用割补法求面积

第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。

12.27专项训练：应用题（割补法求面积） 姓名：方法与例题：1.面积计算：列式计算：5×3＋（5＋3＋5）×5＝5×3＋13×5 ＝15＋65＝80（cm ²）方法：①用尺画“割线”，把不规则图形，切割成几个长正方形。

②切割后，给切出来的长正方形编号。

③找到每个长正方形的长宽、边长。

④运用长正方形面积公式，并把它们的面积“加”起来。

（长方形面积＝长×宽； 正方形面积＝边长×边长）★重要说明：用尺画“割线”，把不规则图形，切割成2个长方形。

切割后，给切出来的长正方形编号①②。

找到：长方形①的长宽分别是5cm 和3cm 。

长方形②的长宽分别是（5＋3＋5）cm 和5cm 。

运用长方形面积公式，再加起来。

算式：5×3＋（5＋3＋5）×5。

★重要备注：一般情况，凸图形用割、凹图形用补。

计算更简便。

2.面积计算：（单位为m ²）列式计算：10×10—7×3 ＝100—21＝79（m ²）方法：①用尺画“补线”，把不规则图形，补成完整的长正方形。

②补完整后，给补好后的大长正方形和用来填补的长方形编号。

③找到每个长正方形的长宽、边长。

④运用长正方形面积公式，并把它们的面积作“减”法。

（长方形面积＝长×宽； 正方形面积＝边长×边长）★重要说明：用尺画“补线”，把不规则图形，补成完整的正方形。

补完整后，给补好后的大正方形①和用来填补的长方形②编号。

找到：正方形①的边长是10m 。

长方形②的长宽分别是7cm 和3cm 。

运用长方形面积公式，再作“减”法。

算式：10×10—7×3。

★重要备注：一般情况，凸图形用割、凹图形用补。

计算更简便。

① ②① ②应用题（割补法求面积）练习题6道：★要求：①先熟读上面方法与例题，尤其是重要说明。

②仿照练习，保持习惯。

一次函数与面积割补法
一次函数是指一个函数的最高次数为1的多项式函数，表示为
y=f(x)=ax+b，其中a和b是常数。

面积割补法是一种用来求曲线下的面积的数学方法。

它基于图形的形状和性质，将曲线下的面积分割成一系列小矩形，然后计算每个小矩形的面积，并将它们加起来得到整个曲线下的面积。

在面积割补法中，使用一次函数来逼近曲线，将曲线下的面积近似为一系列小矩形的面积之和，这样可以简化计算过程。

具体实施面积割补法时，首先将曲线划分成若干小区间，然后在每个小区间上选择一个特定的x值，计算相应的y值，并绘制一条通过这个点的直线，将其近似为曲线的切线。

这条切线可以表示为一次函数。

然后计算每个小矩形的面积，即矩形的宽度乘以高度。

最后将所有小矩形的面积相加，得到整个曲线下的面积的近似值。

面积割补法是一种近似计算曲线下的面积的方法，当曲线比较平滑且函数易于计算时，可以得到较为准确的结果。

然而，在曲线变化较大或者函数难以求解的情况下，这种方法的精度可能会降低。

割补法求面积经典例题三角形嘿，大家好！今天我们来聊聊一个让人又爱又恨的数学话题——割补法求三角形的面积。

听起来好像挺高大上的样子，其实说白了就是在玩一种有趣的拼图游戏！想象一下，你在阳光下的草地上，正在和小伙伴们搭建一个梦幻的帐篷。

你们找来各种形状的布料，拼来拼去，直到搭出一个完美的三角形。

可是，你知道这个三角形的面积怎么算吗？别急，我这就告诉你，保准让你听得乐开怀！想象一下你眼前有个三角形。

好吧，可能三角形的样子不太好形容，反正就是像个比萨饼被切了一刀，哦，不对，是三角形比萨！嘿嘿。

咱们可以把这个三角形想象成一个被分割成小块的蛋糕，哈哈，听上去是不是让人流口水？割补法其实就是把这个三角形切成若干个简单的小图形，比如说矩形或平行四边形。

你要知道，切得好，面积就好算。

咱们用个简单的例子来说明一下。

想象你在划分一个直角三角形。

把这个三角形的直角边拿来一根直尺，测量一下长和宽。

比如，假设一边长5厘米，另一边长12厘米。

你心里会想，哎呀，这面积怎么算呢？别担心，拿出割补法，让我来给你划个重点！把这个三角形沿着高的方向切开，形成一个小矩形。

然后就可以利用矩形的面积公式——长乘宽，来算出一部分的面积。

就这样，你算出了矩形的面积，接着再加上另外一部分。

记得我提到的三角形吗？它的面积就是1/2乘以底边长再乘以高。

这个高可不是简单的“高冷”，而是从顶点到底边的那条垂线，简直就是个“超级英雄”！只要你能找到这条高，你就能轻松搞定整个三角形的面积。

切的时候要小心别划到手哦，虽然手可能不想参与这场数学派对。

咱们玩割补法可不是在切菜，而是用心在拼图！想象一下，等你把所有的部分拼好，哇哦，那感觉就像完成了一幅大作，满满的成就感！数学也能像做手工一样，变得那么有趣和生动。

听到这里，大家是不是觉得割补法其实也挺好玩的呢？说到这，我不得不提一个小插曲。

记得有一次我和朋友一起做这个实验。

我们在公园里随手画了个三角形，结果旁边的小朋友看到后就兴奋地跑过来：“哇，老师，我们也能学！”于是乎，大家齐心协力，纷纷掏出纸笔来，一场即兴的数学聚会就这么开始了。