DEH经典讲义
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第49讲直线、平面垂直的判定与性质知识梳理知识点1:直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直,那称这条直线和这个平面相互垂直.知识点2:判定定理(文字语言、图形语言、符号语言)该平面也垂直知识点3:性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)知识点4:平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.(如图所示,若,⋂=⊥CD CD αβγ,且,,⋂=⋂=⊥AB BE AB BE αγβγ,则⊥αβ)一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.知识点5:判定定理(文字语言、图形语言、符号语言)知识点6:性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)线⊥线−−−−→←−−−−判定定理性质定理线⊥面−−−−→←−−−−判定定理性质定理面⊥面(1)证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高;②勾股定理逆定理;③菱形对角线互相垂直;④直径所对的圆周角是直角;⑤向量的数量积为零;⑥线面垂直的性质(,)⊥⊂⇒⊥a b a bαα;⑦平行线垂直直线的传递性(,//⊥⇒⊥a c a b b c ).(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义;②线面垂直的判定(,,,,⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥a b a c c b b c P a ααα);③面面垂直的性质(,,,⊥⋂=⊥⊂⇒⊥b a b a a αβαβαβ);平行线垂直平面的传递性(,//⊥⇒⊥a b a b αα);⑤面面垂直的性质(,,⊥⊥⋂=⇒⊥l l αγβγαβγ).(3)证明面面垂直的方法①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理(,⊥⊂⇒⊥a a βααβ).空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示,由图可知,线面垂直在所有关系中处于核心位置.性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面必考题型全归纳题型一:垂直性质的简单判定例1.(2024·甘肃兰州·校考模拟预测)设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A .若,m n n α⊥∥,则m α⊥B .若,m ββα⊥∥,则m α⊥C .若,,m n n ββα⊥⊥⊥,则m α⊥D .若,,m n n ββα⊥⊥⊥,则m α⊥例2.(2024·重庆·统考模拟预测)已知l ,m ,n 表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列四个命题正确的是()A .若//l α,且//m α,则l m ⊥B .若αβ⊥,//m α,n β⊥,则//m nC .若//m l ,且m α⊥,则l α⊥D .若m n ⊥,m α⊥,//n β,则αβ⊥例3.(2024·陕西咸阳·统考二模)已知m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有以下四个命题:①若m ∥n ,n ⊂α,则m ∥α,②若m ⊂α,m β⊥,则αβ⊥,③若m α⊥,m β⊥,则α∥β,④若αβ⊥,m ⊂α,n ⊂α,则m n ⊥其中正确的命题是()A .②③B .②④C .①③D .①②变式1.(2024·河南·校联考模拟预测)已知,αβ是两个不同的平面,,m n 是两条不同的直线,则下列命题中正确的是()A .若,,m m n αβα⊥⊥⊥,则n β⊥B .若,,m n αβαβ⊂⊂∥,则m n ∥C .若,,m n m n αβ⊥⊂⊂,则αβ⊥D .若,,⊥∥∥m m n n αβ,则αβ⊥变式2.(2024·陕西咸阳·统考模拟预测)如图所示的菱形ABCD 中,2,60,AB BAD =∠= 对角线,AC BD 交于点O ,将ABD △沿BD 折到A BD ' 位置,使平面A BD '⊥平面BCD .以下命题:①BD A C '⊥;②平面A OC '⊥平面BCD ;③平面A BC '⊥平面ACD ';④三棱锥A BCD -'体积为1.其中正确命题序号为()A .①②③B .②③C .③④D .①②④变式3.(2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模)已知l ,m ,n 是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则下列条件中能推出αβ⊥的是()A .l ⊂α,m β⊂,且l m⊥B .l ⊂α,m β⊂,n β⊂,且l m ⊥,l n⊥C .m α⊂,n β⊂,//m n ,且l m ⊥D .l ⊂α,//l m ,且m β⊥【解题方法总结】此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等,进而进行排除.题型二:证明线线垂直例4.(2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB BC =,11AB B C =.(1)证明:1AC B B ⊥;例5.(2024·广东深圳·统考二模)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面,ABCD PA AD ==,点M 是PD 的中点.(1)证明:AM PC ⊥;例6.(2024·河南·校联考模拟预测)已知三棱柱111ABC A B C -中,1112,2,90,AB AC A A A B A C BAC E =====∠=︒是BC 的中点,F 是线段11AC 上一点.