下载文档原格式
第17卷第5期 2008年10月系统管理学报Journal o f Systems &M anagementVol.17No.5 Oct.2008文章编号:1005-2542(2008)05-0525-06一般均衡欧式期权定价模型朱微亮, 刘海龙(上海交通大学安泰经济与管理学院,上海200052)摘要 建立既包含企业生产,又包含投资者消费的一般均衡资产定价方程,得到经济系统中的随机折现因子以及股票收益率所服从的动态方程。
在此基础上,采用二阶近似方法对欧式期权进行定价。
结果表明,欧式期权价格与企业的经营能力、所处的行业特征密切相关,推广了Black &Sholes 的期权定价公式。
关键词:经营能力;行业特征;二阶近似;一般均衡;欧式期权价格中图分类号:F 830.91 文献标识码:AA General Equilibrium Model of European Option PricingZH U Wei -l iang , L I U H ai -long(Antai Colleg e of Eco no mics&Manag em ent,Shanghai Jiaotong U niv ersity,Shanghai 200052,China) Abstract T he article studies o ption prices from the view points of performance and industrial character fo r w ho have a close relation to stock pr ices and enter prise.T hrough constructing a general equilibrium pr icing model,w e loo k for the stochastic discount factor and price the Euro pean optio n by second or der approx ima -tion.T he r esults extend the application fields of B -S fo rmula by show ing that European option prices have a clo se relation to enterprise investments and industry enterprises stand,and the call option prices are de -creasing function of risk -fr ee inter est rate and increasing function of per for mance or industrial develop -m ent.Key words:performance;industrial characteristics;seco nd or der appr oxim ation;general equilibrium;european o ption price收稿日期:2007-03-21 修订日期:2008-04-17基金项目:国家自然科学基金资助项目(70471025)作者简介:朱微亮(1976-),男,博士生。
收稿日期:2003 08 29基金项目:辽宁省自然科学基金资助项目(20022021)作者简介:张 铁(1956-),男,辽宁沈阳人,东北大学教授第25卷第2期2004年2月东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern U niversity(Natural Science)Vol 25,No.2Feb.2004文章编号:1005 3026(2004)02 0190 04求解股票期权定价问题的差分方法张 铁,李明辉(东北大学理学院,辽宁沈阳 110004)摘 要:期权是最重要的金融衍生工具,期权理论的核心是期权定价问题 对于美式期权的价格,不存在解析公式也无法求得精确解 因此,研究各种计算美式期权价格的数值方法具有重要意义 研究美式股票看跌期权定价问题的差分方法 对美式期权所遵循的变分不等式方程建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,利用能量方法进行了差分解的稳定性和收敛性分析,并给出最优阶误差估计 数值计算表明该算法是一个高效和收敛的算法关 键 词:美式看跌期权;股票期权;变分不等式;差分逼近;稳定性;收敛性;数值计算中图分类号:F 224.9 文献标识码:A期权是最重要的金融衍生工具之一,它是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定价格购买或出售标的资产的权利 对于欧式期权,Black 和Scholes 早已给出解析形式的定价公式[1,2]然而,对于美式期权的价格,并不存在这样的解析公式,也无法求得精确解 因此,发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义 美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题或相应的线性互补偏微分方程 作者在文献[3]中已经讨论了美式股票期权定价问题的有限元方法 本文将进一步研究相应问题的有限差分方法,建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,论证了差分解的存在唯一性和稳定性,并给出了最优阶误差估计 最后,用数值计算例验证了本文方法的有效性 为明确起见,本文假定期权的标的资产为股票 用S 表示股票价格,E 为期权的执行价格,P 为期权价格,T 为期权执行日期, 为股票价格的波动率,r 为无风险利率(假定为常数) 进一步假设世界是风险中性的,在期权有效期内股票无红利支付 在这样假设下,美式股票看跌期权的价格P =P(t,S )将满足如下线性互补偏微分方程[4]P t +12 2S 2 2P 2S +r S P S -rP(P -G (S ))=0,(1)P t +12 2S 2 2P 2S +rS PS -rP 0,P G (S ),(2)G (S )=max (E -S ,0),0 S ,0<t <T ,P (T ,S )=G (S ),P(t,0)=G (0),P (t ,S )=0,S(3)1 有限差分逼近首先对问题(1)~(3)进行化简,目的是将变系数方程化为常系数方程,将反向时间问题化为正向时间问题 引进变量变换S =E e x ,t =T - 12 2,P(t,S )=E e -12(k -1)x u (,x )(4)其中,k =r12 2在此变换下,直接计算可知问题(1)-(3)转化为如下问题u - 2u x 2+14(k +1)2u(u -g)=0,0< T 1,(5)u - 2u x 2+14(k +1)2u 0,u g (6)其中,T 1=12 2T ,g(x )=1Ee 12(k -1)x G (S)=e 12k x max (e-12x -e 12x,0)为了便于构造数值方法,还需将上述问题限制在有界区域上,并根据原问题的性质给定相应的边界条件 首先考虑到股票价格S 既不可能上升为无限大,也不可能下降为零,因此可限制变量x [-a,a],a>0充分大 又由于当股票价格S远大于执行价格E时,看跌期权价格P(t,S)=0,因此可令u( ,a)=0 其次,原问题(1)~(3)来源于自由边值问题,也即存在自由边界S*=S*(t)>0,且当0 S<S*时,P(t,S)=G(S)(参见文献[4]第6章,自由边界S*是期权最佳执行边界) 则由变换关系式可令u( ,-a)=g(-a) 这样,问题(5)~(6)的初边值条件可确定为u(0,x)=g(x),u( ,-a)=g(-a), u( ,a)=0(7)现在建立问题(5)~(7)的有限差分近似 剖分空间区域[-a,a]:-a=x0<x1< <x N= a,空间剖分步长h=x i-x i-1=2a/N 再剖分时间区间[0,T1] 0=t0<t1< <t M=T1时间剖分步长 t=t n-t n-1=T1/M 简记u n j=u (t n,x j),引进时间方向一阶向后差分算子 t和空间方向二阶中心差分算子 2x:t u n j=1 t(u n j-u n-1j),2x u n j=1h2(u n j+1-2u n j+u n j-1),那么可有ut(t n,x j)= t u nj +t2u tt( k,x j),u x x(t n,x j)= 2x u n j+h212u(4)x(t n, j)(8)则在剖分节点(t n,x j)处,方程(5)~(7)可离散为( t u n j- 2x u n j+14(k+1)2u nj+nj)(unj-g j)=0,(9)( t u n j- 2x u n j+14(k+1)2u n j+ n j) 0,u n j g j,(10) u0j=g j,u n j=g0,u n N=0,n=1,2, ,M, j=1,2, ,N-1 (11)其中,g j=g(x j),截断误差 n j=O( t+h2) 根据式(9)~(11),定义期权定价问题(5)~(7)的向后欧拉有限差分近似为:求U n j使满足( t U n j- 2x U n j+14(k+1)2U n j)(U n j-g j)=0,(12)t U n j- 2x U n j+14(k+1)2U n j 0,U n j g j,(13) U0j =g j,U n j=g0,U n N=0,n=1,2, ,M,j=1,2, ,N-1 (14)记N维向量U n=(U n0, ,U n N-1)T,G=(g0, , g N-1)T引进R N中的闭凸子集 N={U R N U G,U0=g0} 那么差分方程(12)~(14)的矩阵方程形式为:求U n N,U0=G使满足(U n-U n-1+ t AU n,U n-G)=0,(15)U n-U n-1+ t AU n 0,n=1,2, ,M(16)其中,( , )表示向量欧式内积,用 表示相应的范数,A=(a ij)为对称正定的三对角矩阵,其元素为a ii=2h2+14(k+1)2,a i,i 1=-1h22 差分方程的适定性和误差分析为了研究差分方程(15)~(16)解的存在惟一性、稳定性和收敛性,需要将其转化为等价的变分方程形式定理1 U n为差分方程(15)~(16)解的充要条件是U n N,U0=G满足如下线性变分不等式方程(U n-U n-1+ t AU n,V-U n) 0, V N(17)证明 设U n为(15)~(16)的解 利用方程(16),对任意V N(注意V G)可得(U n-U n-1+ t AU n,V-G) 0,再减去式(15)推得方程(17)成立 反之,设U n N为方程(17)的解 在方程(17)中取V=U n+ C,向量C 0,则得到(U n-U n-1+ t AU n,C) 0,由向量C 0的任意性知方程(16)成立 再取C=U n-G得到(U n-U n-1+ t A U n,U n-G) 0在方程(17)中取V=G,结合此式推得方程(15)成立,证毕 方程(17)可进一步改写为:求U n N,U0=G使满足(BU n-U n-1,V-U n) 0, V N,(18)其中,B=I+ t A 这是与问题(15)~(16)等价的R N中线性变分不等式方程 由于B是对称正定的,因此它的解U n N惟一存在 关于问题(17)的各种求解方法可参见文献[5~10] 下面进行稳定性和收敛性分析定理2 差分方程(15)~(16)按向量A 范是绝对稳定的,即191第2期 张 铁等:求解股票期权定价问题的差分方法U n A U 0 A ,n =0,1, ,M 证明 在方程(17)中取V =(U n +U n +1)/2 N,利用柯西不等式得到 U n-Un-12+12t U n 2A12t (AU n ,U n-1) 12 t U n A U n-1 