西藏日喀则区第一高级中学2017届高三下学期第一次月考数学(文)试题(附答案)

西藏日喀则区第一高级中学 2017届高三下学期第一次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1. 若集合{|02},{|11}A x x B x x =<<=-<<，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．3.命题“若，则且”的逆否命题是( ) A ．若，则且 B ．若，则或 C ．若且，则 D ．若或，则4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ． B ． C ． D ．5.若函数22()(21)1f x ax a a x =+--+为偶函数，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.下列说法不正确．．．的是( ) A.若“且”为假，则，至少有一个是假命题.B.命题“”的否定是“”.C.设是两个集合，则“”是“”的充分不必要条件.D.当时，幂函数上单调递减.错误！未找到引用源。

8.函数的零点所在的大致区间是（ ）A ．B ．C ．D ．9.若0.6333,log 0.2,0.6a b c ===，则（ ）A ．B ．C ．D ． 10.函数的图象大致是( )11．设为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）A ．－1B ．－3C ．1D ．312.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ； ②2a －b ＝1； ③a －b ＋c ＝0； ④5a ＜b . 其中正确的是( )．A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③第Ⅱ卷（共64分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13.已知集合,B=且,则的值是 .14.计算7log 23log 27lg25lg47+++的结果为 .15.函数在中的最大值比最小值大，则的值为_____.16.已知函数，() 2 (0)g x ax a =+>，对任意的都存在，使得，则实数的取值范围是________．三、解答题：本大题共4个小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设集合2{|230}A x x x =--≤，{|242}B x x x =-≥-，（1）求.（2）若，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈- （1）当时，求函数的最大值和最小值.（2）求实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数.19. （本小题满分12分）函数()log (1)log (3) (01)a a f x x x a =-++<< （1）求方程的解.（2）若函数的最小值为，求的值.20．（本小题满分12分）设定义在上的函数在区间上单调递减，且（1）若函数在区间上是奇函数，求实数的取值范围. （2）若函数在区间上是偶函数，求实数的取值范围.参考答案第Ⅰ卷（共36分）一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D A B C A C D A A B第Ⅱ卷（共64分）二、填空题：13：-3 14：7 15： 16：三、解答题：本大题共4个小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设集合2{|230}A x x x =--≤，{|242}B x x x =-≥-，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围. 17.解：(1)由题意知， 2分4分所以{}|23A B x x ⋂=≤≤6分 (2) 因为，所以9分 所以，即 12分 18. （本小题满分12分）已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈- （1）当时，求函数的最大值和最小值。

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知i 为虚数单位，复数131ii+-的实部和虚部之和为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B考点：1、复数的有关概念；2、复数的运算．2.设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()UNM =ð（ ）A ．{}1,3B ．{}1,5C ．{}3,5D ．{}4,5 【答案】C 【解析】 试题分析：因为()U{1,3,5}{2,3,5}{3,5}NM ==ð，故选c ．考点：集合的运算．3.若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ． 3-B ．0C ．32D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：作出不等式组02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如下图：由图可知当直线经过点C （0，3）时mi n 3z =-， 故选A ． 考点：线性规划．4.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，286a a +=，则9S =（ ） A ．272B ．27C ．54D ．108 【答案】B考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和．5.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为（ ）A ．83π+．163πC ．833π+ D ．1693π+【答案】D考点：由三视图求面积、体积．【易错点晴】本题考查几何体体积计算．本题关键是由三视图准确的想象出该几何体的真实形状，弄清几何体的结构特征，是易错之处．6.有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）A ．150B ．180C ．200D ．280 【答案】A 【解析】试题分析: 根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有3135232260C C A A ⨯=种，若是1，2，2，则有122354232290 C C CAA⨯=种所以共有150种不同的方法，故选A．考点：排列、组合及简单计数问题．7.执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2016 B．2 C．12D．1-【答案】B考点：程序框图．8.若6nx⎛⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C考点：1、二项式定理；2、二元不定方程的解．9.