高三数学寒假作业专题14椭圆、双曲线、抛物线(背)

专题升级训练14 椭圆、双曲线、抛物线(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(2012·安徽安庆二模，2)在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合的是( )．A ．5x 23＋5y 22＝1B ．x 29＋y 25＝1C ．x 23－y 22＝1D ．5x 23－5y22＝12．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过定点A (0,1)，B (0，－1)，且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是( )．A ．x 23＋y 24＝1(y ≠0) B．x 24＋y 23＝1(y ≠0)C ．x 23＋y 24＝1(x ≠0) D．x 24＋y 23＝1(x ≠0) 3．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2.若1PF ·2PF ＝0，则1e 21＋1e 22＝( )．A ．1B ．2C ．3D ．44．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )．A ．至少1个B ．2个C ．1个D ．0个 5．已知点A ，B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于( )．A ． 2B ． 3C ．2D ．2 26．(2012·山东潍坊3月模拟，10)直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )．A ．74B ．2C ．94D ．4 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．(2012·江苏苏、锡、常、镇四市调研，8)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为__________．8．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )，到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝__________.9．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则△OAM 的面积为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)(2012·河北邯郸一模，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长等于焦距，椭圆C 上的点到右焦点F 的最短距离为2－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点E (2,0)且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于M ，N 两点，P 是点M 关于x 轴的对称点，证明：N ，F ，P 三点共线．11．(本小题满分15分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1的焦点在x 轴上，左、右顶点分别为A 1，A ，上顶点为B ．抛物线C 1，C 2分别以A ，B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，C 1与C 2相交于直线y ＝2x 上一点P .(1)求椭圆C 及抛物线C 1，C 2的方程；(2)若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M ，N ，已知点Q (－2，0)，求QM ·QN 的最小值．12．(本小题满分16分)(2012·安徽安庆二模，20)已知直线l ：x ＋y ＋8＝0，圆O ：x2＋y 2＝36(O 为坐标原点)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等．(1)求椭圆C 的方程； (2)过点(3,0)作直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，设OS ＝OA ＋OB (O 是坐标原点)，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 1．D2．C 解析：过点A ，B ，O (O 为坐标原点)分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A 1，B 1，O 1，设抛物线的焦点F (x ，y )，则|FA |＝|AA 1|，|FB |＝|BB 1|，∴|FA |＋|FB |＝|AA 1|＋|BB 1|. ∵O 为AB 的中点，∴|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4.∴|FA |＋|FB |＝4，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程为x 23＋y 24＝1.又F 点不能在y 轴上，故所求轨迹方程为x 23＋y 24＝1(x ≠0)．故选C.3．B 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，其中两焦点距离为2c .不妨令P 在第一象限，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，∴|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，又PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴2(a 2＋m 2)＝4c 2，∴1e 21＋1e 22＝a 2＋m2c2＝2，故选B.4．B 解析：∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d ＝4m 2＋n2＞2，解得m 2＋n 2＜4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，半径为2的圆的内部，而此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故点P 在椭圆内部，经过此点的任意直线与椭圆有两个交点．故选B.5．A 解析：由OA →·OB →＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，因此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到直线AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x⇒x ＝ 2.故选A.6．C 解析：据抛物线定义知，|AB |＝x 1＋14＋x 2＋14＝4，∴x 1＋x 2＝72.故弦AB 的中点到x ＝－12的距离为x 1＋x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74＋12＝94.二、填空题7．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0 解析：由题意得a 2＝16，b 2＝9，c 2＝16＋9＝25. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．设M (x ，y )，有|MF 1||MF 2|＝23，即x ＋2＋y 2x －2＋y 2＝23.整理即可．8．14 解析：根据抛物线的性质得1＋p2＝5，∴p ＝8. 不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1. 故a ＝14.9．32－ 2 解析：线段FM 所在直线方程x ＋y ＝1与抛物线交于A (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2＝4y ⇒y 0＝3－22或y 0＝3＋22(舍去)．∴S △OAM ＝12×1×(3－22)＝32－ 2.三、解答题10．解：(1)由题可知⎩⎨⎧2b ＝2c ，a －c ＝2－1，解得a ＝2，c ＝1，∴b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 为y ＝k (x －2)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 1，－y 1)，F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.所以x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－22k 2＋1.而FN →＝(x 2－1，y 2)＝(x 2－1，kx 2－2k )， FP →＝(x 1－1，－y 1)＝(x 1－1，－kx 1＋2k )．