(1)求证:AB EF ⊥;变式4.(2024·福建宁德·校考模拟预测)图1是由直角梯形ABCD 和以CD 为直径的半圆组成的平面图形,AD BC ∥,AD AB ⊥,112AD AB BC ===.E 是半圆上的一个动点,当△CDE 周长最大时,将半圆沿着CD 折起,使平面PCD ⊥平面ABCD ,此时的点E 到达点P 的位置,如图2.(1)求证:BD PD ⊥;变式5.(2024·河南·校联考模拟预测)如图,已知三棱柱111ABC A B C -中,2AB AC ==,111A A B A A C ===90BAC ∠=︒,E 是BC 的中点,F 是线段11AC 上一点.(1)求证:AB EF ⊥;(2)设P 是棱1AA 上的动点(不包括边界),当PBC 的面积最小时,求棱锥-P ABC 的体积.变式6.(2024·贵州毕节·校考模拟预测)在梯形ABCD 中,//AB DC ,90DAB ∠=︒,2CD =,4AC AB ==,如图1.沿对角线AC 将DAC △折起,使点D 到达点P 的位置,E 为BC 的中点,如图2.(1)证明:PE AC ⊥.【解题方法总结】12()先看两直线位置关系三线合一有等腰三角形就必用共面勾股定理(题目中线段数据多)证明其他(初中平面几何学习的其他垂直证明方法)异面考虑用线面垂直推导异面垂直找重垂线在重垂线对应平面内找垂⎧⎧⎪⎪⇒⎪⎨⊥−−−−−−→⎨⎪⎩⎪⎪⇒⇒⇒⎩l l题型三:证明线面垂直(1)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(2)求四棱锥11C BDD B -的体积.例7.(2024·云南·校联考模拟预测)如图,在四棱锥P OABC -中,已知ππ1,2,4,,36OA OP CP AB CPO ABC ∠∠======,π2AOC ∠=.(1)证明:CO ⊥平面AOP ;例8.(2024·云南昭通·校联考模拟预测)如图,在三棱锥C ABD -中,CD ⊥平面ABD ,E 为AB 的中点,2AB BC AC ===,2CG EG =.(1)证明:AB ⊥平面CED ;例9.(2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测)如图1,在五边形ABCDE 中,四边形ABCE 为正方形,CD DE ⊥,CD DE =,如图2,将ABE 沿BE 折起,使得A 至1A 处,且11A B A D ⊥.(1)证明:DE ⊥平面1A BE ;变式7.(2024·重庆巴南·统考一模)如图所示,在三棱锥-P ABC 中,已知PA ⊥平面ABC ,平面PAB ⊥平面PBC .(1)证明:BC ⊥平面PAB ;变式8.(2024·广东广州·统考三模)如图,在几何体ABCDEF 中,矩形BDEF 所在平面与平面ABCD 互相垂直,且1AB BC BF ===,AD CD ==,2EF =.(1)求证:BC ⊥平面CDE ;变式9.(2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,平面11ACC A ⊥平面ABC ,12,AC BC CC D ===是1AA 的中点,且90,60ACB DAC ∠∠==.(1)证明:1AA ⊥平面CBD ;【解题方法总结】垂直关系中线面垂直是重点.线垂面哪里找⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①垂直两条相交线;②垂直里面作垂线;③直(正)棱柱的侧棱是垂线;④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.线垂面有何用⎧⎨⎩①垂直面里所有线(证线线垂直);②过垂线作垂面(证面面垂直).证明线面垂直常用两种方法.方法一:线面垂直的判定.线线垂直⇒线面垂直,符号表示为:,,,,⊥⊥⊂⊂⋂=a b a c b c b c P αα,那么⊥a α.方法二:面面垂直的性质.面面垂直⇒线面垂直,符号表示为:,,,⊥=⊂⊥ b a a b αβαβα,那么⊥a β.题型四:证明面面垂直例10.(2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形,160CBB ∠=︒,2AB BC ==,1AC AB ==(1)证明:平面1ACB ⊥平面11BB C C ;例11.(2024·贵州贵阳·校联考三模)如图所示,在四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AB CD ,12AB CD =,CD CE ⊥,45ADC EDC ∠=∠= ,AD =BE .(1)求证:平面ABE ⊥平面ABCD ;例12.(2024·西藏日喀则·统考一模)如图,已知直角梯形ABCD 与ADEF ,222DE BC AD AB AF =====,AD AF ⊥,//ED AF ,AD ⊥AB ,//BC AD ,G 是线段BF 上一点.(1)平面ABCD ⊥平面ABF变式10.(2024·广东梅州·统考三模)如图所示,在几何体PABCD 中,AD ⊥平面PAB ,点C 在平面PAB 的投影在线段PB 上()BC PC <,6BP =,AB AP ==2DC =,CD ∥平面PAB .(1)证明:平面PCD ⊥平面PAD .变式11.(2024·河北张家口·统考三模)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形,1160,2,CBB AB BC AC AB ∠=====(1)证明:平面1ACB ⊥平面11BB C C ;变式12.(2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,122,4,AB BC AA P ===为棱AB 的中点.(1)证明:平面1PCD ⊥平面1PDD ;(2)画出平面1D PC 与平面11A ADD 的交线,并说明理由;(3)求过1,,D P C 三点的平面α将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比.变式13.(2024·云南·云南师大附中校考模拟预测)如图,P 为圆锥的顶点,A ,B 为底面圆O 上两点,2π3AOB ∠=,E 为PB 中点,点F 在线段AB 上,且2AF FB =.