已知函数()cos f x x x ωω=+（0ω>）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D 【解析】试题分析：由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，画出其图象，则答案可求．∵()cos f x x x ωω=+1cos )2sin()26x x x πωωω=+=+， 由题意知，则,22T π=则T=π， ∴()2sin(2)6f x x π=+，考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．10.函数2sin6241xxxyπ⎛⎫+⎪⎝⎭=-的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：由函数2sin 62cos62()4141x x x xx x f x y π⎛⎫+ ⎪⎝⎭===--得：2cos6()2cos6()()4114x x x xx xf x f x ----===---知函数是奇函数，其图象关于愿点对称，故排除A ；当x 从大于零变到零的过程中，函数值y →+∞,故排除B ； 当x →+∞时，0y →，排除C ；故选D. 考点：函数的图象．11.已知正三角形C AB 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面C AB 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．74π B ．2π C ．94π D ．3π 【答案】C 【解析】试题分析：设正△ABC 的中心为O 1，连结O 1A ．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E 的球O 的截面，当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值． 设正△ABC 的中心为O 1，连结O 1A ，连结111,,,OO OC O D OD ∵O 1是正△ABC 的中心，A 、B 、C 三点都在球面上，∴1O O ⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得11O O O C ⊥ ∵球的半径R=2，球心O 到平面ABC 的距离为1，得1O O =1， ∴Rt △O 1OA中，1O A ==又∵E 为AB 的中点，△ABC 是等边三角形，∴13cos302oAE AO ==∵过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小， 此时截面圆的半径32r =可得截面面积为294S r ππ==， 故选C ．考点：球的性质．【思路点晴】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积,着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．关键是理解：经过点E 的球O 的截面，当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小．12.已知函数()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（注：e 为自然对数的底数）（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B考点：1、分段函数的应用；2、根的存在性及根的个数判断．【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，再利用数形结合是解决本题；求函数某过点的切线方程的方法：先设出切点，利用导数表示出切线的斜率，进而写出切线的方程，最后由过的点的坐标求出切点坐标，从而求出切线方程．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知()1,2a =-，()0,2a b +=，则b = ．【解析】试题分析：设(,)b x y =，则()()()()1,2,1,20,2a b x y x y +=-+=+-=101224x x y y +==-⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩， ()()21,4,14b b ∴=-=-+=考点： 1、向量的加法；2、向量的模．14.设随机变量()23,σX N ，若()0.3m P X >=，则()6m P X >-= ．【答案】0.7考点：正态分布．15.已知O 为坐标原点，点M 的坐标为()2,1，点(),x y N 的坐标x 、y 满足不等式组2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则OM⋅ON 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】试题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用向量的数量积表示出2z OM ON x y ==+，利用z 的几何意义求最值即可．N （x ，y ）的坐标x ，y 满足不等式组2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的可行域如图：目标函数为2z OM ON x y ==+由向量的数量积的几何意义可知，当N 在（3，0）时，OM⋅ON 取得最大值是（3，0）∙（2，1）=6， 在（0，1）时，OM⋅ON 取得最小值为（2，1）∙（0，1）=1， 所以的取值范围是， 所以答案应填：．考点：1、简单线性规划；2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【方法点晴】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识，属于基础题．文科考查线性规划问题都考查的比较浅，难度不大这与理科有所区别，本题就具备这个特点，只是目标函数稍加变动．解线性规划问题的一般步骤：一是作出可行域；二是作出目标函数对应的过原点的直线0l ；三是平移0l 到经过平面区域时目标函数的最值.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，(){}2n n nS n a ++为等差数列，则{}n a 的通项公式n a = ． 【答案】12n n-.考点：等差数列的性质．【方法点晴】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，解答的关键是注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用，是中档题．对于此类已知条件中同时含有,n nS a 的，注意利用,n n S a 的关系来互相转化：()11,(1),2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在锐角三角形C AB 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C2sin 0c -A =． （I ）求角C 的大小；（II ）若2c =，求a b +的最大值． 【答案】（I ）C 3π=；（2）4．考点：1、余弦定理；2、正弦定理． 18.