A ,由此推得定理2结论成立设精确解u(t ,x )在t n 时间层的节点值向量u n =(u(t n ,x 0), ,u(t n ,x N -1))T,误差向量 n( n 0, , n N -1)T那么由方程(9)~(11),完成类似定理1的证明,可知u n N ,u 0=G 满足(u n -u n-1+ t Au n + n,v -u n ) 0,v N(19)定理3 设u (t,x )为问题(5)~(7)解,U n j为(12)~(14)定义的差分近似解,则成立如下误差估计 u n -U n h2aT 1( t/2+h 2/12) max t,x(|u tt (t,x )|+|u (4)x (t,x )|),n =1,2, ,这里 u n h =N-1j=0h |u n j |2表示离散L 2 范数证明 记误差向量e n =u n -U n ,则有(e n,e n)+ t(Ae n,e n)=(u n,u n-U n)+ t(Au n ,u n -U n )-(U n ,u n -U n )- t(AU n,u n-U n )(20)由u n 和U n 所满足的方程(17)和(19)可知(u n ,u n -v )+ t(Au n ,u n -v )(u n-1- t n,u n -v ),v N ,(21)(U n,U n-V )+ t(A U n,U n-V ) (U n-1,U n -V ),V N ,(22)在式(21)和(22)中分别取v =U n,V =u n结合式(20)~(22)得到 e n2+ t en 2A(un-1- t n ,e n)-(U n-1,e n )=(e n-1,e n )- t( n,e n ) ( e n-1 + t n ) e n由此式得到e n h e n-1 h + t n h ,n =1,2,关于n 求和,注意e 0=0,n t T 1,得到 e nh tnk=1k h T 1max 1 k n kh ,由式(8)且注意hN =2a,可得到nh2a ( t/2+h 2/12)max t,x(|u tt (t,x )|+|u (4)x (t,x )|),从而定理3得证3 数值计算例考虑由差分方程导出的线性变分不等式方程(17)的求解 为了处理x 0点的边值条件,引进N -1维向量b = th2g (x 0),0, ,0T采用投影SOR 方法[11]求解变分不等式方程(17),记1< <2为超松弛因子 主要计算步骤如下:(1)计算U 0=G =(g (x 1),g (x 2), ,g (x N -1))T,F 0=U 0+b ;(2)对n =0,1, ,M -1循环执行步(3)到步(6);(3)V 0=max (G ,U n );(4)对i =1,2, ,N -1计算,V i =(F ni -a i ,i -1V i -1-a i ,i +1V 0i +1)/a ii ,V i =max (g i ,V 0i+ (V i -V 0i ));(5)如果 V -V 0执行步(6);否则,置V 0=V 转步(4);(6)置U n +1=V ,F n +1=U n +1+b利用上述计算程序计算出中间变量x i ,U n后,再利用变换(4)即可求出t n =T -n t 122时刻与股票价格S i =E e xi 相应的期权值P(t n ,S i )=E e -12(k-1)x i U n i现在考虑一个在期权执行内不付红利的美式看跌股票期权的估值 设相关数据为E =60,r =0 10, =0 30,期权执行期分别为T =3,6,9,12个月 假设当前时刻股票价格为S =60,下面将对不同的执行期T ,计算当前时刻与S =60相应的期权值取计算区域(x ,t) [-a,a] [0,T 1],a =5,T 1=122T ,相应的股票价格变化区域是[E e -a ,E e a ]=[0 404277,8904 79] 令剖分步长h =2a/N , t =T 1/M 由于T 1已经很小(以年为单位),在计算中仅取M =10 表1给出了当前时刻期权的估值 计算结果表明本文算法是收敛的 上述计算是在PC586计算机上进行的,计表1 美式看跌期权价格的估值Table 1 Evaluation of American put option pri cing T N =250N =300N =350N =400N =50032 9527322 9636452 9699862 9740622 97872763 9208453 9268383 9321703 9346473 93791594 5650924 5711444 5741094 5760014 578771192东北大学学报(自然科学版)第25卷算时间在1s 之内 这表明本文数值方法是一个快速而又收敛的期权估值算法 参考文献:[1]Black F,Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].J Pol Econ ,1973,81:637-659.[2]Hull J.Op tion ,f u tur e s and other derivativ e se c urities [M ].S econd Edi tion.Englewood Cliffs:Prentice Hall,1993.84-105.[3]张铁 美式期权定价问题的数值方法[J] 应用数学学报,2002,(1):113-122(Zhang T.The numerical methods for Ameri can option pricing [J].A cta M ath App l S inica ,2002,(1):113-122.)[4]Wilmott P,Dewynne J,How ison S.Op tion p ricing :mathe matical mod el and comp utation [M ].London:Ox ford Financial Press,1995.134-156.