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数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
项目五 差分方程模型一、实训课程名称 数学建模实训二、实训项目名称 差分方程模型三、实训目的和要求掌握差分方程关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程并求解。
四、实训内容和原理内容：1、设某种动物种群最高年龄为30，按10岁为一段将此种群分为3组。
设初始时三组中的动物为T )1000,1000,1000(，相应的Leslie 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=021********L 试求10，20，30年后各年龄组的动物数，并求该种群的稳定年龄分布，指出该种群的发展趋势。
2、计算差分方程a （n+1)＝0.85*a （n)＋11，a （1）＝2.33的前10项 原理：利用leslie 矩阵的唯一的正特征值及对应的特征向量分别表示种群的发展趋势及种群的稳定分布，对上述模型做适当推广。
五、 主要仪器及耗材计算机与Windows 2000/XP 系统；Turbo C/Win-TC/VB 等软件。
六、 操作方法与实训步骤步骤：1、（1）10年后各年龄组的动物数：500(1)(0)(1000,1000,1000)(3000,,500)3T T x L x L =⨯=⨯= 20年后各年龄组的动物数：250(2)(1)(500,500,)3T x L x =⨯= 30年后各年龄组的动物数：250(3)(2)(1500,,250)3T x L x =⨯= （2）很容易求出L 矩阵的大于零的特征值为λ=2，其对应的特征向量为T d =所以种群的稳定年龄分布：::x y z =x 表示0-10岁年龄组的动物数，y 表示10-20岁年龄组的动物数，z 表示20-30岁年龄组的动物数。
由于1λ<，所以该种群动物数会逐渐减少。
设医疗保健水平已达到相当高水准，可以假设i P 已几乎无法在增大。
在此假设下，讨论Leslie 模型给出的结果。
试根据Leslie 模型设计一个理想的人口增长模式。
差分方程的求解方法及其应用差分方程是数学中一个比较重要的分支，用于描述离散化的动态系统和过程，广泛应用于物理、工程、生态、经济、金融等领域。
通过离散化，可以将连续的问题转化为离散的数值计算问题，从而可以用计算机进行求解。
本文将介绍差分方程的求解方法及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、差分方程的定义差分方程是指包含有未知函数的离散变量的函数方程。
通俗的说，就是说差分方程用来描述离散的数学模型。
一般的差分方程可以写成如下形式：$$y_{n+1} = f(y_n, y_{n-1}, \cdots, y_{n-k+1}, n)$$其中，$y_n$ 是未知函数在 $n$ 时刻的值，$f$ 是一个给定的函数，$k$ 是差分方程中自变量的个数。
当 $k=1$ 时，常常称为一阶差分方程，如下所示：$$y_{n+1} = f(y_n, n)$$此外还有二阶、三阶等高阶差分方程。
差分方程与微分方程相似，都是用来描述某种动态系统的变化规律，只是微分方程是描述连续变化的模型，而差分方程是描述离散变化的模型。
二、差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为两类，一类是解析解法，即用数学公式直接求解；另一类是数值解法，即用计算机进行数值计算求解。
1. 解析解法对于一些特殊的差分方程，可以用解析解法求出解析解。
解析解法就是通过数学公式直接求解，得到函数在论域上的解析表达式，从而可以对解析表达式进行分析求得有关该函数的很多重要信息。
以一阶线性差分方程为例，即：$$y_{n+1} = ay_n + b, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其中 $y_0$ 是已知值， $a$ 和 $b$ 是常数。
可以通过数学公式得到该差分方程的解析解：$$y_n = a^ny_0 + b\frac{a^n-1}{a-1}, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其它的高阶差分方程可以运用代数学、矩阵论、微积分等方法求解。
2. 数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解差分方程的方法。
差分方程模型的理论和方法引言1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。
差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。
差分方程可以应用于任何离散时间系统，这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。
差分方程的一般形式为：y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中，y表示系统在时间点n的状态，f是一个给定的函数，k表示差分方程的阶数，表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。
差分方程的解可以通过递归方法求得。
给定一个初始条件（通常是系统在初始时间点的状态），可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。
例如，对于一个一阶差分方程：y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数，可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。
根据递推关系式，可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。
在应用中，差分方程通常用于建模和预测。
通过观察系统在过去时间点上的行为，可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。
然后，可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。
这对于许多实际问题是非常有用的，例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。
此外，差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。
通过分析差分方程的特征根（即差分方程的解的形式），可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。
这对于控制系统设计和优化非常重要。
差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统，例如计算机模拟、粒子追踪等。
在工程学中，差分方程可以用于建模和控制系统，例如电路设计、机器人控制等。
在经济学中，差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。
总结起来，差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。