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）23；（2）分布列见解析，数学期望是1936．（2）依题意，X 的可能取值为0，1，2．左手所取的两球颜色相同的概率为22223429C C C 5C 18++=…………………………6分 右手所取的两球颜色相同的概率为22233329C C C 1C 4++=…………………………7分 ()511331301118418424⎛⎫⎛⎫P X ==--=⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()5151711118418418⎛⎫⎛⎫P X ==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()515218472P X ==⨯=…………………………10分 所以X 的分布列为：()1901224187236E X =⨯+⨯+⨯=…………………12分 考点：1、离散型随机变量的期望与方差；2、等可能事件的概率；3. 离散型随机变量及其分布列．【易错点晴】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．解题时一定要抓住重要字眼“不少于”，否则很容易出现错误．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．19.（本小题满分12分）直三棱柱111C C AB -A B 中，1C 1AA =AB =A =，E ，F 分别是1CC 、C B 的中点，11AE ⊥A B ，D 为棱11A B 上的点．（1）证明：DF ⊥AE ；（2）是否存在一点D ，使得平面D F E 与平面C AB 说明点D 的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点D 为11A B 中点．（2）假设存在，设面D F E 的法向量为(),,n x y z =， 则F 0DF 0n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅=⎪⎩111F ,,222⎛⎫E =- ⎪⎝⎭ 11DF ,,122λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩ 即：()()3211221x z y zλλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩令()21z λ=- ∴()()3,12,21n λλ=+-…………………………8分由题可知面C AB 的法向量()0,0,1m =…………………………9分平面D F E 与平面C AB所成锐二面角的余弦值为14考点：1、二面角的平面角及求法；2、直线与平面垂直的性质．【方法点晴】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误． 20.（本小题满分12分）椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为A ，4,33b ⎛⎫P ⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在两个定点()11,0M ，()21,0M -． 【解析】试题分析：（1）由题设可得224033b c c -+=①，又点P 在椭圆C 上，可得22216199b a b+=②，又2222b c a +==③，由①③联立解得c ，b 2，即可得解．（2）设动直线l 的方程为y=kx+m ，代入椭圆方程消去y ，整理得()222214220kx kmx m +++-=（﹡），由△=0，得2221m k =+，假设存在()11,0λM ，()22,0λM 满足题设，则由()()()22121212122221111k km k k m k m d d k k λλλλλλ++++++⋅===++对任意的实数k 恒成立．由121221λλλλ+=⎧⎨+=⎩即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1）()F ,0c ，()0,b A ，由题设可知F F 0A⋅P =，得224033b c c -+= ①…………………………1分考点：1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证.21.（本小题满分12分）函数()ln a x f x x+=，若曲线()f x 在点()(),e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（1）若()f x 在(),1m m +上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1x >时，()()()12111x x f x e e x xe ->+++． 【答案】（1）()0,1；（2）证明祥见解析．（2）()()()12111x x f x e e x xe ->+++ 即为()()11ln 11211x x x x e e x xe -++>++…………………………6分令()()()1ln 1x x g x x++= 则()()()()()221ln 11ln 1ln x x x x x x x g x x x '++-++⎡⎤-⎣⎦'== 再令()ln x x x φ=- 则()111x x x xφ-'=-=1x > ∴()0x φ'> ∴()x φ在()1,+∞上是增函数考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究曲线上某点切线方程．【方法点晴】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档偏难题．运用函数单调性证明不等式的关键在于构造恰当的函数，再利用导数判断其单调性，进而将不等式的证明转化为函数值大小的判断即可.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，M=B．若C C（1）求证：∆APM∽∆ABP；PM是平行四边形．（2）求证：四边形CD【答案】(1)证明祥见解析；（2）证明祥见解析．【解析】考点：1、圆的内接四边形的判定定理；2、圆周角定理；3、同弧或等弧所对的圆周角相等；4、割线定理．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:OM 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．【答案】(1) 2cos ρθ=；（2）Q 2P =．【解析】试题分析：（1）把22cos sin 1φφ+=代入圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），消去参数化为普考点：1、简单曲线的极坐标方程；2、参数方程与普通方程的互化．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设()11f x x x =-++．（1）求()2f x x ≤+的解集；（2）若不等式()121a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1) {}02x x ≤≤；（2）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．