选修2-3第一章1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质人教A版最新版

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1．问题导航

(1)什么是杨辉三角？它具有哪些特点？

(2)二项式系数的性质有哪些？什么是赋值法？

2．例题导读

例3证明二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，请试做教材P35练习1、2题．

1．杨辉三角的特点

(1)在同一行中，每行两端都是________1，与这两个1等距离的项的系数________相等．

(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________和，即________Crn＋1＝Cr－1n＋Crn．

2．二项式系数的性质

(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，„，Crn＝Cn－rn.

(2)增减性与最大值：当k

(3)二项式系数的和：

①C0n＋C1n＋C2n＋„＋Cnn＝________2n．

②C0n＋C2n＋C4n＋„＝C1n＋C3n＋C5n＋„＝________2n－1．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )

(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )

(3)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋„＋Cnn.( )

答案：(1)√ (2)× (3)×

2．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )

A．n，n＋1 B．n－1，n

C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3

答案：C

3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( )

A．5 B．6 C．7 D．8

答案：A

4．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．

答案：2n－1

1．与杨辉三角有关的问题的注意事项

(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．

实用文档 2021年高中数学 第一章《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案2

新人教A版选修2-3

例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数

解：∵5552)2x()1x()2x3x(

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，

在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为

∴展开式中含x的项为 ，

∴此展开式中x的系数为240

例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项

解：依题意2n4n2n4nC14C33:14C:C

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

设第r+1项为常数项，又 2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT

令，

此所求常数项为180

例6． 设231111nxxxx，

当012254naaaa时，求的值

解：令得：

230122222nnaaaa，

∴，

点评：对于101()()()nnnfxaxaaxaa，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例7．求证：1231232nnnnnnCCCnCn．

证（法一）倒序相加：设12323nnnnnCCCnC ①

又∵1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCC ②

∵，∴，

由①+②得：0122nnnnnSnCCCC，

∴，即1231232nnnnnnCCCnCn．

（法二）：左边各组合数的通项为 实用文档 11!(1)!!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr，

∴ 1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCnCCCC．

选修2-3 第一章 1.3 1.3.2

一、选择题

1．若(3x－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是导学号 03960251( )

A．第3项 B．第4项

C．第5项 D．第6项

[答案] C

[解析] 令x＝1，得出(3x－1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；

∴(3x－1x)8的展开式通项公式为：

Tr＋1＝Cr8·(3x)8－r·(－1x)r＝(－1)r·38－r·Cr8·x4－r，

令4－r＝0，解得r＝4.

∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．

2．若9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1是11的倍数，则自然数n为导学号 03960252( )

A．奇数 B．偶数

C．3的倍数 D．被3除余1的数

[答案] A

[解析] 9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1

＝19(9n＋1＋C1n＋19n＋…＋Cn－1n＋192＋Cnn＋19＋Cn＋1n＋1)－19

＝19(9＋1)n＋1－19＝19(10n＋1－1)是11的倍数，

∴n＋1为偶数，∴n为奇数．

3．(2016·潍坊市五校联考)已知(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为导学号 03960253( )

A．3 B．4

C．5 D．6

[答案] D [解析] 通项Tr＋1＝Crn(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，当r＝23n时为常数项，即(－1)23 nC2n3n＝15，经检验n＝6.

4．若a为正实数，且(ax－1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为导学号 03960254(

)

A．1x2016 B．－1x2016

C．4032x2014 D．－4032x2014

[答案] D

[解析]由条件知，(a－1)2016＝1，∴a－1＝±1，

1 / 111 1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学目标：

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

第一课时

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，

（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.

2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，…，nnC．rnC可以看成以r为自变量的函数()fr

定义域是{0,1,2,,}n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mnmnnCC）．

直线2nr是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kknnnnnnknkCCkk， 2 / 112 ∴knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，

当12nk时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；