∵(x 1－1)(kx 2－2k )－(x 2－1)(－kx 1＋2k )＝k [2x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋4]＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 2－42k 2＋1－24k 22k 2＋1＋4＝0， ∴FN →∥FP →.∴N ，F ，P 三点共线．11．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，2)，故抛物线C 1的方程可设为y 2＝4ax ，C 2的方程为x 2＝42y .由⎩⎨⎧y 2＝4ax ，x 2＝42y ，得a ＝4，P ，82y ＝2x所以椭圆C ：x 216＋y 22＝1，抛物线C 1：y 2＝16x ，抛物线C 2：x 2＝42y .(2)由(1)知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为－22，设直线l 的方程为y ＝－22x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 22＝1，y ＝－22x ＋b ，消去y ，整理得5x 2－82bx ＋(8b 2－16)＝0， 因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以Δ＝128b 2－20(8b 2－16)＞0， 解得－10＜b ＜10. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝82b 5，x 1x 2＝8b 2－165，y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22x 1＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22x 2＋b ＝12x 1x 2－2b 2(x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－85.因为QM →＝(x 1＋2，y 1)，QN →＝(x 2＋2，y 2)，所以QM →·QN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2＝9b 2＋16b －145.因为－10＜b ＜10，所以当b ＝－89时，QM →·QN →取得最小值．其最小值等于95×⎝ ⎛⎭⎪⎫－892＋165×⎝ ⎛⎭⎪⎫－89－145＝－389.12．解：(1)∵圆心O 到直线l ：x ＋y ＋8＝0的距离为d ＝82＝42，直线l 被圆O 截得的弦长2a ＝2R 2－d 2＝4，∴a ＝2.又c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵OS →＝OA →＋OB →，∴四边形OASB 是平行四边形．假设存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等．则四边形OASB 为矩形，因此有OA →⊥OB →， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.直线l 的斜率显然存在，设过点(3,0)的直线l 方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，可得－5k 2＋1＞0，即k 2＜15.x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－3)(x 2－3)＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2＝(1＋k 2)36k 2－41＋4k2－3k 224k 21＋4k2＋9k 2， 由x 1x 2＋y 1y 2＝0得，k 2＝441，∴k ＝±24141，满足Δ＞0.故存在这样的直线l ，其方程为y ＝±24141(x －3)．。

专题14 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质基础巩固一、选择题1．抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）A ．()0,2-B ．()2,0-C ．10,32⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,032⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为28y x =-可化为218=-x y ， 所以128=-p ，且焦点在y 轴负半轴， 因此焦点坐标为10,32⎛⎫- ⎪⎝⎭故选C2．椭圆22143x y +=的右焦点到直线y =的距离是（ ）A ．12B C ．1D【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中，224,3a b ==，则1c ==所以椭圆的右焦点为()1,0F则椭圆的右焦点()1,0F 到直线y =的距离为d ==故选B3．已知双曲线222:1y C x b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，2FM =，则双曲线的离心率（ ）A ．2BCD【答案】C【解析】依题意，双曲线1a =，设(),0F c ，双曲线的一条渐近线方程为0y bx bx y =⇒-=，则2bcFM b c=====.所以22222125c a b c =+=+=⇒=所以双曲线的离心率为ce a==. 故选C4．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）A．y =B．y =C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C【解析】由题因为c e a ===,所以2b a =，所以渐近方程为2y x =±. 故选C.5．已知定点()2,3A ，F 为抛物线26y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，则||||PF PA +的最小值为（ ）A ．5B ．4.5C ．3.5D ．不能确定【答案】C【解析】如图所示，过点P 作PM ⊥准线l ，垂足为M ，则PF PM =，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，||||PF PA +取得最小值32 3.52AM =+=. 故选C6．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C的面积为，过点1F 的直线交C 于点A ，B ，且2ABF 的周长为8．则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y +=B ．22134x y +=C ．22143x y +=D ．2241163x y +=【答案】C【解析】因为2ABF 的周长为8，所以221122121288()()8AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF ++=⇒+++=⇒+++=， 由椭圆的定义可知：12122,2AF AF a BF BF a +=+= 所以2282a a a +=⇒=，由题意可得：πab =，解得b =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为22143x y+=．故选C二、填空题7．过圆224x y +=上任意一点M 作x 轴垂线，垂足为N ，则线段MN 的中点的轨迹方程为____________.【答案】2244x y +=【解析】设线段MN 的中点为(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，则002x x y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得00,2x x y y ==，又22004x y +=，得2244x y +=. 故填2244x y +=8．过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为4π直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是 .【答案】16【解析】抛物线28y x =的焦点为，倾斜角为4π说明斜率为1，直线方程，与28y x =联立方程组，消去得：，设，则，则.故填169．已知12,F F 是双曲线221412x y -=两个焦点，P 是双曲线上的一点，且01260F PF ∠=，则12F PF ∆的面积为__________．【答案】【解析】根据双曲线焦点三角形面积公式可知，122121212tan30tan2F PF b S F PF ∆===∠ .故填10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y =的焦点与双曲线221x y m-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为________.【解析】抛物线2y =的焦点坐标为：)，双曲线221x y m-=的右焦点坐标为：)，=，即4m =， 则该双曲线的离心率为e =知能提升一、选择题11．