数学：1.3.2《杨辉三角与二项式系数的性质(一)》课件(新人教a版选修)

“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学设计

——人教A版数学选修2-3第1章第3节第2课时

湖北省黄冈市浠水实验高级中学 周少雄

一、教材背景分析

1．教材的地位和作用

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人

教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论

与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可

以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之

一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生

进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.

本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的

数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性

质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方

法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学

思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过

程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学

生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.

研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立

相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都

有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.

2．学情分析

知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前

探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.

心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，

恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.

3．教学重点与难点

重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.

难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确

定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.

关键：函数思想的渗透.

二、教学目标

1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包

1 1.3.2二项式系数的性质(第一课时)

学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉

●教学目标

（一）知识与技能

1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.

2.掌握“赋值法”，并会简单应用

（二）情感与价值观

1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.

2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．．

●教学重点：二项式系数的性质

●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解.

●教学方法:发现法

●授课类型：新授

●教学情境设计：

一、复习回顾

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，

（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.

2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab

二、引入

通项公式中的rnC，我们称其为二项式系数.当n依次取1，2，3…时，

nba)(二项式系数，如下表所示：

表1

此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年

下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质

1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

2 三、探究

观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律.

【注意】

•1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中

•2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点

•3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系

1、二项式系数表的规律

①每行两端都是1

②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）

“杨辉三角”与二项式系数的性质

——人教A版数学选修2-3第1章第3节第2课时

一、教材背景分析

1．教材的地位和作用

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.

本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.

研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.

2．学情分析

知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.

心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.

3．教学重点与难点

重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.

难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.

关键：函数思想的渗透.

二、教学目标

1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.

2017级数学2-3针对性练习 编制时间：2018年12月3日 主编人：何公平 审核人：唐丽娜 学生姓名： 使用时间：2018年 月 日

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

A级 基础巩固

一、选择题

1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )

A．n，n＋1 B．n－1，n

C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3

2．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )

A．－2 B．－1 C．1 D．2

3．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为( )

A．71 B．70 C．21 D．49

4．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于( )

A．64 B．32 C．63 D．31

5．若3x－132xn的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是( ) A．3 B．4 C．10

D．12

二、填空题

6．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．

7．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为________．

8．如图所示，满足如下条件：

①第n行首尾两数均为n；

②表中的递推关系类似“杨辉三角”．

则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．

1

2 2

3 4 3

4 7 7 4

5 11 14 11 5

6 16 25 25 16 6

…

三、解答题

9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．