《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件3-优质公开课-人教A版选修2-3精品

选修2-3 第一章 1.3 1.3.2

一、选择题

1．若(3x－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是导学号 03960251( )

A．第3项 B．第4项

C．第5项 D．第6项

[答案] C

[解析] 令x＝1，得出(3x－1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；

∴(3x－1x)8的展开式通项公式为：

Tr＋1＝Cr8·(3x)8－r·(－1x)r＝(－1)r·38－r·Cr8·x4－r，

令4－r＝0，解得r＝4.

∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．

2．若9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1是11的倍数，则自然数n为导学号 03960252( )

A．奇数 B．偶数

C．3的倍数 D．被3除余1的数

[答案] A

[解析] 9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1

＝19(9n＋1＋C1n＋19n＋…＋Cn－1n＋192＋Cnn＋19＋Cn＋1n＋1)－19

＝19(9＋1)n＋1－19＝19(10n＋1－1)是11的倍数，

∴n＋1为偶数，∴n为奇数．

3．(2016·潍坊市五校联考)已知(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为导学号 03960253( )

A．3 B．4

C．5 D．6

[答案] D [解析] 通项Tr＋1＝Crn(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，当r＝23n时为常数项，即(－1)23 nC2n3n＝15，经检验n＝6.

4．若a为正实数，且(ax－1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为导学号 03960254(

)

A．1x2016 B．－1x2016

C．4032x2014 D．－4032x2014

[答案] D

[解析]由条件知，(a－1)2016＝1，∴a－1＝±1，

杨辉三角与二项式系数的性质

本节课有以下几点值得一提：

一、目标定位准确

本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体.

教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的.

二、突出主体地位

1．放手发动学生

把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释：

一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则.

二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困.

三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高.

2．彰显理性数学

本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现.

这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去.

3．呈现合作交流 本节课每个问题的波浪式出现，我们不仅发现每个学生动手做、动眼看、动口说、动笔写、动脑想，全身心投入到学习过程中去，真正地让学生动起来，让课堂活起来，更令人吃惊的是“合作交流”发挥得淋漓尽致. 这不仅反映在四人小组毫无掩饰、捏造的交流过程，更有把自己的不同想法敢于同学面前展示和袒露的真实场景. 这种“生生合作”的经典，更来自于“师生合作”的源头.

1 第一章 计数原理

1.3 二项式定理

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

A级 基础巩固

一、选择题

1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )

A．n，n＋1 B．n－1，n

C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3

解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.

答案：C

2．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋„＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋„＋an＝30，则n等于( )

A．5 B．3 C．4 D．7

解析：令x＝1得a0＋a1＋„＋an＝2＋22＋„＋2n＝30，解得n＝4.

答案：C

3．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )

A．第6项 B．第5项

C．第5、第6项 D．第6、第7项

解析：因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．

答案：A

4．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋„＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于( )

2 A．64 B．32 C．63 D．31

解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C1n＋C3n＋C5n＝C16＋C36＋C56＝12×26＝32.

答案：B

5．设5x－1xn的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )

A．－150 B．150 C．300 D．－300

解析：令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240，解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝Cr4(5x)4－r－1xr＝(－1)r54－rCr4x4－32r，令4－32r＝1得r＝2，所以当r＝2时，展开式中x的系数为(－1)2·C24·52＝150.

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1．杨辉三角的特点

(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．

(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn＋1＝Cr－1n＋Crn

2．二项式系数的性质

题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别

例1、已知(x23 ＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．

[解析] 令x＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.

又展开式中二项式系数和为2n，∴22n2n＝32，n＝5.

(1)∵n＝5，展开式共6项，

∴二项式系数最大的项为第三、四两项，

∴T3＝C25(x23 )3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23 )2(3x2)3＝270x223 .

(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，

则由Tk＋1＝Ck5(x23 )5－k(3x2)k＝3kCk5x10+4k3 ，

得 3kCk5≥3k－1Ck－15，3kCk5≥3k＋1Ck＋15，∴72≤k≤92，∴k＝4，

即展开式中系数最大的项为T5＝C45(x23 )(3x2)4＝405x263 .

例2、(1)若nxx421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．

(2)在(1＋2x)n的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________．

[答案] (1)7·x35 和7·x74 (2)15360x7

题型二、求展开式中各项系数之和

例3、已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.

求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

[解析] 令x＝1，则 对称性 与首末两端“________”的两个二项式系数相等(即Cmn＝Cn－mn)．