它具有简单的原理和应用广泛的特点，并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。
它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。
差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。
本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。
一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。
它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。
这些离散节点通常是等间距的。
通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。
一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。
这个式子就是一个一阶差分方程。
二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。
下面将介绍几个常见的应用。
(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。
假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。
将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。
每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。
(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。
假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。
数学中的差分方程与离散动力系统数学中的差分方程与离散动力系统是研究动态系统在离散时间点上的演化行为的重要工具和方法。
差分方程和离散动力系统广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学以及工程技术等。
本文将从理论和应用两个方面介绍差分方程和离散动力系统的基本概念、数学方法和实际应用。
一、差分方程的基本概念和数学方法差分方程是描述离散时间点上动态系统演化规律的数学模型。
它将连续时间的微分方程离散化为在离散时间点上的递推关系。
差分方程的一般形式可以表示为：xn+1 = f(xn)其中xn表示第n个时间点上的系统状态，f是一个给定的函数。
差分方程的解是一个数列x0, x1, x2, ...，表示系统在不同时间点上的状态。
差分方程的求解方法主要有两种：直接求解和迭代求解。
直接求解是通过代数方法求解差分方程的递推关系，得到解析解。
迭代求解则是通过迭代计算，逐步逼近差分方程的解。
二、离散动力系统的基本概念和数学方法离散动力系统描述的是在离散时间点上动态系统的演化行为。
离散动力系统由两个主要组成部分构成：状态空间和映射关系。
状态空间是系统可能的状态的集合，用数学符号表示为X。
映射关系是系统状态在不同时间点上的发展规律，用函数f表示。
离散动力系统可以用以下形式表示：x(n+1) = f(x(n))其中x(n)表示第n个时间点上的系统状态，x(n+1)表示第n+1个时间点上的系统状态。
离散动力系统的性质和行为可以通过相图来进行分析和研究。
相图是在状态空间中绘制系统状态随时间演化的图形。
通过相图可以观察到系统的稳定性、周期性和混沌性等特征。
三、差分方程与离散动力系统的应用差分方程和离散动力系统在各个学科和领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 生态学：差分方程和离散动力系统可以用于描述物种数量的演化规律和种群的动态行为。
通过建立生态系统的差分方程模型或离散动力系统模型，可以预测物种数量的变化和生态系统的稳定性。
差分方程模型的理论和方法第一节差分一、 基本概念1、差分算子设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=∆∆+1:为n x 在n 处的向前差分。
而1--=∆n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。
以后我们都是指向前差分。
可见n x ∆是n 的函数。
从而可以进一步定义n x ∆的差分：n n x x 2)(∆=∆∆称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。
类似可定义在n 处的k 阶差分为： ))((1n k n k x x -∆∆=∆ 2、差分算子 、不变算子、平移算子记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。
则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=∆ I E -=∆∴ 由上述关系可得： i n ki i k i k n iki ik ik n kn kx C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=∆0)1()1()( （1）这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。
反之，由 n n n x x x -=∆+1 得 n n n x x x ∆+=+1：n n n n x x x x +-=∆++1222，得：n n n n x x x x 2122∆++-=++,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。
即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。
……..,)1(10k n i n k i i k i k n kx x C x ++-=-+-=∆∑得：n k i n k i i k i k k n x x C x ∆+--=+-=-+∑1)1( （2）可以看出：k n x +可以由n k n n x x x ∆∆,...,,的线性组合表示出来3、差分方程由n x 以及它的差分所构成的方程),...,,,(1n k n n n k x x x n f x -∆∆=∆ （3） 称之为k 阶差分方程。
由（1）式可知（3）式可化为),...,,,(11-+++=k n n n k n x x x n F x （4） 故（4）也称为k 阶差分方程（反映的是未知数列n x 任意一项与其前，前面k 项之间的关系）。
由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。
我们经常用的差分方程的形式是（4）式。
4、差分方程的解与有关概念 （1） 如果n x 使k 阶差分方程（4）对所有的n 成立，则称n x 为方程（4）的解。
（2） 如果-=x x n （-x 为常数）是（4）的解，即 ),...,,(---=x x n F x则称-=x x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。
平衡解可能 不只一个。