【解析】 试题分析：（1）运用绝对值的含义，对x 讨论，分x≥1，-1＜x ＜1，x≤-1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f （x ）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x 的范围．试题解析：（1）由()2f x x ≤+得：考点：1、绝对值不等式的解法；2、函数恒成立问题．。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设i 是虚数单位，若复数()512ia a R i+?-是纯虚数，则a =（ ） A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2 2. 已知集合{}{}2,3,4,5,6,3,5,7P Q ==，若M P Q =，则M 的子集个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23.在ABC D 中，,P Q 分别是,AB BC 的三等分点，且11,,33AP AB BQ BC ==若,AB a AC b ==，则PQ =（ ）A ．11+33a b B ．11+33a b -C ．1133a b -D ．1133a b -- 4. 已知函数()()222,log f x x g x x =-+=，则函数()()()F x f x g x =?的大致图象为（ ）5. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中,E F 分别为棱11,DD BB 的中点，用过点1,,,A E C F 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的左视图为（ ）6. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 B ．27. 已知:p 函数()()2f x x a =-在(),1-?上是减函数，21:0,x q x a x+">?恒成立，则p Ø是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 设函数()()y f xx R =?为偶函数，且x R "?，满足3122f x f x 骣骣琪琪-=+琪琪桫桫，当[]2,3x Î时，()f x x =，则当[]2,0x ?时，()f x =（ ）A ．4x +B ．2x -C ．2+1x +D ．31x -+9. 执行如图所示的程序框图，若输出的7n =，则输入的整数K 的最大值是（ ）A ．18B ．50C ．78D ．30610. 已知函数()()2ln ln 11xxF x a a xx骣琪=+-+-琪桫有三个不同的零点123,,x x x 其中()123x x x <<，则2312123ln ln ln 111xxxx x x 骣骣骣琪琪琪---琪琪琪桫桫桫的值为（ ） A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.观察下列各式：213122+< 221151233++< 222111712344+++< ……照此规律，当n N *Î时，则()2221111231n ++++<+ ．12.已知函数()()22log 11,1,1x x f x x x -ì-+<ï=íï³î，若()3f a =，则a = ．13. 已知ABC D 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且cos cos 3cos a B b A c C ???，则cos C = ．14.设实数,x y 满足不等式组1103300x y x y x ì+-?ïï-+?íï³ïî，则2z x y =-的最大值为 .15. 已知抛物线22y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，,,A B C 为该抛物线上不同的三点，,,FA FB FC 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=，则直线AC 的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. (本小题满分12分) 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表.规定：,,A B C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I ）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II ）在选取的样本中，从,A D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率；17.已知函数()4sin cos 4f x x x p w w 骣琪=-?琪桫在4x p=处取得最值， 其中()0,2w Î （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向左平移36p个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若a 为锐角，()4=3g a -，求cos a18. (本小题满分12分)如图，已知等腰梯形ABCD 中， 1,2AB DC AD AB CD ==，M为CD 的中点，N 为AC 与BM 的交点，将BCM D 沿BM 向上翻折成BPM D ，使平面BPM ^平面ABMD .（1）求证：AB PN ^；（2）若E 为PA 的中点，求证：EN 平面PDM .19. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足13n a n n b b +?，且11b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记21412n n n n T a b a b a b -=+++，求n T .20. (本小题满分13分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e =，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆222x y b +=相交所得弦的长度为1. （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 交椭圆E 于不同的两点()()1122,,,M x y N x y ，设()()1122,,,OP bx ay OQ bx ay ==，O 为坐标原点，当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：MON D 的面积为定值，并求出该定值. 21.(本小题满分14分)函数()()()()2,xf x x ax b e a b R =-+?