数的整除性

(江苏省竞赛试题)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13整除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(1a－c)．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．

数字的整除性在数学中，整除性是指一个数能够被另一个数整除，或者说能够被另一个数整除得到整数的性质。

对于任意两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们可以说a能够被b整除，或者说b 能够整除a。

在本文中，我们将探讨数字的整除性以及与之相关的一些概念和性质。

1. 整除与倍数的关系在讨论整除性之前，我们先来了解一下整数的倍数概念。

如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数。

例如，12能够被3整除，所以12是3的倍数。

可以发现，一个数能够被另一个数整除，就意味着它同时也是另一个数的倍数。

2. 整除性的定义与性质对于给定的两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们可以说a能够被b整除。

整除性具有以下性质：- 任意整数a都能够被1和它自身整除。

- 如果a能够被b整除，并且b能够被c整除，则a能够被c整除。

- 如果a能够被b整除，并且b能够被a整除，则a和b相等。

3. 整除与质数在整除性的讨论中，质数是一个非常重要的概念。

质数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，没有其他正因数的数。

例如，2、3、5和7都是质数，而4、6和8就不是质数，因为它们都有其他的正因数。

对于任何一个正整数a，如果a不是质数，那么它一定可以被一个大于1且小于a的整数整除。

4. 最大公约数和最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是与整除性密切相关的概念。

最大公约数是指两个或多个整数中能够同时整除它们的最大的正数。

最小公倍数是指两个或多个整数中能够同时被它们整除的最小的正数。

最大公约数和最小公倍数的计算方法可以通过质因数分解、辗转相除法等多种方式来进行。

5. 整除性与算术基本定理在整除性的研究中，算术基本定理是一个非常重要的定理。

算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）指出，任何一个大于1的自然数，都可以唯一地表示为质数的乘积。

数的整除性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。

例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。

例2从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

例3六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例4要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？1、能被3整除的最小三位数是（），能被5整除的最大三位数是（）2，又能被3整除，而且还是5的倍数的最小三位数是（）3、在自然数中，（）既不是质也不是合。

既是奇数又是质数的最小的数是（），（）既是质数又是合数。

4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，最大的是（），最小的数是（）。

4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是（）。

5、三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）。

6、100以内同时能被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）。

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。

数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。

整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。

在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。

一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。

这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。

例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。

二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。

2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。

例如，5能够整除5。

3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。

例如，1能够整除8。

4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。

例如，任何数都能够整除0。

5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。

例如，任何数都能够被1整除。

6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。

例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。

7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。

例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。

三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。

最大公因数可以通过求解数的因数来得到。

例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。

最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。

2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。

3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。

四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。

质数和整除有着密切的关系。

1. 质数只能被1和自身整除。

2. 任何一个数都可以被质数整除。