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复数的乘除运算

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高中优质公开课教学课件推选复数的乘除法运算

高中优质公开课教学课件推选复数的乘除法运算

写成代数形式(分母实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
分母实数化
例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i2 时，要把 i2 换
成-1，并把最后的结果写成
a bi(a,b R) 的形式。
=9+16=25
练习：计算 （1）(a bi)(a bi)
a2 abi abi b2i2
a2 b2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么
1
2
3
1
2
3
•（ ） • •
1
2
312来自13三、【例题讲解】
例1
已知1 1 2i, 2 3 4i
计算1 • 2。
解:
1 • 2 （1 2i）(3 4i)
3 4i 6i 8i2
11 2i
例2(1 2i)(3 4i)(2 i)

复数代数形式的乘法运算 课件

复数代数形式的乘法运算 课件
复数代数形式的乘除运算
复数乘法
设 z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
类似多项 式相乘
=(ac-bd)+(ad+bc)i
注:把i2换成-1
两个复数的积仍是一个确定的复数
我们比较容易证明这些性质：
1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1·(z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(2)z1•z2是一个怎样的数?
y
b
Z1
(b Z2
(2)是一实数
z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
复数的除法法则
除法是乘法的逆运算
a bi c di (c+di≠0)
a bi
c di
a c
bic dic
di di
分子分母都乘以 分母的共轭复数
(实数化)
分析: 代入化简后，通过复数相等，把复数问题转 化为实数问题来解
例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解 (1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -20+15i
练习 计算 (1) (7-6i)(-3i);
-21i-18 (2) (3+4i)(-2-3i);
6-17i (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i)
-20-15i
例3 计算
(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2

复数的乘除法

复数的乘除法

ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化：
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则：
①设复数a+bi (a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商 为x+yi (x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法 给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解： (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子 与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最 后再化简，这种方法叫做分母实数化法 。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i

复数代数形式的乘除运算

复数代数形式的乘除运算

把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a

复数代数形式的乘除运算

复数代数形式的乘除运算

课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.

复数的乘除运算

复数的乘除运算

复数的乘除运算是数学中基础的一部分，也是实际生活中经常会用到的概念。

复数是由实数部分和虚数部分构成的。

实数部分一般用字母a表示，虚数部分一般用字母b表示，虚数部分带有一个i，即√-1，其中√表示根号。

复数通常用z来表示，即z=a+bi。

复数的乘法是指两个复数相乘的运算，公式为：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，其中a、b、c、d都是实数。

举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的乘积。

解法如下，将两个复数代入公式中，得到：z1z2=(2+3i)(1+4i)=(2×1-3×4)+(2×4+3×1)i=-10+11i因此，z1z2=-10+11i。

复数的除法是指两个复数相除的运算，公式为：z1/z2=(a1+ib1)/(a2+ib2)，其中a1、b1、a2、b2都是实数。

举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的商。

解法如下，将两个复数代入公式中，并对分母有理化，得到：z1/z2=(2+3i)/(1+4i)=((2+3i)(1-4i))/((1+4i)(1-4i))=((2+3i-8i-12)/17=(-10-6i)/17因此，z1/z2=-10/17-6i/17。

需要注意的是，复数的除法并不满足乘法的交换律和结合律，因此在计算时需要格外小心。

同时，在除数为零的情况下，复数的除法也是不存在的。

总的来说，是数学中基础的一部分，它的应用非常广泛，涵盖了物理、工程、经济等多个领域，在实际生活中也有着广泛的应用。

对于学习数学的人来说，深刻理解是非常重要的。

复数的乘、除运算


A.－3＋2i
B.3＋2i
C.－2＋3i
D.2＋3i
解析：∵Δ＝36－4×13＝－16，
∴x＝－6±2 －16＝－3±2i. 答案：A
2.已知 a，b∈R，且 2＋ai，b＋i(i 是虚数单位)是实系数一元 二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根，求 p，q 的值. 解：由根与系数的关系可得22＋＋aaii·＋b＋b＋i＝i＝q，－p， 即pq＝ ＝－2b－2＋a＋b－2＋aa＋b1i，i， 因为 p，q 均为实数，所以－ 2＋aa＋b＝10＝，0， 解得ba＝＝2－，1， 从而有pq＝ ＝－ 5. 4，
答案：6
4.复数 z＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________. 解析：因为 z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数 z 的实部为 2. 答案：2
A.3＋5i
B.3－5i
()
C.－3＋5i
D.－3－5i
[解析] (1)31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i＝3＋5i. [答案] (1)D (2)A
[对点练清]
2.复数乘法的运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有 交换律
z1z2＝___z_2_z_1 ___
结合律 乘法对加法的分配律
(z1z2)z3＝___z1_(_z2_z_3_) _ z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋__z_1z_3
3.复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di) ＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(a，b，c，d∈R， 且 c＋di≠0).
2.若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象 限，则实数 a，b 应满足什么条件？