（I ）当0,3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间； （II ）若x a =是()f x 的极大值点. （i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）当a 为定值时，设123,,x x x 是()f x 的3个极值点，问：是否存在实数b ，可找到4x 使得1234,,,x x x x 的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的b 的值及相应的4x ；若不存在，说明理由.文科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 11.211n n ++ 12. -3 13. 1314.-3 15. 210x y --= 三、解答题16. 解：（I ）由题意可知，样本容量6250,0.0040.012105010n x ====创 ……………2分10.040.10.120.560.01810y ----==……………4分因为成绩是合格等级人数为：()10.15045-?人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，依据样本估计总体的思想，所以，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为910……………6分 （II ）由茎叶图知， A 等级的学生共有3人，D 等级学生共有0.1505?人，记A 等级的学生为123,,A A A ，D 等级学生为12345,,,,D D D D D ，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：121311,,,A A A A A D1213141523212223242531323334351213,,,,,,,,,,,,,,,,,A D A D A D A D A A A D A D A D A D A D A D A D A D A D A D D D D D1415232425343545,,,,,,,D D D D D D D D D D D D D D D D 共28个基本事件17.解：（1）()24sin cos cos 4f x x x x x x p w w w w w 骣琪=-??琪桫)sin 2cos 22sin 24x x x p w w w 骣琪=--=--琪桫……………3分由于()f x 在4x p =处取得最值，因此32,,24422k k Z k p p p w p w ?=+蝄=+ ()0,2w 蝄，当=0k 时，3=2w ……………5分因此，()22sin 343f x x T pp骣琪=--\=琪桫……………6分（2）将函数()f x 的图象向左平移36p个单位，得到()2sin 32sin 33646h x x x p pp轾骣骣犏琪琪=+--=--琪琪犏桫桫臌再()h x 图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到()2sin 6g x x p骣琪=--琪桫……………8分故()42sin 63g pa a 骣琪=---琪桫2sin =63p a 骣琪-琪桫， 因为a 为锐角，所以663p p pa -<-<，因此cos 6p a 骣琪-=琪桫 ……………10分 故212cos cos =cos cos sin sin 66666632326p p p p p p a a a a 骣骣骣琪琪琪=-+---=?琪琪琪桫桫桫……………12分18. （1）证明：连接AM ，,AB CD AB CM \，又M 为CD 的中点，12AB CD =，AB CM \=所以四边形ABCM 为平行四边形，又由于AD AB BC ==，所以四边形ABCM 是菱形，,BM NC PN MB \^\^， (2)分又由于平面BPM ^平面ABMD ，平面BPM平面ABMD BM =，PN ABMD \^平面， …………………………..4分又由于AB ABMD Ì平面，AB PN \^ …………………………..6分（2）取PD 的中点为F ，连接,EF MF ，由于在ACD D 中，M ，N 分别为CD ，AC 的中点，1,2MN AD MN AD \=……………………..8分 又由于在PAD D 中，,E F 分别为,PA PD 的中点，1,,,2EF AD EF AD MN EF MN EF \=\= ……………………..10分所以四边形EFMN 为平行四边形，EN MF \又,FM PMD EN PMD 蘚平面平面 ………………..12分19.解：（1）211n n n S S a +++=，① ()2-12n n n S S a n +=?，②①-②得：2211n n n n a a a a +++=-，()()1110n n n n aa a a ++\+--=()1110,0,0,12n n n n n n a a a a a a n +++>>\+筡-=? ………………..2分又由2212S S a +=得21222a a a +=，即2222220,2,1a a a a --=\==-（舍去），211a a \-= 因此，{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，n a n \= ………………..3分 又133n a n n n b b +?=，③ ()-1-132n n nb b n ??，④③÷④得：()1-132n n b n b +=? ， ………………..4分 又由11b =，可得23b = 故1321,,n b b b -是首项为1，公比为3的等比数列，242,,n b b b 是首项为3，公比为3的等比数列，112123,333n n n n n b b ---\==? ………………..6分()()12233n n n n b n -ìïï\=íïïî为奇数为偶数………………..7分（2）由（1）得231213333n n n n n T a a a a --=++++，⑤234112133333n n n n n T a a a a +--=++++， ⑥ ……………8分⑥-⑤得：()()()231112211233333n n n n nn n n T a aa a a a a a +---=-+-+-++-+由n a n =，()22312313912333333331322nn n n n T n n n ++-\=-+++++=-+=--+?-……………11分2339424n n n T +\=-- ……………12分20.解：（1）由题意知e =得c a =2c = ① ……………1分因为直线过左焦点(),0F c -且倾斜角为30°，可得直线方程为)y x c + ……………2分又因为直线)y x c +与圆222x y b +=相交弦长为1，所以圆心到直线的距离2cd = ……………3分再由勾股定理得：22144c b -=，② ……………4分由①②联立222222144cc b a b c ì=ïïï-=íïï=+ïî可知222413a b c ì=ïï=íïï=î 所以椭圆方程2214x y += ……………5分 （2）（i ）当直线MN 的斜率不存在时，1212=,x x y y =-，因为以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，所以OP OQ ^即0OP OQ ? ……………6分所以22121212120,40b x x a y y x x y y +=+=，即221140x y -=，③又因为点()11,M x y 在椭圆上，所以221114x y +=，④把③代入④得：2112,2x y ==……………7分所以11211122MON S x y y D =?