[5]Elliott C,Ockendon J.Weak and variational methods f or f ree and mov ing bou ndary proble ms [M ].London:PitmanPublishing,1982.34-48.[6]Eaves B.On the basic theorem of complementarity [J ].M athematical Prog ramming ,1971,(1):68-75.[7]Fukushima.A relaxed projection method for variational inequalities[J].M athematical Program ming ,1986,(35):58-70.[8]Gemm i ll G.Options pricing [M ].New York:M cGraw H i ll,1992.203-245.[9]张铁 一个新型的期权定价二叉树参数模型[J ] 系统工程理论与实践,2000,(11):90-94(Zhang T.A new type of binomial tree parameter model for option pricing[J].System Engineering Theory and Practice ,2000,(11):90-94.)[10]张铁 线性有限元导数恢复技术及超收敛性[J] 东北大学学报(自然科学版),2002,23(6):602-605(Zhang T.Supercon vergence derivative recovery techniques for linear finite elements [J ].Jour nal o f N ortheaster n Univ ersity(Natur al Science ),2002,23(6):602-605.)[11]Crank J.Free and mov ing boundary p roblems [M ].Lon don:Oxford University Press,1984.89-123.Difference M ethods for Solving the Stock Option Pricing ProblemsZH A N G T ie ,LI M ing hui(School of Science,Northeaster n U niversity,Sheny ang 110004,China.Corr espondent:ZHA NG T ie,professor ,E mail:ztmath @)Abstract:Opt ion is one of the most impo rtant deriv ative securit ies,of w hich the pr icing problem plays a key role in option t heory.F or American option,no analyt ic fo rmula and ex act solution can be obtained.T herefore,the study on numerical methods for various Amer ican o ptions is of hig h significance.T he difference method is investig ated for American put option pricing problems.A fully discr etized backw ard Euler approx imation scheme is thus established for the variational inequality equations w ith which American opt ion schemes complied.It is proved that the differ ence solution is stable and conver gent.Numerical examples show the efficiency and conv er gence of the alg orithm.Key words:American put option;stock option;v ar iational inequality ;difference approx imat ion;stability;converg ence;numerical examples(Received A ugust 29,2003)待发表文章摘要预报一类具有时滞的广义Hopfield 神经网络的动态分析季 策,张化光研究了一类具有时滞的广义Hopfield 神经网络的动态行为 文中放宽了对Hopfield 神经网络的互连结构必须为对称的要求,考虑一类具有时滞的、且互连结构可为非对称的广义Hopfield 神经网络的稳定性问题 通过构造适当的L yapunov 泛函及扇区条件,给出了平衡点渐近稳定的充分条件 在Hopfield 神经网络的设计及实现过程中,这些条件是很实用的 仿真结果进一步证明了结论的有效性复合地基的褥垫层设计王凤池,朱浮声,王述红,董天文为了从理论上确定褥垫层的设计参数,桩与褥垫层的关系可以看成倒置的桩对地基土的作用,桩体上刺可能引起褥垫层产生整体剪切破坏、局部剪切破坏或刺入破坏,而能够调节应力比的合理模式是整体剪切破坏,据此提出了褥垫层内摩擦角理论上限值的迭代公式 同时根据T er zaghi 滑移线理论,证明了对数螺旋滑移线与基础底板相交时褥垫层的厚度为最小设置厚度,低于最小设置厚度,调节桩土应力比能力减弱 褥垫层的宽度设置应按照应力扩散原则,防止褥垫层失效193第2期 张 铁等:求解股票期权定价问题的差分方法。
