直线和圆的位置关系(1)

直线和圆有哪几种位置关系？
答：直线和圆有三种位置关系．它们是直线和圆相交；直线和圆相切；直线和圆相离．
直线和圆的三种位置关系是这样定义的：
(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2)直线和圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
根据定义，容易看出：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线和圆的位置关系可以用它们交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分，它们是一致的．
直线和圆的位置关系，可用下表表示．
例1 已知⊙O的半径为11厘米，当直线MN与⊙O的位置是相离、相切、相交时，O点到直线MN的距离分别如何？
解⊙O的半径r=11厘米，所以有：
当直线MN与⊙O相离时，圆心O到直线MN的距离d大于半径11厘米．当直线MN与⊙O相切时，圆心O到直线MN的距离d等于11厘米．
当直线MN与⊙O相交时，圆心O到直线MN的距离d小于11厘米．
例2 已知Rt△ABC的斜边AB=6厘米，直角边AC=3厘米．圆心为C，半径分别为2厘米、4厘米的两个圆与AB有怎样的位置关系？半径多长时，AB 与圆相切？
解：过C作CD⊥AB，垂足为D(如图)．
在直角△ABC中，有
根据三角形的面积公式，有
CD·AB=AC·BC．
当⊙C的半径为2厘米时，⊙C与AB相离；
当⊙C的半径为4厘米时，⊙C与AB相交；
由以上两例可以看出：直线和圆的位置关系是由公共点的个数确定的，可以由圆心到直线的距离与圆的半径的关系来决定．。

课题：直线和圆的位置关系（第一课时）授课人：课型：新授课教学目标：1、学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义.2、会用定义来判断直线与圆的位置关系.3、通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。

教材分析：直线和圆的位置关系的内容，是本章的重点内容之一。

从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆和圆的位置关系的基础。

从数学思想方法的层面上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的数学思维品质。

因此，直线和圆的位置关系在圆一章中起着承上启下的作用。

教学重点：探索并理解直线与圆的三种位置关系及圆的切线性质。

教学难点：根据条件判断直线与圆的三种位置关系及探索圆的切线性质。

教法与学法指导：首先让学生感受生活中反映：直线与圆位置关系的现象，然后让学生动手操作．在这一过程中引导学生归纳出直线与圆的几种位置关系，进一步归纳出直线与圆的不同位置关系中d与r的大小关系，然后对d＝r的情形特别关注，这就是圆和直线的相切关系，从而讨论得出切线的性质,并用反证法证明。

所以本节课采用“情境导入—探究新知—巩固提高—课堂小结—达标检测”教学模式。

课前准备：教师: 多媒体、导学案、直尺、圆规学生：直尺、圆规教学过程：一情境导入今天老师和同学们一起来探究直线和圆的位置关系（一），请同学们认真观察下面三幅照片，地平线与太阳的位置关系是怎么样的？●O●O●O生：把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系。

设计意图：通过观察从海上日出这种自然现象，让学生在欣赏美景中可以抽象出直线和圆的基本图形，从而调动学习的兴趣，激发对新知识的探究。

二探索新知1直线和圆的位置关系：（用公共点的个数来区分）师：请同学们观察上图，你会发现直线和圆有几种位置关系，每种关系直线与圆的公共点个数又是怎么的？ 生：三种位置关系。

C BA直线和圆的位置关系（第1课时）学习目标：1．理解直线和圆的三种位置关系；2．能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，判断直线和圆的位置关系．学习过程：1．直线和圆的位置关系(1)直线和圆有两个公共点，我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．(2)直线和圆只有一个公共点，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点；(3)直线和圆没有公共点，我们说这条直线和圆相离；2．圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系：(1) 直线和圆相交⇔d＜r． (2)直线和圆相切⇔d＝r；(3) 直线和圆相离⇔d＞r；练习1：1．已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：(1)若d=4.5cm，则直线与圆，直线与圆有____ 个公共点．(2)若d=6.5cm，则直线与圆___ _ ，直线与圆有____ 个公共点．(3)若d= 8 cm，则直线与圆，直线与圆__ __ 公共点．2．已知⊙O的半径为5cm，圆心O与直线AB的距离为d，根据条件填写d的范围：(1)若AB和⊙O相离，则；(2)若AB和⊙O相切，则；(3)若AB和⊙O相交，则．例1已知Rt△ABC的斜边AB=6cm，直角边AC=3cm．以A为圆心，半径分别为2cm、4cm的两个圆和直线BC有怎样的位置关系？半径r多长时，BC与⊙A相切？变式训练: 在上题中，“圆心为C，半径分别为2cm、4cm的两个圆和直线AB有怎样的位置关系？半径r多长时，直线AB与⊙C相切？练习2：1.已知点M到直线l的距离是3cm，若⊙M和l相切．则⊙M的直径是；若⊙M的半径是3.5cm，则⊙M与l的位置关系是；若⊙M的直径是5cm，则⊙M 和l的位置是．2．RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边上的高线等于；若以C为圆心作和AB相切的圆，则该圆的半径为r＝；若以C为圆心，以5为半径作圆，则该圆和AB 的位置关系是 ．3．⊙O 的半径r=5 cm ，点P 在直线l 上，若OP=5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（） A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交4. （选做）如图，在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为（3，4），以P 为圆心，R 为半径作⊙P ，试求出下列情况下R 的取值范围：（1）若⊙P 与坐标轴没有公共点，则 ； （2）若⊙P 与坐标轴只有一个公共点，则 ；（3）若⊙P 与坐标轴有两个公共点，则 ；（4）若⊙P 与坐标轴有三个公共点，则 ；（5）若⊙P 与坐标轴有四个公共点，则 ．例2设⊙O 的圆心O 到直线的距离为d ,半径为r ，d ，r 是方程(m +9)x 2－(m +6)x +1=0的两根,且直线和⊙O 相切时,求m 的值?课堂小结：（1） 直线和圆的位置关系：相交、相切、相离。