== ……………8分（ii ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+()222221+4844014y kx tk x ktx t x y ì=+ï?+-=íï+=ïî由于交于不同的两点，所以0D>()()222264414440k t k t D=-?->，即22410kt D=-+>由韦达定理得：2121222844,1414kt t x x x x k k --+==++ ……………9分 由题意知0OP OQ?，即121240x x y y +=，又1122y kx t y kx t =+=+，所以()2212121240x x k x x kt x x t 轾++++=臌()()2212121+4440k x x kt x x t \+++=代入整理得22214t k =+，⑤ ……………11分 又MN==点O到直线y kx t=+的距离d所以22 1112214214 MONS d MN tk k D=???++，⑥将⑤代入⑥得241122MONtS ttD=?综上，MOND的面积为定值 (13)分21.解：（I）当0,3a b==-时，()()()23233x xf x x x e x x e=-=-()(xf x xe x x¢=-……………2分当(()(),,0,x f x f x¢??<单调递减；当()()(),0,x f x f x¢?>单调递增；当(()(),0,x f x f x¢?单调递减；当)()(),0,x f x f x¢??单调递增故函数()f x的单调递增区间为(),-)+?，单调递减区间为(,,-?(……………4分（II）（i）当0a=时，()()2xf x x x b e=+，()()232xf x xe x b x b轾¢=+++臌令()()()()22232,38180g x x b x b b b b=+++D=+-=-+>故()0g x=有两个根12,x x，不妨设12x x < ……………6分当12,x x 有一个为零时，0x a ==不是()f x 的极值点，故12,x x 均不为0； 当120x x <<或120x x <<时，0x a ==是()f x 的极小值点，不合题意； 当120x x <<时，0x a ==是()f x 的极大值点，120,x x \<即20b <，0b \< ……………9分（ii ）()()()232x f x e x a x a b x b ab a 轾¢=-+-++--臌设()()2132g x x a b x b ab a =+-++--，()()()22342180a b b ab a a b D=-+---=+-+>故()10g x =有两个根12,x x ⅱ，不妨设12x x ⅱ<，又因为x a =是()f x 的极大值点，所以()f x 的三个极值点分别为12,,x a x ⅱ，且12x a x ⅱ<< ……………10分其中12x x ⅱ=①若122x x a ⅱ+=，即23a a b =--也即3b a =--时有：142x x a ¢=+或242x x a ¢=+所以()41=23x x a a b a a ¢-=---=-或()41=23x x a a b a a ¢-=--=+ ……………12分②若12,,x a x ⅱ不成等差数列，则需()212x a a x ⅱ-=-或()122a x x a ⅱ-=-当()212x a a x ⅱ-=-时，24=2x a x ¢+，于是()1233322a b a x x ---ⅱ=+=，即()33a b -++故30a b ++<时，()()2191170a b a b +-++-+=，a b b a +-=--此时，()()2423331==242a ab a b x a x a ¢+---+++=+同理当()122a x x a ⅱ-=-时，72b a -=--，41=2x a -+综上所述：当3b a =--时，4=x a ±当72b a =--，41=2x a +当72b a -=--，4=x a ……………14分。

2015-2016学年西藏日喀则一中高三（下）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．i为虚数单位，复数的实部和虚部之和为（）A．0 B．1 C．2 D．32．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}3．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．34．S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1085．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A．B． +C． +D． +26．有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．2807．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2016 B．2 C．D．﹣18．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E 是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．πD．3π12．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，]C．（0，）D．[，e]二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．14．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞6﹣m）=．15．已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，1）点N（x，y）的坐标x，y满足不等式组．则的取值范围是．16．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求a+b的最大值．18．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．21．函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2015-2016学年西藏日喀则一中高三（下）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．i为虚数单位，复数的实部和虚部之和为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、实部和虚部的定义即可得出．【解答】解：复数===﹣1+2i，其实部和虚部之和=﹣1+2=1．故选：B．2．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集意义先求C U M，再根据交集的意义求N∩（C U M）．