高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学目标：

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，

（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.

2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，…，nnC．rnC可以看成以r为自变量的函数()fr

定义域是{0,1,2,,}n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mnmnnCC）．

直线2nr是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kknnnnnnknkCCkk，

∴knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，

当12nk时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵1(1)1nrrnnnxCxCxx，

令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC

三、讲解范例：

例1．在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN中，令1,1ab，则0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC，

即02130()()nnnnCCCC，

∴0213nnnnCCCC，

即在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知021312nnnnnCCCC.

例2．已知7270127(12)xaaxaxax，求：

（1）127aaa； （2）1357aaaa； （3）017||||||aaa.

解：（1）当1x时，77(12)(12)1x，展开式右边为

0127aaaa

∴0127aaaa1，

当0x时，01a，∴127112aaa，

（2）令1x， 0127aaaa1 ①

令1x，7012345673aaaaaaaa ②

①② 得：713572()13aaaa，∴ 1357aaaa7132.

（3）由展开式知：1357,,,aaaa均为负，0248,,,aaaa均为正，

∴由（2）中①+② 得：702462()13aaaa， ∴ 70246132aaaa，

∴017||||||aaa01234567aaaaaaaa

702461357()()3aaaaaaaa

例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数

解：)x1(1])x1(1)[x1(x1)x1()x1(10102）（

=xxx)1()1(11，

∴原式中3x实为这分子中的4x，则所求系数为711C

例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数

解：∵5552)2x()1x()2x3x(

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为x5C15，

在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为x80x2C415

∴展开式中含x的项为 x240)32(x5)x80(1，

∴此展开式中x的系数为240

例5.已知n2)x2x(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项

解：依题意2n4n2n4nC14C33:14C:C

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

设第r+1项为常数项，又 2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT

令2r02r510，

.180)2(CT221012此所求常数项为180

例6． 设231111nxxxx2012nnaaxaxax，

当012254naaaa时，求n的值 解：令1x得：

230122222nnaaaa2(21)25421n，

∴2128,7nn，

点评：对于101()()()nnnfxaxaaxaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值；令1,xa即1xa，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例7．求证：1231232nnnnnnCCCnCn．

证（法一）倒序相加：设S12323nnnnnCCCnC ①

又∵S1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCC ②

∵rnrnnCC，∴011,,nnnnnnCCCC，

由①+②得：0122nnnnnSnCCCC，

∴11222nnSnn，即1231232nnnnnnCCCnCn．

（法二）：左边各组合数的通项为

rnrC11!(1)!!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr，

∴ 1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCnCCCC12nn．

例8．在10)32(yx的展开式中,求:

①二项式系数的和;

②各项系数的和;

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;

④奇数项系数和与偶数项系数和;

⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

分析:因为二项式系数特指组合数rnC,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式yx32中的系数无关.

解：设10102829110010)32(yayxayxaxayx(*),

各项系数和即为1010aaa,奇数项系数和为0210aaa,偶数项系数和为9531aaaa,x的奇次项系数和为9531aaaa,x的偶次项系数和10420aaaa.

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

①二项式系数和为1010101100102CCC.

②令1yx,各项系数和为1)1()32(1010.

③奇数项的二项式系数和为910102100102CCC,

偶数项的二项式系数和为99103101102CCC.

④设10102829110010)32(yayxayxaxayx,

令1yx,得到110210aaaa…(1),

令1x,1y(或1x,1y)得101032105aaaaa…(2)

(1)+(2)得10102051)(2aaa,

∴奇数项的系数和为25110;

(1)-(2)得1093151)(2aaa,

∴偶数项的系数和为25110.

⑤x的奇次项系数和为251109531aaaa;

x的偶次项系数和为2511010420aaaa.

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.

例9．已知nxx223)(的展开式的系数和比nx)13(的展开式的系数和大992,求nxx2)12(的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.

解：由题意992222nn,解得5n.

①101(2)xx的展开式中第6项的二项式系数最大,

即8064)1()2(55510156xxCTT.

②设第1r项的系数的绝对值最大, 则rrrrrrrrxCxxCT2101010101012)1()1()2(

∴110110101011011010102222rrrrrrrrCCCC,得110101101022rrrrCCCC,即rrrr10)1(2211

∴31138r,∴3r,故系数的绝对值最大的是第4项

例10．已知：223(3)nxx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项

解：令1x，则展开式中各项系数和为2(13)2nn，

又展开式中二项式系数和为2n，

∴222992nn，5n．

（1）∵5n，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

∴223226335()(3)90TCxxx，22232233345()(3)270TCxxx，

（2）设展开式中第1r项系数最大，则21045233155()(3)3rrrrrrrTCxxCx，

∴1155115533792233rrrrrrrrCCrCC，∴4r，

即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405TCxxx．

例11．已知)(1222212211NnCCCSnnnnnnnn，

求证：当n为偶数时，14nSn能被64整除

分析：由二项式定理的逆用化简nS，再把14nSn变形，化为含有因数64的多项式

∵1122122221(21)nnnnnnnnnSCCC3n，

∴14nSn341nn，∵n为偶数，∴设2nk（*kN），

∴14nSn2381kk(81)81kk

0111888181kkkkkkCCCk