复数运算的基本法则

复数运算的基本法则复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。

复数运算是对复数的加减乘除以及其他常见操作的统称。

一、复数的加法法则两个复数相加的结果，实部与实部相加，虚部与虚部相加。

即：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i二、复数的减法法则两个复数相减的结果，实部与实部相减，虚部与虚部相减。

即：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法法则两个复数相乘的结果，使用分配律展开后并整理，得到以下公式：(a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法法则两个复数相除的结果，先将除数乘以其共轭复数，然后使用分数除法展开并整理，得到以下公式：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i这些是复数运算的基本法则，可以用于计算复数的加减乘除等操作。

在实际应用中，复数运算广泛应用于工程学科、物理学科、电路分析等领域，具有重要的实际意义。

例如，在电路分析中，使用复数可以简化电路的计算和分析过程。

通过将电阻、电感、电容等元件的阻抗用复数表示，可以方便地进行相量运算，简化计算步骤，提高计算效率。

此外，复数还可以用于描述波动和振动现象。

在物理学中，复数形式的指数函数可以表示周期性运动，如正弦波和余弦波。

通过复数运算，可以方便地计算波的传播、幅度、相位等参数。

综上所述，复数运算的基本法则是进行复数加减乘除等操作的规则。

掌握了这些基本法则，可以更好地理解和应用复数，提高复数运算的准确性和有效性。

在实际应用中，复数运算扮演着重要的角色，对于解决工程和物理问题具有重要意义。

复数的运算

引言：复数的运算是数学中的重要概念之一，它涉及到复数的加减乘除以及其他运算规则。

在上一篇文章中，我们已经介绍了复数的加减法运算，本文将进一步探讨复数的乘法和除法运算，并对其进行详细阐述。

通过学习本文，读者将更深入地理解复数的运算规则，并能够熟练进行相关计算。

概述：复数的乘法和除法运算是在实数基础上对虚数单位i进行运算的结果。

通过乘法和除法运算，我们可以更灵活地处理复数，并应用于复杂的数学问题中。

本文将依次介绍复数的乘法和除法运算的基本规则，包括运算法则、运算性质以及应用实例等。

正文内容：一、复数乘法运算1.1乘法法则1.1.1乘法的定义1.1.2乘法的交换律1.1.3乘法的结合律1.1.4乘法的零元和幺元1.1.5乘法的分配律1.2乘法性质1.2.1乘法的逆元1.2.2乘法的平方1.2.3乘法的倒数1.2.4乘法的绝对值1.2.5乘法的应用实例二、复数除法运算2.1除法法则2.1.1除法的定义2.1.2除法的零除法2.1.3除法的结合律2.1.4除法的分配律2.1.5除法的可逆性2.2除法性质2.2.1除法的逆元2.2.2除法的倒数2.2.3除法的绝对值2.2.4除法的应用实例三、复数乘法与除法运算综合应用3.1解复数方程3.2求复数的倒数3.3求复数的幂3.4求复数的乘法逆元3.5求复数的绝对值3.6综合应用实例四、常见乘法与除法的错误和注意事项4.1乘法与除法计算中的常见错误4.1.1忘记交换律和结合律4.1.2遗忘乘法的特殊性质4.1.3忽略乘法的分配律4.2乘法与除法运算的注意事项4.2.1注意复数的特殊形式4.2.2注意分母为零的情况4.2.3注意复数运算的结果4.2.4注意保留有效数字总结：复数的乘法和除法运算是数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们对复数乘法和除法运算有了更深入的认识。