美式回望看涨期权的有限元方法张琪;高景璐【摘要】考虑美式回望看涨期权的定价问题，先利用变网格有限元方法对 Black-Scholes 方程进行离散，求出期权值，再采用Newton 迭代法给出最佳实施边界，两种方法交替使用，得到了相应的数值解。
通过与二叉树方法进行比较表明，该数值方法有效。
%We analyzed American lookback call option valuation ing the variable mesh finite element algorithm,we obtained the discrete form of the Black-Scholes equation,which is used to determine the value of American lookback option.Furthermore,we got the optimal exercise boundary using the Newton iterative method.When the two methods were alternately used,we gave corresponding numerical solutions.Finally,compared with the binomial method,this method is efficient and the theoretical analysis.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】4页(P1167-1170)【关键词】美式回望看涨期权;变网格有限元方法;最佳实施边界【作者】张琪;高景璐【作者单位】吉林大学数学学院，长春 130012;吉林大学数学学院，长春130012【正文语种】中文【中图分类】O241.8美式回望期权是一类依赖于原生资产的最值期权, 它是一类抛物型自由边界模型, 对于美式回望期权数值方法的研究目前已有许多结果[1-6].本文主要考虑看涨期权, 它满足下列微分方程[7]:其中: S表示标的资产价格; t表示时间表示美式看涨回望期权的价格; σ,r,q和T分别表示标的资产的波动率、无风险利率、标的资产的红利率和期权的到期日; S*(t)表示美式回望期权的最佳实施边界, 它将整个空间划分为两部分: Σ1=[0,S*]为继续持有区域, Σ2=[S*,∞)为终止持有区域, 且S*(t)满足[8]观察方程(1)可见, 该问题是反向变系数问题, 且关于空间方向是二阶的, 将导致问题的求解较困难, 为此本文做以下变换, 并将问题简化, 使得边界条件为零[9]:令κ1=2r/σ2, κ2=2(r-q)/σ2, 则方程(1)可变为其中:由于空间右端边界是与时间有关的函数, 无法应用一般有限元求解, 因此本文采用变网格方法结合有限元法, 即在每个时间层上应用有限元, 再利用u在τ时刻的值确定自由边界B(τ).先讨论B(τ).设uN=u(xN,τ)已知, 由于xN≤B(τ)[10], 则存在p 使得B(τ)=xN+ph(h为网格步长), 利用方程(2)及Taylor展式可得p所满足的非线性方程：可以证明式(3)在区间[0,∞)上存在唯一解[8].下面主要对方程系统采用θ格式的有限元法进行离散化.设时间剖分Jτ: 0=τ1<τ2<…<τM+1=T1, τm=T1((m-1)/M)2, km=τm+1-τm; 初始空间剖分Ih: 0=x1<x2<…<xN, N=B(0)/h⎤, xN+1=B(0), 其中x⎤表示不超过x的最大整数.令L2([0,xN+1])为定义在[0,xN+1]上的平方可积函数空间,H-1([0,xN+1])表示的对偶空间.表示函数空间, 且空间中的函数满足关于时间属于L2([0,T1])、关于空间属于).类似地, H1(0,T;H-1)表示关于时间属于H1([0,T1])、关于空间属于H-1的函数空间.利用已知边值条件即可得问题(2)所对应的双线性形式：寻找使得将变网格有限元法和Newton迭代法交替使用, 可逐步求出各时间层的函数值及最佳实施边界.给定ε=10-6和p(0), 算法如下.令p(0)=pm-1;For j=1,2,…;1) 求解式(2)得到uN(pj-1);2) 计算p(j)=p(j-1)-;3) 如果|p(j)-p(j-1)|≤ε, 则终止循环;4) 如果p≥1, 则: ① n=p⎤, N=N+n, p=p-n; ② u(N-n+1: N)=0; B=(N-1)h+ph. 其中x⎤表示不超过x的最大整数.下面给出上述方法的理论分析[11].命题1 对于θ=1和θ=0.5, 若2(r-q)-σ2<成立, 则弱形式(2)关于初值稳定, 即证明：对于式(2)取v=um-θ, 则原式可化为对于及上述弱形式可化为若假设成立, 结合边值条件um-θ(B)=0有注意到f1(τ)=eκ1τ, 且um-θ(x1)有界, 故命题2 假设ρ=max =C4h1-α, 0<α<1充分小, 则由有限元方法得到的刚度阵为M矩阵.证明：不失一般性, 本文只证明θ=1时(即隐格式)所形成的刚度阵为M矩阵, 式(2)可化为不妨设所形成的刚度阵为A, 则有：A(i,i)=+, i=2,3,…,N-1,A(i+1,i)=--(κ2-1), A(i,i+1)=-+(κ2-1), i=1,2,…,N-1,注意到当ρ充分小时, A为M矩阵, 故结论得证.下面对一支美式回望看涨期权进行数值模拟.模型(1)中参数分别为r=0.1, q=0.05, σ=0.4, 空间间隔h=0.01, 时间份数M=512, 到期日T1=1, 参数θ=1.例1 图1给出了最佳实施边界B与时间τ之间的函数图像, 其中二叉树方法中时间剖分为M=10 240, k=T/M及空间间隔h=.由图1可见: B随时间τ是非减函数; 本文所用的有限元方法与二叉树方法基本一致, 表明该方法能很好地拟合最佳实施边界；本文方法较二叉树方法得到的B更光滑.表明本文方法有效.例2 在上述条件下, 图2描述了在标的资产价格最小值m=1时, 期权价格C与S,t 的函数关系.