高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.1几个常用的导数及导数的运算法则课件新人教A版选修1_1

f ( x0 )
x0
y . x
2.导函数 当x=x0时, f（x0) 是一个确定的数.那么,当x变化
时,f(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x) .
x x 0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
f (x) 3x2
（6）若f(x)=ex,则f′(x)=__e_x_.
1 （7）若f(x)=logax,则f′(x)=_x_l_n_a_(a>0,且a≠1).
1
（8）若f(x)=lnx,则f′(x)=__x__.
【即时训练】
求下列函数的导数.
(1)y=x7.
(2)y=log2x. (3)y=cos( -x).
2
【自主解答】1.由x2=2y得y= 1 x2,则y′=x,则在点
2
(2,2)处的切线斜率为k=2,所以切线方程为y2=2(x-2),即2x-y-2=0. 答案:2x-y-2=0
2.设点P(x0,y0),因为曲线在点P处的切线斜率为3. 所以 y|xx03x所02以3x,0=±1, 又因为点P在曲线y=x3上, 所以点P的坐标为(1,1)或(-1,-1). 答案:(1,1)或(-1,-1)
例2：（1）(2016·池州高二检测)抛物线x2=2y上
点(2,2)处的切线方程是
.
（2）若曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则切点P
的坐标为
.
（3）(2016·莆田高二检测)已知函数y=kx是曲
线y=lnx的一条切线,则k=
.
【解题关键】1.先根据导数求出切线斜率,再利 用点斜式求出切线方程. 2.设出点P坐标,利用导数直接求出点P的横坐标, 再代入曲线方程求出纵坐标. 3.设出切点坐标,利用切点既在切线上又在曲线 上进行求解.

y＝f(x) y＝logax (a>0，a≠1，x>0)
y＝ln x
y＝sin x y＝cos x
y′＝f′(x) _y_′___＝___x_l_n1__a__
_____y_′__＝___1x_____ _y_′__＝__c_o_s_x__ _y_′__＝__－__s_in__x_
基本初等函数的导数公式的特点 (1)常数函数的导数为零． (2)有理数幂函数 f(x)＝xα 的导数依然为幂函数，且系数为 原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去 1. (3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函 数的相反数． (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数 的自然对数．
3.2
第 三
导 数 的
章运
算
3.2. 1 &
3.2. 2
常数 与幂 函数 的导 数导 数公 式表
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
3.2
导数的运算
3．2.1&3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
利用导数的定义可得 x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2.
问题 1：当 n∈N＋时，y＝xn 的导数公式是什么？
所以曲线在点 P(－1，－1)处的切线斜率为 k＝－3，
(3 分)
则切线方程为 y＋1＝－3(x＋1)，即 3x＋y＋4＝0.
设直线 m 的方程为 3x＋y＋b＝0(b≠4)， 所以 |b3－2＋41| 2＝ 10，所以|b－4|＝10， 所以 b＝14 或 b＝－6，
(6 分) (8 分)
所以直线 m 的方程为 3x＋y＋14＝0 或 3x＋y－6＝0.
(12 分)

典例 3 求过曲线 y＝cos x 上点 P3π，12且与在这点的切线垂直的直线方
程． [解析] ∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，
曲线在点
P3π，12处的切线斜率是
y′|x＝3π＝－sin3π＝－
3 2.
∴过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为
2， 3
∴所求的直线方程为
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y－12＝
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·攻重难 互动 探究 (hù dònɡ)
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命题(mìng tí)方向 1
求基本初等(chūděng)函数的导数
典例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x13；(2)y＝x13；(3)y＝ 4
x；(4)y＝
5
1 x2
.
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的切线(qiēxiàn)方程．
[解析] 由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令(2－x)取代x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋ 8(2－x)－8，
即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4， 联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2， ∴f ′(x)＝2x，f ′(2)＝4，即所求切线斜率为4， ∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
A．
3 6
B．0
C．21 x
D．
3 2
[解析]
∵f′(x)＝2
1
x，∴f′(3)＝2
1
＝ 3
3 6.
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3．已知函数 f(x)＝1x，则 f ′(－2)＝( D )

高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课堂10分钟达标3.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式检测含解析新人教A版选修111.常数函数在任何一点处的切线是( )A.上升的B.下降的C.垂直于y轴的D.以上都有可能【解析】选C.因为常数函数在任何一点处的导数都为零,所以其切线的斜率等于零,即任何一点处的切线垂直于y轴.2.下列结论不正确的是( )A.若y=3,则y′=0B.若y=,则y′=-C.若y=-,则y′=-D.若y=3x,则y′=3【解析】选B.y′=′=()′=-=-.3.曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为( )A.1B.-C.D.【解析】选C.因为y=x3,所以y′|x=1=1,所以切线的倾斜角α满足tanα=1,因为0≤α<π,所以α=.4.曲线y=e x在点(0,1)处的切线方程为.【解析】y′=e x,所以曲线y=e x在点(0,1)处切线的斜率k=e0=1,所以切线方程为y-1=x-0即y=x+1.答案:y=x+15.判断下列计算是否正确.求y=cosx在x=处的导数,过程如下:y′=′=-sin=-.【解析】错误.应为y′=-sinx,所以y′=-sin=-.6.求下列函数的导数:(1)y=sin.(2)y=x-1.【解析】(1)因为函数y=sin=,所以y′=0.(2)因为函数y=x-1=,所以y′=-.7.【能力挑战题】求证双曲线y=上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值. 【证明】设双曲线y=上任意一点P(x0,y0),因为y′=-,所以点P处的切线方程为y-y0=-(x-x0).令x=0,得y=y0+=;令y=0,得x=x0+y0=2x0.所以三角形的面积=|x|·|y|=2.所以双曲线y=上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值2.。