学习复数的运算规则和性质，有助于我们更好地理解复数的数学特性，并能够灵活应用于实际问题中。

在进行复数乘法和除法的计算时，我们还需要注意一些常见错误和注意事项，以确保计算的准确性和有效性。

《复数的乘除运算》课件与练习

2
实数 的值
【解】设方程的实数根为 = ，

则 32 − 2 − 1 + 22 + − 10 ⅈ = 0
∴

32 − 2
− 1 = 0,
22 + − 10 = 0,
解得 = 11 或 = −
71
5
将方程转化为等号两
边均为复数 + ⅈ(, ∈
) 的形式，确定两边复数
2
复数代数形式的乘方
实数集内的乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一
定成立，如：
当 ∈ 时， 2 = ||2；当 ∈ 时， = 2 ∈ , 2 ∈ , 故 2 与 ||2 不
一定能比较大小
若 , ∈ ，则 2 + 2 = 0 ⇔ = = 0 ；若 1, 2 ∈ ，则 12 +
c＋di
[提醒]
在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的
共轭复数 c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把
分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
小试牛刀
)
1．复数(3＋2i)i 等于(
B．－2＋3i
A．－2－3i
C．2－3i
D．2＋3i
答案 B
2. 已知复数 z＝2－i，则 z·z 的值为(
和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，比如： 3 表示3个 相乘
2
复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复
数范围内仍然成立，即对任意 , 1, 2 ∈ , , ∈ ∗ ，有：
= +


=

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．
(1 − 4i )(1 + i ) + 2 + 4i 的值是 3 + 4i
1 3 + i ，求 ω 2 , ω 3 , ω + ω 2 + ω 3 2 2
3
．
思考： （1）在复数内解方程 x = 1 ； （2） ( − 六、课堂小结： 课堂小结 复数的代数形式的乘法与除法运算法则
1 3 2011 + i) 2 2
新疆 王新敞
奎屯
新疆 王新敞 奎屯
教学重点 复数代数形式的除法运算 教学难点 对复数除法法则的运用
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
知识结构
复数的除法法则是：
a + bi ac + bd bc − ad = + i(c+di≠0). c + di c 2 + d 2 c 2 + d 2
第 1 页
4、复数除法定义： 满足(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以 复数 c+di 的商，记为：(a+bi) ÷ (c+di)或者 5、除法运算规则： (a+bi)÷(c+di)=
a + bi c + di
a + bi ac + bd bc − ad ＝ + i. + d 2
教师手记
教 学 过 程 设 计
一、知识回顾： 知识回顾： 复数代数形式的加减运算。 讲解新课： 二、讲解新课： １、乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设 z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2、乘法运算律： ① z1 ⋅ z 2 = z 2 ⋅ z1 ； ② ( z1 ⋅ z 2 ) ⋅ z 3 = z1 ⋅ ( z 2 ⋅ z 3 ) ；
课后作业 板 书 设 计
同步作业本、课本第 112 页
习题 3. 2
A 组 4，5，6 练习、板演、作业
复数代数形式的乘除运算 §3.2.2 复数代数形式的乘除运算 １、乘法 例１ 注： 例２ ２、共轭复数 例３ ３、除法
教 学 反 思
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 式类似的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是：
教 学 过
点评： (c+di)·(c－di)=c2+d2 是正实数。所以可以分母实数化.。把这种 方法叫做分母实数化法
新疆 王新敞
奎屯
【例 3】计算 (1 + 2i ) ÷ (3 − 4i ) 五、巩固练习： 巩固练习 1．设 z=3+i,则
新疆 王新敞 奎屯
程 设 计
3．设 ω = − 2．
1 等于 z
课 时
复数代数形式的乘除运算 题 §3.2.2 复数代数形式的乘除运算 下午第１ 间 2011-3-24 下午第１节
教 研 组
高二（ ） 高二（10）班
高中数学组 高中数学组
地
点
授课教师
古积霞
教学目标
1. 知识与技能： 知识与技能： 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则； 理解除法运算是乘法运算的逆运算 2. 过程与方法： 过程与方法： 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 3. 情感、态度与价值观： 情感、态度与价值观： 我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要 从而让学生积极主动地建构知识体系。
复数的代数式相乘，可按多项
a + bi ac + bd bc − ad = + i(c+di≠0). c + di c 2 + d 2 c 2 + d 2
新疆 王新敞 奎屯
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式， 然后把分子与分母都乘以 分母的共轭复数，再把结果化简 谢 谢 指 导 ！
第 2 页
３
③ z1 ⋅ ( z 2 + z 3 ) = z1 ⋅ z 2 + z1 ⋅ z 3 三、例题讲解： 例题讲解： 【例 1】计算：(1-2i)(3+4i)(-2+i) 【例 2】计算：①(3+4i) (3-4i) ；②（1+ i)2. 新课继续： 四、新课继续： 3、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭 复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯
通常记复数 z 的共轭复数为 z 。设 z = a + bi ( a, b ∈ R ) ，则 z = a − bi 且① z = z ；② z + z = 2a ；③ z − z = 2bi ；④ z ⋅ z = a + b
2 2
另外不难证明： z1 + z 2 = z1 + z 2 ， z1 − z 2 = z1 − z 2