【相关文献】[1]Babbs S.Binomial Valuation of Lookback Options [J].J Econ Dynam Control, 2000,24(11/12): 1499-1525.[2]Andricopoulos A D, Widdicks M, Duck P W, et al.Universal Option Valuation Using Quadrature Methods [J].J Financial Econ, 2003, 67(3): 447-471.[3]Chang G H, Kang J K, Kim H S, et al.An Efficient Approximation Method for American Exotic Options [J].J Future Markets, 2007, 27(1): 29-59.[4]Lai T L, Lim T W.Exercise Regions and Efficient Valuation of American Lookback Options [J].Math Finance, 2004, 14(2): 249-269.[5]Hofer M, Mayer P.Pricing and Hedging of Lookback Options in Hyper-Exponential Jump Diffusion Models [J].Appl Math Finance, 2013, 20(5): 489-511.[6]Heuwelyckx F.Convergence of European Lookback Options with Floating Strike in the Binomial Model [J].Int J Theor Appl Finance, 2014, 17(4): 1450025.[7]JIANG Lishang, DAI Min.Convergence of Binomial Tree Method for European/AmericanPath-Dependent Options [J].SIAM J Numer Anal, 2004, 42(3): 1094-1109.[8]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法 [M].北京: 高等教育出版社, 2003.(JIANGLishang.Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing [M].Beijing: Higher Education Press, 2003.)[9]Pantazopoulos K N, Houstis E N, Kortesis S.Front-Tracking Finite Difference Methods for the Valuation of American Options [J].Comput Econ, 1998, 12(3): 255-273.[10]DAI Min, Kwok Y K.American Options with Lookback Payoff [J].SIAM J Appl Math, 2005, 66(1): 206-227.[11]Holmes A D, YANG Hongtao.A Front-Fixing Finite Element Method for the Valuation of American Options [J].SIAM J Sci Comput, 2008, 30(4): 2158-2180.。
摘要期权定价理论是目前金融工程、金融数学所研究的前沿和热点问题。
针对不存在定价公式的一类美式期权，本文研究其定价中的自由边界问题，并结合自由边界提出了更快速的精确度更高的数值方法。
本文绪论部分对金融衍生工具及其定价理论作了概括性的回顾。
第二部分详细地阐述了衍生证券价格所服从的Black—Scholes偏微分方程的建立过程，并利用傅立叶变换详细推导了欧式期权的Black—Scholes定价公式。
文章第三部分结合自由边界，改进了原有的为美式看跌期权定价的有限元方法：首先通过变量变换就原问题化简并转化为等价的变分不等式方程，然后建立半离散和全离散有限元逼近格式，且着重论证了有限元解的稳定性以及在L2和H1模意义下的误差估计。
最后用数值算例验证了该方法的有效性。
文章第四部分本文又针对满足Black-Scholes方程的美式期权定价问题，提出了一种快速的数值方法：在定义域的趋于无限那一端，找到一个准确的人工边界条件，将计算区域变小。
然后再将人工边界与确定自由边界位置数值方法相结合，并用有限差分方法求解所导出的问题。
对一些付红利的美式看涨期权给出了数值算例，证明新的处理办法非常有效，而且精度也比标准的有限差分方法高。
关键词：B-S模型，美式期权，自由边界，有限元法，人工边界，有限差分方法ABSTRACTThe option pricing and volatility estimate is financial project,financial mathematics problem of leading edge as well as a hot one at present.For a kind of American options which didn’t have pricing formula,the article studies the free boundary problem of its bining with the free boundary,the article gives faster and more exact numerical method for pricing of American options.The part of this text introduction has done the reviewing of