设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足1212PF PF F F +=，则）A B ．2CD ．1【答案】A【解析】设1212,,2PF m PF n F F c ===，不妨设m n >， 因为1212PF PF F F +=，所以有1212122OP F F OP F F =⇒=, 因此三角形12F PF 是以12F F 为斜边的直角三角形，即有1290F PF ︒∠=，于是有2224m n c +=，在椭圆中，m n +等于椭圆长轴长，因此12ce m n=+， 在双曲线中，mn -等于双曲线的实轴长，因此22ce m n=-，2222c c c c⋅⋅===， 而2224m n c +=2=. 故选A12．方程x = ）A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分【答案】B【解析】x =2241(0)x y x +=，即221(0)14y x x +=，表示的曲线为椭圆的一部分； 故选B ．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为（ ）A．3B ．13C．2D ．12【答案】A 【解析】如图，点P 在椭圆上，所以12+2PF PF a =，由1222,PF PA PF AF AF a ==+=，代入上式得，123,22a aPF PF == 在1APF △，222222111133122cos 32322a a a AF AP PF PAF a AF APa ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，又2111cos 12sin 3PAF OAF ∠=-∠=，所以1sin 3OAF ∠=，即1sin 3c OAF e a ∠===， 故选A.二、填空题14．过双曲线2213y x -=的左焦点1F ，作倾斜角为6π的直线AB ，其中,A B 分别为直线与双曲线的交点，则AB 的长为________．【答案】3【解析】因为双曲线方程为2213y x -=，所以左焦点120F -（，），因为直线AB 的倾斜角为6π，所以直线斜率为3，直线AB 的方程为()23y x =+， 代入2213y x -=可得2121211384130,,28x x x x x x --=+==-所以12AB x =-=3==，故填3.15．设F 1，F 2分别是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为_____.【解析】设|PF 2|=m ，则|PF 1|=2m ，显然点P 在双曲线的右支上， 因此有122PF PF a -=，因此122,4,2m a PF a PF a =∴==， 而122F F c =，∠F 1PF 2＝60°，所以由余弦定理可知；222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222141642422c a a a a =+-⋅⋅⋅，化简得：cc e a=⇒==。

高考研究课(一) 椭圆命题3角度——求方程、研性质、判关系
[全国卷5年命题分析]
考点
椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程
椭圆的几何性质
椭圆的定义及标准方程
[典例] (1)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆
C 上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝
()
π
π
A.6
B.3
2π C. 3
椭圆的几何性质
[典例]
(1)(2017·兰
州一
模
)
已
知
椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a
＞
b
＞
0)的
左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP|
＝12|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，则该椭圆的离心率为
()
ห้องสมุดไป่ตู้
3 A.4
[解析]
3
2
1
B. 2
C. 2
D.2
(1)由|OP|＝12|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，可得点 P
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋ |PQ|＋|QF1|＝4a.于是(1＋λ＋ 1＋λ2)|PF1|＝4a， 解得PF1＝1＋λ＋4a 1＋λ2，故|PF2|＝2a－|PF1|＝2a1＋λ＋λ＋1＋1λ＋2－λ21. 由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2， 从而1＋λ＋4a 1＋λ22＋2a1＋λ＋λ＋1＋1＋λ2－λ212＝4c2， 两边除以4a2，得1＋λ＋4 1＋λ22＋λ1＋＋λ＋1＋λ12＋－λ1222＝e2. 若记t＝1＋λ＋ 1＋λ2，则上式变成e2＝4＋tt2－22＝81t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t＝1＋λ＋ 1＋λ2关于λ单调递增，得3≤t＜4，

第十四单元 ⎪⎪⎪椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是线段； (3)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质[小题速通]1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 由椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．(2016·天津红桥一模)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：选 C 由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝()222－22＝2，因为焦点在y 轴上，故选C.3．(2017·临沂一中模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解析：选D 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：因为焦点在x 轴上，所以0＜m ＜2，所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m .椭圆的离心率为e ＝12，所以e 2＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝32.答案：32[清易错]1．椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.2．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或－21解析：选D 当9＞4－k ＞0，即4＞k ＞－5时，a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，∴5＋k 3＝45，解得k ＝1925. 当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5， ∴－k －54－k＝45，解得k ＝－21，所以k 的值为1925或－21. 双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．3．双曲线的性质[小题速通]1．(2017·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：选A 依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y＝0，选A.2．(2017·江南十校联考)已知双曲线的焦距为23，离心率为3，则双曲线的标准方程是( )A ．x 2－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1C ．x 2－y 22＝1或y 2－x 22＝1 D.y 22－x 2＝1解析：选C 因为双曲线的焦距为23，所以2c ＝23，c ＝3，因为双曲线的离心率为3，所以c a＝3，a ＝1，因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝2，由题意无法判断焦点的位置，故有两个标准方程，故选C.3．(2016·甘肃张掖一诊)如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233D. 3解析：选 A 依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，根据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝4c 2，整理得c a＝7，故选A.4．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：44[清易错]1．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．