(1)证明:平面AOP ⊥平面OEF ;变式14.(2024·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)在如图所示的空间几何体中,ACD 与ACB △均是等边三角形,直线ED ⊥平面ACD ,直线EB ⊥平面ABC ,DE BE ⊥.(1)求证:平面ABC ⊥平面ADC ;【解题方法总结】主要证明方法是利用面面垂直的判定定理(线面垂直⇒面面垂直).证明时,先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.题型五:垂直关系的综合应用例13.(2024·贵州铜仁·统考二模)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,1AB AC ==.(1)试在平面1A BC 内确定一点H ,使得AH ⊥平面1A BC ,并写出证明过程;例14.(2024·全国·校联考模拟预测)如图,在正三棱柱111ABC A B C -(侧棱垂直于底面,且底面三角形ABC 是等边三角形)中,1BC CC =,M 、N 、P 分别是1CC ,AB ,1BB 的中点.(1)求证:平面//NPC 平面1AB M ;(2)在线段1BB 上是否存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ?若存在,确定点Q 的位置;若不存在,也请说明理由.例15.(2024·天津·耀华中学校考二模)如图,在三棱锥A ﹣BCD 中,顶点A 在底面BCD上的射影O 在棱BD 上,AB =AD ,BC =BD =2,∠CBD =90°,E 为CD 的中点.(1)求证:AD ⊥平面ABC ;(2)求二面角B ﹣AE ﹣C 的余弦值;(3)已知P 是平面ABD 内一点,点Q 为AE 中点,且PQ ⊥平面ABE ,求线段PQ 的长.变式15.(2024·全国·校联考模拟预测)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,11AD A D E = ,11CD C D F = .(1)求证:EF BD ⊥;(2)在线段1BC 上,是否存在点H ,使得1BC ⊥平面DEH ?并说明理由.变式16.(2024·江西赣州·统考模拟预测)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C是矩形,侧面11BB C C 是菱形,160B BC ∠= ,D 、E 分别为棱AB 、11B C 的中点,F 为线段1C E 的中点.(1)证明://AF 平面1A DE ;(2)在棱1BB 上是否存在一点G ,使平面ACG ⊥平面11BB C C ?若存在,请指出点G 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.变式17.(2024·安徽淮北·统考一模)如图,已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形,侧面PAB 是等边三角形,2BC AB =,60ABC ∠=︒,PB AC ⊥.(1)求证:面PAB ⊥面ABCD ;(2)设Q 为侧棱PD 上一点,四边形BEQF 是过B ,Q 两点的截面,且AC 平面BEQF ,是否存在点Q,使得平面BEQF 平面PAD?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.变式18.(2024·河北邯郸·统考二模)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是棱BC,AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.(1)求证:C1E//平面ADF;(2)设点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF.【解题方法总结】(1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证。
DEH系统的作用、功能及组成一、DEH的作用DEH全称为数字式功频电液调节系统。
它将现场的模拟信号转化成数字信号,通过计算机的运算,完成对汽轮机的启动、监视、保护和运行。
二、DEH的功能1、操作方式的选择。
(1)手动方式。
配备手操盘,计算机发生故障或其它特殊情况下(如炉熄火,快减负荷),可满足手动升降负荷的要求。
实现汽轮机组启动操作方式和运行方式的选择。
(2)操作员自动(OA)。
启动时必须采用的方式,可实现机组的冲转、升速、暖机、并网、带负荷的整个阶段。
(3)汽轮机程序启动(A TC)。
实现机组从启动到运行的全部自动化管理。
2、启动方式的选择。
可实现高、中压缸联合启动或中压缸启动(300MW机组)。
3、运行方式的选择。
机跟炉、炉跟机、协调等。
4、阀门管理。
可实现“单阀”或“多阀”运行。
并可实现无扰切换。
5、超速保护功能(OPC)。
主要由103%超速保护及甩负荷预测功能。
当转速超过停机值(110%额定转速)时,发出跳机信号,迅速关闭所有主汽门和调门。
6、阀门试验功能。
可在线进行主汽门、调门的全行程关闭试验或松动试验。
三、DEH系统的组成1、计算机控制部分(1)M MI站。
人机接口。
(2)D EH控制柜。
DPU分布式控制单元;卡件;端子柜。
DEH组成示意图2、液压控制部分(1)E H高压抗燃油控制系统。
抗燃油泵。
提供高压抗燃油,并由它来驱动伺服执行机构。
还包括:再生装置,滤油装置和冷却装置。
功能:提供压力油。
(2)控制汽轮机运行执行系统。
伺服阀,卸荷阀、逆止阀等组成。
将DEH来的指令电信号,转变为液压信号,最终改变调门的开度。
(3)保护系统。
OPC电磁阀,隔膜阀,AST电磁阀组成。
属保护机构。
当设备的参数达到限定值时(轴向位移、高压差胀、真空等),或关闭主汽门、调门。
四、DEH的优点1、精度高,速度快,延迟性小(迟缓率<0.06%(原来0.6%),油动机快关时间<0.2S(部颁规定0.5S)。
(迟缓率:单机运行从空负荷到额定负荷,汽轮机的转速n2由降至n1,该转速的变化值与额定转速之比的百分数δ)。