高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第2章 第6节 对数与

第二章 第六节一、选择题1．(文)函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D[答案] C[解析] 考查对数函数的图像．(理)函数f (x )＝2|log 2x |的图像大致是( )[答案] C[解析] ∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C ．2．(文)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12xC ．log 12xD ．x 2[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12 ＝12，∴f (x )＝log 12x ，故选C ．(理)若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( ) A ．(1a ，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a ，b ＋1)D ．(a 2,2b )[答案] D[解析] 该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b ＝lg a ，对于A 选项，lg 1a ＝－lg a ＝－b ≠b ，对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－B ． 对C 选项lg 10a ＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．3．(2015·营口调研)函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (x 1)－f (x 2)＝1，则f (x 21)－f (x 22)等于( )A ．2B ．1C ．12D ．log a 2[答案] A[解析] x 1>0，x 2>0，f (x 21)－f (x 22)＝log a x 21－log a x 22＝2(log a x 1－log a x 2)＝2[f (x 1)－f (x 2)]＝2.4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．100[答案] A[解析] 由2a ＝5b ＝m ，则a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入1a ＋1b ＝2得1log 2m ＋1log 5m ＝2，则lg2lg m ＋lg5lg m ＝2，即lg2＋lg5lg m ＝2，即lg m ＝12，则m ＝10. 5．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( )A ．124B ．112C ．18D ．38[答案] A[解析] ∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝⎝⎛⎭⎫12log 224＝2－log 224＝2 log 2124 ＝124. 6．(文)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][答案] C[解析] 因为log 12a ＝－log 2a 且f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C ．(理)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)且a >b >c >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 的大小关系是( )A ．f (a )a >f (b )b >f (c )cB ．f (c )c >f (b )b >f (a )aC ．f (b )b >f (a )a >f (c )cD ．f (a )a >f (c )c >f (b )b[答案] B[解析] ∵f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像及a >b >c >0可知f (c )c >f (b )b >f (a )a.故选B ．二、填空题7．(2014·陕西高考)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. [答案]10[解析] 本题考查指数与对数运算． 4a ＝2，∴a ＝12，lg x ＝a ＝12，∴x ＝10.8．(2015·东营质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．[答案] {x |－1<x ≤0或x >2}[解析] 当x ≤0时，由3x ＋1>1，得x ＋1>0，即x >－1.∴－1<x ≤0.当x >0时，由log 2x >1，得x >2. ∴x 的取值范围是{x |－1<x ≤0或x >2}．9．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． [答案] (－∞，0)[解析] (等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的单调减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是(－∞，0)． 三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且 f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}.一、选择题1．(2014·四川高考)已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c[答案] B[解析] B 本题考查指对互化、指对运算性质等．可逐项验证．A 中，d ＝log 510，而ac ＝log 5b ·lg b ＝lg b lg5·lg b ＝(lg b )2lg5，∴A 错．B 中，cd ＝lg b ·log 510＝lg b ·lg10lg5＝lg b lg5＝log 5b ＝a ，选B ．解题时要灵活应用换底公式等．2．(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A ．14B ．12C ．2D ．4[答案] B[解析] ∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性． ∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调， ∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ， 化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12.(理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x [答案] D[解析] 本小题主要考查了对数、指数的性质的运用． ∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e －12＝1e 且e<2<log 25∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D ． 二、填空题3．已知lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则log 32xy 的值为________．[答案] 2[解析] 依题意，可得lg(xy )＝lg(2x －3y )2， 即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2， 整理得4(x y )2－13(xy )＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.∵x >0，y >0,2x －3y >0， ∴x y ＝94， ∴log 32x y＝2.4．(2014·兰州、张掖联考)函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2013]内这样的企盼数共有________个．[答案] 9[解析] ∵log n ＋1(n ＋2)＝ln (n ＋2)ln (n ＋1)，∴f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝ln3ln2·ln4ln3·ln5ln4·…·ln (k ＋2)ln (k ＋1)＝ln (k ＋2)ln2＝log 2(k ＋2)． ∵1 024＝210,2 048＝211，且log 24＝2，∴使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数有10－1＝9个． 三、解答题5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是x 的减少的，若存在，求a 的取值范围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值范围的制约． [解析] ∵a >0，且a ≠1， ∴u ＝2－ax 是x 的减函数． 又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减少的，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时， u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >12－a >0 即1<a <2.∴a 的取值范围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式； (2)求f (log 1224)的值．[解析] (1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]， ∴f (－x )＝2－x －1.又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝f (－x )＝2－x －1，∴f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x＋1.(2)∵log 1224＝－log 224∈(－5，－4)，∴log 1224＋4∈(－1,0)，∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (log 1224)＝f (log 1224＋4)＝－⎝⎛⎭⎫12log 1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12. (理)若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)． [解析] (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ， 由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2. 故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0<x <1. ∴x 的取值范围为(0,1)．。