2．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.1．双曲线x 236－m 2－y 2m2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：选B c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：选A 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点为(±4,0)，故焦点到渐近线的距离d ＝2 3.1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质[小题速通]1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1)D ．(0,1)解析：选B 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0解析：选B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：选C 由y 2＝x ，得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14.设A 点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选C.4．(2017·唐山模拟)已知抛物线的焦点F (a,0)(a ＜0)，则抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝2ax B ．y 2＝4ax C ．y 2＝－2axD ．y 2＝－4ax解析：选B 以F (a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y 2＝4ax .[清易错]1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p ＞0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B ．－14C ．4D ．－4解析：选B 由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a ＝1，解得a＝－14.2．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x[过双基]1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小题速通]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．(2017·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1， ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .3．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：3215[清易错]1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．[双基过关检测] 一、选择题1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选D 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .2．(2017·济南第一中学检测)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 D ．(0,1)解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝14y ，则p ＝18，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.3．(2017·贵州七校联考)已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m 的值是( )A ．4B ．－14C.14D ．－4解析：选B 由双曲线的方程知a ＝1，b ＝－1m ，又b ＝2a ，所以－1m＝2，解得m ＝－14，故选B.4．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选B 由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5， ∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m ＞0，故m ＝3.5．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.7．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab ＝( ) A.32 B.233 C.932D.2327解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，∴a b ＝32. 8．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.()－3，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.[]－3，3解析：选 C 由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.二、填空题9．(2016·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，所以b a＝2.①又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a 2＋b 2＝5.② 由①②得a ＝1，b ＝2. 答案：1 210．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |， ∴2×2b2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：211．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 12．(2017·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－1 三、解答题13．(2017·揭阳一中期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k21＋2k2，x 1x 2＝k 2－1＋2k2. 所以y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k 2.因为OM ⊥ON ， 所以OM ―→·ON ―→＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)， 所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．高考研究课(一)————————————————————————————————————— 椭圆命题3角度——求方程、研性质、判关系————————————————————————————————————— [全国卷5年命题分析][典例] (1)若椭圆C ：9＋2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6(2)(2017·大庆模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 [解析] (1)由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F 2PF 1＝42＋22－722×4×2＝－12.又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π3.(2)设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F (－25，0)，得c ＝2 5. 由|OP |＝|OF |＝|OF 1|， 知PF 1⊥PF .在Rt △PF 1F 中，由勾股定理， 得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝()452－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12， 从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.[答案] (1)C (2)B [方法技巧]求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．[即时演练]1．