【解答】解：（C U M）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（C U M）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．故选C3．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的最小值．【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选A．4．S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以根据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．【解答】解：根据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，根据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．5．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A．B． +C． +D． +2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l==2，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r==2，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=πr 2+sin120°=π+，故几何体的体积为：V=Sh=×（π+）×2=+，故选：B6．有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）A ．150B ．180C ．200D ．280 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有×=60种，若是1，2，2，则有×=90种所以共有150种不同的方法． 故选：A ．7．执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2016B ．2C ．D ．﹣1【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出前几次循环得到的s ，k 的值，观察规律可知，s 的取值以3为周期，由k 等于2015=3*671+2时，满足条件k ＜2016，s=2，k=2016时不满足条件k ＜2016，退出循环，输出s 的值为2． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 s=2，k=0满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k ＜2016，s=，k=2满足条件k ＜2016，s=2．k=3 满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k ＜2016，s=，k=5 …观察规律可知，s 的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有 满足条件k ＜2016，s=2，k=2016不满足条件k ＜2016，退出循环，输出s 的值为2． 故选：B ．8．若（x 6）n 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】二项式系数的性质．【分析】二项式的通项公式T r +1=C n r （x 6）n ﹣r （）r ，对其进行整理，令x 的指数为0，建立方程求出n 的最小值．【解答】解：由题意，（x 6）n 的展开式的项为T r +1=C n r （x 6）n ﹣r （）r=C n r =C n r令6n ﹣r=0，得n=r ，当r=4时，n 取到最小值5故选：C ．9．已知函数f （x ）=sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象．关于函数g （x ），下列说法正确的是（ ）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[，π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，画出其图象，则答案可求．【解答】解：∵f （x ）=sin ωx +cos ωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，故排除BC，故选：D11．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E 是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．πD．3π【考点】球的体积和表面积．【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OA中，O1A=．又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=πr2=．故选C．12．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，]C．（0，）D．[，e]【考点】分段函数的应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【考点】向量的模．【分析】首先利用向量的减法运算得到向量的坐标，然后求模．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：14．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞6﹣m）=0.7．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结果．【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴曲线关于x=3对称，∵P（X＞m）=0.3，∴P（X＞6﹣m）=1﹣0.3=0.7，故答案为：0.7．15．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，1）点N （x ，y ）的坐标x ，y 满足不等式组．则的取值范围是 [1，6] ．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用向量的数量积表示出z=，利用z 的几何意义求最值即可．【解答】解：N （x ，y ）的坐标x ，y 满足不等式组．表示的可行域如图：由向量的数量积的几何意义可知，当N 在（3，0）时取得最大值是（3，0）（2，1）=6， 在（0，1）时取得最小值为（2，1）（0，1）=1，所以的取值范围是[1，6]． 故答案为：[1，6]．16．设数列{a n }的n 项和为S n ，且a 1=a 2=1，{nS n +（n +2）a n }为等差数列，则{a n }的通项公式a n =．【考点】等差数列的性质．【分析】令b n =nS n +（n +2）a n ，由已知得b 1=4，b 2=8，从而b n =nS n +（n +2）a n =4n ，进一步得到{}是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出{a n }的通项公式．