直线与圆的位置关系（1）一、教学目标（1）经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会数学地思考问题（2）理解直线和圆的三种位置关系二、教学重难点会正确判断直线和圆的位置关系。

（重、难点）三、教学内容复习点与圆的位置关系，回答问题：如果设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，请你用d 与r 之间的数量关系表示点P 与⊙O 的位置关系。

活动一：操作思考1、 操作：请你画一个圆，上、下移动直尺。

思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？请你描述这种变化。

讨论：①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系②直线与圆的公共点个数有何变化？2、直线与圆有＿＿＿＿种位置关系：（1）直线与圆有两个公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿ 。

（2）直线与圆有惟一公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿，这条直线叫做 这个公共点叫做＿（3）直线和圆没有公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

活动二：观察、思考1、下图是直线与圆的三种位置关系，请观察垂足D 与⊙O 的三种位置关系，说出这三种位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系。

2、探索：若⊙O 半径为r ， O 到直线l 的距离为d ，则d 与r 的数量关系和直线与圆的位置关系：①直线与圆 d r ， ②直线与圆 d r ，③直线与圆 d r 。

⇔⇔⇔活动三：例题分析例1：在△ABC 中，∠A ＝45°，AC ＝4，以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2(2)r=22 (3)r=3师分析生解答四、知识梳理1、直线与圆有＿＿＿种位置关系，分别是 、 、 。

2、若⊙O 半径为r ， O 到直线l 的距离为d ，则d 与r 的数量关系和直线与圆的位置关系：①直线与圆 d r ，②直线与圆 d r ，③直线与圆 d r 。

五、达标检测一1、在△ABC 中，AB ＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,（1）若以C 为圆心，2cm 长为半径画⊙C ，则直线AB 与⊙C 的位置关系如何？（2）若直线AB 与半径为r 的⊙C 相切，求r 的值。