平衡解的基本意义是：设n x 是（4）的解，考虑n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果x x n n =∞→lim ，则方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面），应当有),...,,(---=x x n F x（3） 如果（4）的解n x 使得--x x n 既不是最终正的，也不是最终负的，则称n x 为关于平衡点-x 是振动解。
（4） 如果令：--=x x y n n ，则方程（4）会变成),...,,(1-++=k n n k n y y n G y （5） 则 0=y 成为（5）的平衡点。
（5） 如果（5）的所有解是关于0=y 振动的，则称k 阶差分方程 （5）是振动方程。
如果（5）的所有解是关于0=y 非振动的，则称k 阶差分方程（5）是非振动方程。
（6） 如果（5）有解n y ，使得对任意大的y N 有 0>≥n N n y Sup y则称n y 为正则解。
（即不会从某项后全为零）（7） 如果方程（4）的解n x 使得-∞→=x x Lim n n ，则称n x 为稳定解。
5、差分算子的若干性质（1）n n n n y x y x ∆+∆=+∆βαβα)(.)( （2）)(1)(1n n n n n n n n y x x y y y y x ∆-∆=∆+（3）n n n n n n y x x y y x ∆+∆=∆+1)(（4）∑∑==+++∆+-=∆bak k k a bak a b b k k y x y x y x x y 111（5）∑=∆=+∆==ni i i n nnn x C x I x E x 0000)(6、Z 变换定义：对于数列n x ，定义复数级数∑∞=-==0)()(k k k n z x x Z z X （6）这是关于z 洛朗级数。
它的收敛域是：21R z R <<，其中2R 可以为∞，1R 可以为0。
称)(n x Z 为n x 的z -变换。
由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：z 变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：))((1z X Z x n -= （7）z 变换是研究数列的有效工具 。
z 变换的若干重要性质：（1）线性性 )()()(n n n n y Z x Z y x Z βαβα+=+（2）平移性质 ])([)(10∑-=-+-=N k k k NN n z x z X z x Zz 变换举例：（1）⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(n n n δ, 则∑∞==--=⨯==001)1()())((k k k k z z k n Z δδ（2）⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(k k n u ，则∑∑∞=∞=-->-===00,1,1)())((k k k kz z z z z k u n u Z（3）设,)(na n f =则∑∞=->>-==0,0,,)(k k k n a a z a z z z a a Z（4）设,!1)(n n f =则0,!1)!1(01>==∑∞=-z e z k n Z k z k第二节 差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。
如果（9）有形如n n x λ=的解，带入方程中可得： 0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。
显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。
基本结果如下：（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ)...(121----+++（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕρλi e ±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n nϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有构成项：n n c n c c n nc n c c n m m m m nm m ϕρϕρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +*n x （11）（8） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系数即可。
2、差分方程的z 变换解法对差分方程两边关于n x 取Z 变换，利用n x 的Z 变换F （z ）来表示出k n x +的Z 变换，然后通过解代数方程求出F （z ），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的n x 例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x解：解法1：特征方程为0232=++λλ，有根：2,121-=-=λλ 故：n n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。
由条件1,010==x x 得：n n n x )2()1(---=解法2：设F （z ）=Z(n x ),方程两边取变换可得：0)(2))((3)1.)((0102=+-+--z F x z F z zx x z F z 由条件1,010==x x 得23)(2++=z z zz F由F （z ） 在2>z 中解析，有∑∑∑∞=∞=-∞=--=---=+-+=+-+=000)21()1(2)1(1)1(211111)2111()(k k k k k k k kk kz z z zz z z z z F 所以，n n n x )2()1(---=3、二阶线性差分方程组 设=)(n z )(n y x n，)(dc ba A =，形成向量方程组 )()1(n Az n z =+ （12） 则 )1()1(z A n z n =+ （13） （13）即为（12）的解。
为了具体求出解（13），需要求出n A ，这可以用高等代数的方法计算。
常用的方法有：（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。
（2）将A 分解成ηξξη,,/,=A 为列 A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ 从而，)1(.)()1()1(1/Az z A n z n n -==+ηξ（3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，找出n A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得它的基本性质。
4、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根k i i ...2,1,=λ满足1<i λ （2）一阶非线性差分方程)(1n n x f x =+ （14） （14）的平衡点-x 由方程)(--=x f x 决定， 将)(n x f 在点-x 处展开为泰勒形式：)())(()(/---+-=x f x x x f x f n n （15）故有：1)(/<-x f 时，（14）的解-x 是稳定的，1)(/>-x f 时，方程（14）的平衡点-x 是不稳定的。