(2016·西安质检)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1解析：选C 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3[典例] (1)(2017·兰州一模)已知椭圆a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，则该椭圆的离心率为( )A.34B.32C.22D.12(2)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.①若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； ②若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，求椭圆离心率e 的取值范围．[解析] (1)由|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，可得点P 是椭圆的短轴端点，即P (0，±b )，故b ＝12×2c ＝c ，故a ＝2c ，即c a ＝22，故选C. 答案：C(2)①由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝＋22＋－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.②如图，由PF 1⊥PQ ， |PQ |＝λ|PF 1|， 得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得PF 1＝4a 1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2aλ＋1＋λ2－1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a λ＋1＋λ2－1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4＋λ＋1＋λ22＋λ＋1＋λ2－2＋λ＋1＋λ22＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2， 则上式变成e 2＝4＋t －2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ单调递增，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.[方法技巧]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[即时演练]1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 答案：332．(2017·安徽黄山质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆C 与y 轴的交点，若以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．解析：∵点P 为椭圆C 与y 轴的交点，以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即∠F 1PF 2≤90°，∴tan ∠OPF 2≤1，∴cb≤1，c ≤b ，c 2≤a 2－c 2，∴0＜e ≤22. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22[典例] (2016·四川高考)已知椭圆E ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.[解] (1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， 故34b 2＋14b2＝1，解得b 2＝1. 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，由Δ＝4(2－m 2)＞0，解得－2＜m ＜ 2. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22. 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m ) ＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)] ＝54(2－m 2)， 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. [方法技巧](1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[即时演练]1．若对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 22＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 联立直线与椭圆的方程，消去y 得(2k 2＋m )x 2＋4kx ＋2－2m ＝0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以Δ＝16k 2－4(2k 2＋m )(2－2m )≥0，即2k 2＋m －1≥0恒成立，因为k ∈R ，所以k 2≥0，则m －1≥0，所以m ≥1，又m ≠2，所以实数m 的取值范围是[1,2)∪(2，＋∞)．2．(2017·辽宁质检)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233.(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ， ∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2， ∴b a ＝33， 由|AB |＝233，易知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程， 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，若以CD 为直径的圆过E 点，则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0， 而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝k 2＋1＋3k 2－12k k ＋1＋3k2＋5＝0，解得k ＝76，满足k 2＞1.1．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.2．(2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2. 解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)， 代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k2，得x 1＝－4k23＋4k2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k 2.由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，因此f (t )在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3＜k ＜2.3．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m－k 3，因此x M ＝k k －mk 2＋.四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －mk 2＋，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时， 四边形OAPB 为平行四边形． [高考达标检测] 一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k＞2，解得0＜k ＜1.∴实数k 的取值范围是(0,1)．故选A.2．(2017·济南质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：选A 由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ，所以a ＝2.又e ＝c a ＝12，所以c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 因此椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c ， 所以3a ＝4c ，所以e ＝34.4．(2017·厦门模拟)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E交于A ，B 两点，若△FAB 周长的最大值是8，则m 的值等于( )A ．0B ．1 C. 3D ．2解析：选B 设椭圆的左焦点为F ′，则△FAB 的周长为AF ＋BF ＋AB ≤AF ＋BF ＋AF ′＋BF ′＝4a ＝8，所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时，△FAB 的周长取得最大值，所以0＝－1＋m ，所以m ＝1.