总是，再加第三边为偶数的限制，则可确定具体的长度是多少厘米.解答：设第三根木棒的长为x cm ，依据三角形三边关系可得5353+<<-x∴ 82<<x 又 ∵x 为偶数， 故x 只能取4或6答：第三根木棒的长是4cm 或6cm .与三角形三边关系定理有关的题目分析：在已知三角形的两边为b a ,时，则第三边x 的取值范围为：b a x b a +<<- 特别注意用“两边之差小于第三边”时，一定用较大的边减去小的边，在不知谁大时，为了保证两边的差非负，需加绝对值. 解：（1）根据三角形三边关系有BC AC AB BC AC +<<-12ABC 5AB AB 7AB 32525的周长为＝为奇数又＜＜即 ∆∴∴+<<-∴ AB（2）（略）说明：解本题的关键是根据三角形三边关系定理及推论并结合题设条件列出不等式组.实际应用题例 草原上有4口油井，位于四边形ABCD 的4个顶点，如图1现在要建一个维修站H ，试问H 建在何处，才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD 为最小，说明理由. 分析：此题是一个实际问题，首先应转化为数学问题，即转化为三角形，再利用三角形 三边关系定理求解.解：维修站应建在两条对角线的交点H 处理由如下：取不同于H 的点P ，三角形的两边 之和大于第三边 有：PD+PB ＞HD+HB PC+PA ＞HC+HA 所以：PD+PB+PC+PA ＞HD+HC+HB+HA 即HD+HC+HB+HA 为最小.说明：此题是一道典型问题――求线段之和最值问题，首先要找到符合条件的点，然后说明理由.所应用的解决方法也是常见的方法，需要添加辅助线，构成新的三角形，然后运用三角形三边关系定理.选择题（1）以下列长度①1，2，3 ②2，3，4 ③4，5，6 ④4，5，10的三条线段为边，能组成三角形的组数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的周长是（ ） （A ）17 （B ）22 （C ）17或22 （D ）以上都不对（3）有木条4根，长度分别是12厘米，10厘米，8厘米和4厘米，选其中三根组成三AB C DH P角形，则选择的种数有（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）有下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） （A ）4，99.5，10 （B ）4，6，10 （C ）1，1，100 （D ）1，100，100参考答案：（1）B （2）B （3）C （4）D填空题（1）在ABC ∆中，若5,3==b a ，则c 的取值范围是_______.（2）三角形两条边长分别是cm 4和cm 7，周长恰好是6的倍数，则第三边长是_______. （3）等腰三角形的两条边长分别为4和9，则这个三角形的腰长为_______.（4）三角形两条边长分别是cm 2和cm 7，若第三边的数值是偶数，则这个三角形的周长是______，若第三边的数值是奇数，则这个三角形的周长是________.（5）ABC ∆的周长是cm 25，a 、b 、c 为三边长，且b a =，2:1:=b c ，则=a ______，=b ______，=c _______.参考答案：（1）82<<c （2）cm 7 （3）9 （4）cm 15或cm 17，cm 16 （5）cm 10，cm 10，cm 5解答题1．解答题等腰三角形ABC 中，一腰AC 上的中线把三角形的周长分为cm 12和cm 15两部分，求此三角形各边的长.2．证明题如图，P 为ABC ∆内任意一点，求证：)(21BC AC AB CP BP AP BC AC AB ++>++>++参考答案： 1.解：（1）当底边小于腰长时，如下图，依题意有：15=+AD AB ，12=+CD BC . ∵AC AB =，D 是AC 中点，∴AB AC AD 2121==，从而1523==+AB AD AB . ∴cm AB AC 10== cm AD CD 5== cm CD BC 1712=-=（2）当底边大于腰长时，如下图，则有12=+AD AB ，15=+CD BC 同上法可求得cm AC AB 8==，cm BC 11=上述两种情况解得的线段都构成三角形，故原题有两解.2．证明：延长AP 交BC 于D ，则有 PD AP BD AB +>+ ① PC DC PD >+ ②①＋②得PD CP AP PD BC AB ++>++ ③ 即 CP AP BC AB +>+ ④同理可证：CP BP AC AB +>+ ⑤ BP AP BC AC +>+ ⑥ ④＋⑤＋⑥，整理得CP BP AP BC AC AB ++>++ 在ABP ∆中，AB BP AP >+ ⑦ 在BCP ∆中 BC CP BP >+ ⑧ 在ACP ∆中 AC CP AP >+ ⑨ ⑦＋⑧＋⑨，整理即得)(21BC AC AB CP BP AP ++>++ ∴ 有)(21BC AC AB CP BP AP BC AC AB ++>++>++能力1、如图，P 是ABC ∆内一点，求证PB+PC ＜AB+AC 提示：此题证明线段之和之间的不等问题 要联想到三角形三边关系定理，由于涉及到的线段不在同一个三角形中， 因此需要添加辅助线，构成新的三角形.2、若A B C ∆的边长是c b a ,,且满足，ca bc ab c b a ++=++222，试判断三角形的形状.答案: 等边三角形.3、已知一个三角形中两条边的长分别为b a ,且b a >，那么这个三角形的周长t 的取值范围（ ）（希望杯试题）()　、　、 ＞＞、 、　b a t b a D ab t b a b t a A 2322C 2a t b a 2B 33+>>-+>>++>>提示：解答本题的关键是应用“三角形三边关系定理及推论”，求出第三边c 的取范围为：()B22,故选　即 的取值范围为：周长b a t a b a b a c b a b a b a c b a t b a c b a +<<+++<++<-++++=∴+<<-C。