教学过程一、复习预习1．直线的方程；2．圆的方程；3．直线与圆、圆与圆的位置关系；4．数形结合思想方法的应用。

二、知识讲解1．研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系．直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA C Bb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ； 0>∆⇔⇔<相交r d2.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为1O ，2O ，半径分别为1r ，2r ，d O O =21． ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3 直线和圆相切：① 圆的方程为222(0)x y r r +=>，点00(,)M x y 在⊙O 上，则过M 的切线方程为200x x y y r +=．② 过圆外一点求圆的切线方程，一般用待定系数法解决．三、例题精析【例题1】已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为( )（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B)22(1)(1)2x y -++= (C)22(1)(1)2x y -+-= (D)22(1)(1)2x y +++=【答案】圆心在0x y +=上，排除C 、D ，再结合图象，或者验证A 、B 中圆心到两直线的B【解析】选择题是一类特殊的考查方式，有其自身的解题规律．做选择题，首先要研究选项，观察共性与区别，确定解题思路；并注意适当应用带入验证法、反例排除法、数形结合法、特值法等，以使解题过程优化，“小题小做”．【例题2】从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12 B ．35 CD ．0 【答案】圆222210x x y y -+-+=化成圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=．其圆心为(1,1)M ，半径为1，从圆外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21， 所以两切线夹角的正切值为1242tan 1314θ⋅==-，该角的余弦值等于35，选B ． 【解析】本题考查了直线与圆的位置关系及三角函数的相关知识，有一定的综合性，对计算与推理能力也有一定要求．首先，通过配方法把圆的一般方程转化为圆的标准方程，确定圆心和半径，再利用圆的相关性质和三角函数公式，使问题得到解决．特别值得注意的是，直线和圆相切，是直线和圆的位置关系中的特殊情况，也是考查的重点．解决此类问题，要充分利用圆的相关几何性质，数形结合．【例题3】过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）AB ．2 ．CD ．【答案】过原点且倾斜角为60︒0y -=，圆2240x y y +-=化成标准方程为22(2)4x y +-=，圆心(0,2)0y -=的距离为1d ==，因此，弦长为==D ．【解析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，弦长与半径、弦心距之间的关系．通过配方，把圆的一般方程转化为圆的标准方程，以确定圆心和半径，是数形结合解决直线与圆位置关系问题的基础，要熟练掌握配方法，培养数形结合的意识和思想，提高推理和计算能力，合理应用圆的平面几何性质．【例题4】圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D 内切【答案】圆221:20O x y x +-=的圆心为(1,0)A 半径为11r =，圆222:40O x y y +-=的圆心为(0,2)B ，半径为22r =，所以AB因为211213r r r r -=<+=，所以两圆相交．选B ． 【解析】本题主要考查圆与圆的位置关系，方法是比较圆心距与两圆半径的和与差的大小关系．【例题5】若⊙22:5O x y +=与⊙221:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 【答案】4,25525,5,52,5,111=∴=⨯==∴==∆AB AC OO A O OA A OO Rt 中在【解析】本题主要考查对几何图形的观察和应用能力．对圆的切线的几何性质的准确理解是问题解决的关键．【例题6】由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1 B． CD ．3 【答案】设圆心到直线1y x =+的距离为d ，因为1r =，d ==C ．【解析】本题考查点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系．从圆外一点引圆的切线，连结该点与圆心的线段、过切线切点的半径及切线长构成直角三角形，满足勾股定理，该性质是本题解决的关键．【例题7】已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为求直线l 的方程．【答案】 将圆的方程写成标准形式，得 22(2)25x y ++=，所以，圆心坐标是(0,2)-，半径长5r =．因为直线l被圆所截得的弦长为= 即圆心到所求直线l因为直线l 过点(3,3)M --，当直线的斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设所求直线l 的方程为3(3)y k x +=+， 即330kx y k -+-=．根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离d =．=31k -=两边平方，并整理得到22320k k --=，解得12k =-，或2k =． 所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为13(3)2y x +=-+，或32(3)y x +=+【解析】 本题考查了直线与圆的位置关系，具有一定的综合性．解题过程，数形结合的思想方法得到了较好的体现．合理利用圆的相关性质，使得解题过程合理，运算简化． 【例题8】已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．【答案】 由2223060x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩消去x ，得2520120y y m -++=设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则1y 、2y 满足条件1212124,5my y y y ++=⋅= ∵OP ⊥OQ ，∴12120x x y y +=而112232,32x y x y =-=-，∴ 1212121296()41545mx x y y y y +=-++=-+⋅ ∴1212154055m m++-+⋅+= ∴3m =，此时△0>，圆心坐标为1(,3)2-，半径52r =．【解析】本题考查了直线和圆的位置关系，要认真体会数形结合及方程思想．在解题过程中，采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式是否大于零帮助考虑,体会垂直条件是怎样转化的，以及韦达定理的作用，处理1y 、2y 与1x 、2x 的对称式，在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算，我们要认真总结，灵活应用．【例题9】一个圆和已知圆2220x y x +-=外切，并与直线l : 0x =相切于点(3,M ，求该圆的方程．【答案】已知圆2220x y x +-=方程化为标准形式为 22(1)1x y -+=，其圆心(1,0)P ，半径为1．设所求圆的圆心为(,)C a b因为两圆外切，所以1PC =+=1 ①又所求圆与直线l ：0x =相切于(3,M ，∴直线,1CM l CM l k k ⊥=-，于是1=-，即b =- ② 将②代入①化简，得240a a -=， ∴ 0a =，或4a =．当0a =时，b =-，所求圆方程为(2236x y ++=当4a =时，0b =，所求圆方程为22(4)4x y -+=．【解析】本题考查了直线与圆及圆与圆的位置关系．我们先设出圆心坐标，再根据已知条件建立方程组，通过解方程组最终实现问题的解决．解题过程，充分体现了待定系数的思想方法．另外，解决与圆有关的问题，要数形结合，充分考虑圆的几何性质，从而使问题求解得到优化．【例题10】已知⊙O 方程为224x y +=，定点(4,0)A ，求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程．【答案】解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，因为动圆过定点A ，所以PA 即动圆半径．当动圆P 与⊙O 外切时，2PO PA =+； 当动圆P 与⊙O 内切时，2PO PA =-．综合这两种情况，得PO PA -=将此关系式坐标化，得2=．化简可得22(2)13y x --=解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系2PO PA -=．即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2，所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点(2,0)，实半轴长1a =，半焦距2c =，虚半轴长b ==所以轨迹方程为22(2)13y x --=． 【解析】 本题以直线和圆的相关知识为背景，考查满足条件的动点轨迹方程问题．解题过程，充分体现和应用了坐标法． 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．【例题11】已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）．（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．【答案】（1）证明：l 的方程可化为（x +y －4）+m （2x +y －7）=0． ∵m ∈R ，∴27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即l 恒过定点A （3，1）．∵圆心C （1，2），｜AC 5（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C相交于两点．（2）弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－12，∴l 的方程为2x －y －5=0． 【解析】本题考查了圆的弦长问题，直线系的知识，进一步考查了参数思想． 解题关键是抓住图形的几何性质，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化/推理，达到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨．【例题12】实数,x y 满足222410x y x y ++-+=， 求下列各式的最大值和最小值：（1）4yx -； （2）2x y -．【答案】原方程为22(1)(2)4x y ++-=，表示以(1,2)P -为圆心，2为半径的圆．（1）设4yk x =-，几何意义是：圆上点(,)M x y 与点(4,0)Q 连线的斜率． 由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值。