【解答】解：设b n =nS n +（n +2）a n ，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a 2=1， ∴b 1=4，b 2=8，∴b n =b 1+（n ﹣1）×（8﹣4）=4n ， 即b n =nS n +（n +2）a n =4n当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣1+（1+）a n ﹣（1+）a n ﹣1=0∴=，即2•，∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，∴．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求a+b的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0求出sinC的值，由三角形为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（Ⅱ）由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，利用基本不等式即可求出a+b的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由a﹣2csinA=0，及正弦定理，得sinA﹣2sinCsinA=0，∵sinA≠0，∴sinC=，∵△ABC是锐角三角形，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，C=，∴由余弦定理得：a2+b2﹣2abcos=4，即a2+b2﹣ab=4，∴（a+b）2=4+3ab≤4+3•（）2，即（a+b）2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，则a+b的最大值是4．18．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P（A）=1﹣．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，则P（A）=1﹣．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=．P（X=0）=（1﹣）（1﹣）==；P（X=1）==；P（X=2）==．∴X的分布列为：X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以•=0，即DF⊥AE；（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题设可得c2﹣c+=0①，又点P在椭圆C上，可得⇒a2=2②，又b2+c2=a2=2③，①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0（﹡），由△=0，得m2=2k2+1，假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由=||=1对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．【解答】解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知，得c2﹣c+=0①…又点P在椭圆C上，∴⇒a2=2②b2+c2=a2=2③…①③联立解得，c=1，b2=1…故所求椭圆的方程为+y2=1…（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0（﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2+1＞0，所以△=0，得m2=2k2+1…假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由=||=1对任意的实数k恒成立．所以，解得，或，所以，存在两个定点M1（1，0），M2（﹣1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…21．函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式＞即为•＞，令g（x）=，通过导数，求得＞，令h（x）=，运用导数证得h（x）＜h（1）=，原不等式即可得证．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣解得得a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x=1是函数f（x）的极大值点又f（x）在（m，m+1）上存在极值∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；（2）不等式＞即为•＞令g（x）=则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣=，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2故＞．令h（x）=，则h′（x）=，∵x＞1∴1﹣e x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）=，所以＞h（x），即＞．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP （II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，即可把圆C 的参数方程化为直角坐标方程．（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，同理可解得．利用|PQ |=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由，解得． ∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ |=2．[选修4-5：不等式选讲]24．设f （x ）=|x ﹣1|+|x +1|．（1）求f （x ）≤x +2的解集；（2）若不等式f （x ）≥对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x 讨论，分x ≥1，﹣1＜x ＜1，x ≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f （x ）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x 的范围．【解答】解：（1）由f （x ）≤x +2得：或或，即有1≤x ≤2或0≤x ＜1或x ∈∅，解得0≤x ≤2，所以f （x ）≤x +2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f （x ）≥对任意实数a ≠0恒成立，可得|x ﹣1|+|x +1|≥3，即或或，解得x ≤﹣或x ≥，故实数x 的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．2016年10月15日。