generality to the financial derivative and pricing theory.At the second chapter,the article expatiates the instauration of the Black-Scholes Differential Equation in detail.Then the article deduces the Black-Scholes pricing formula of European options by Fourier transform.At the third chapter of the article,combining with the free boundary,finite element method used for American put options pricing is improved.First,the option pricing problem is transformed to variational inequality equations by variable substitution,then both semi discrete and fully discretized finite element approximation schemes are established.It is proved that the numerical methods are stable and convergent under and norms.Numerical example shows the convergence and efficiency of the algorithm.A fast numerical method for computing American option pricing problems governed by the Black–Scholes equation is presented in the fourth chapter.An accurate artificial boundary condition on the far boundary is found.It makes the computational domain smaller.Then this boundary condition is discretized and combined with a simple numerical method to determine the location of the free boundary.The finite difference method is used to solve the resulting putational results of some American call option problems show that the new treatment is very efficient and gives better accuracy than the normal finite difference method.Keyword：B-S model，American option，free boundary，the finite difference method, artificial boundary，the finite element method1绪论金融衍生品（derivative security，也称为衍生品、衍生证券、衍生工具）是一种新型的金融工具，近些年来在国际金融市场中发挥了越来越大的作用，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产的价格。
第十一章期权定价模型第十一章期权定价模型【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一。
本章主要介绍了著名的Black-Scholes 期权定价模型和由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型，并对其经济理解和应用进行了进一步的讲解。
学习完本章，读者应能掌握Black-Scholes 期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。
自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。
1973年，美国芝加哥大学教授Fischer Black 和Myron Scholes 发表《期权定价与公司负债》1一文，提出了著名的Black-Scholes 期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes 并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。
在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型。
在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨2。
第一节 Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件 Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 期权标的资产为一风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动3，即dz dt SdS σμ+= 其中，dS 为股票价格瞬时变化值，dt 为极短瞬间的时间变化值，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