故选B.5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332 C.94D.154解析：选 B 设向量F 1P ―→，F 2A ―→的夹角为θ.由条件知|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P ―→·F 2A ―→＝32|F 1P |―→cos θ，于是F 1P ―→·F 2A ―→要取得最大值，只需F 1P ―→在向量F 2A ―→上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P ―→·F 2A ―→＝32|F 1P |―→cos θ≤332，即F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.6．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解析：选C 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a ，把P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得－c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，∴e ＝ca ＝22.选C. 二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．解析：设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝x 0＋c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b 29＋19b 2＝1， 解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.答案：x 2＋3y22＝18．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是______． 解析：设过M (1,1)点的方程为y ＝kx ＋b ， 则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋－k ，则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0，所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k1＋2k2＝1，解得k ＝－12，故b ＝32，所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝09．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，得b 2＜ac ，即a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＞0，即e 2＋e －1＞0，e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，∴5－12＜e ＜1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1三、解答题10．(2016·洛阳一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3， ∴x 0＝x 1＋x 22＝32， y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．(2017·广州五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P ，Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．解：(1)由题意可得e ＝c a ＝22， ∵椭圆E 经过点(6，1)，∴6a 2＋1b2＝1，又a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2， ∴椭圆E 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ， 依题意可设M (－4，m )．由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°， ∵|OP |＝22，∴|OM |＝42， ∴－2＋m 2＝42，又m ＞0，解得m ＝4，∴M (－4,4)， ∴直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由MP ＝MQ ，OP ＝OQ 可得OM ⊥PQ ， ∴直线PQ 的斜率k PQ ＝1， 设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ， ∵∠OMP ＝30°，∴∠POM ＝60°， ∵∠OPA ＝30°，由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2， ∴|n |12＋－2＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，∴直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝3 2.(1)求椭圆的方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围． 解：(1)由题意知，e ＝c a ＝22，则a ＝2c ，b ＝c . 当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝2a ＋2b2a＝22c ＋2c ＝32，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB 与直线CD 中有一条的斜率为0时，另一条的斜率不存在． 由题意知S 四边形＝12|AB |·|CD |＝12×22×2＝2.②当两条直线的斜率均存在且不为0时， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程，并整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，∴|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·22k 2＋11＋2k2＝22k 2＋1＋2k2.同理，|CD |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋11＋2k 2＝22k 2＋k 2＋2.∴S 四边形＝12·|AB |·|CD |＝12·22k 2＋1＋2k 2·22k 2＋k 2＋2＝k 2＋22k 4＋2＋5k2＝4⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1. ∵2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝⎛⎭⎪⎫2k ·1k 2＋1＝9， 当且仅当k ＝±1时取等号，∴S 四边形∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫169，2. 综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤169，2.高考研究课(二)————————————————————————————————————— 双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质—————————————————————————————————————[全国卷5年命题分析][典例] (1)设F 1，F 2是双曲线x 2－24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．48(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝180202080[解析] (1)由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.(2)依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝ba×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]双曲线定义及标准方程问题求解中的2个注意点(1)应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混． [即时演练]1．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12解析：选B 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知，|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋－2＋－2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．2．(2016·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )。