[原创精品]2021届新高三一轮单元金卷 第三单元导数训练卷 B卷 教师版

单元质检卷三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值X围是()A.m>0B.m<0C.m>1D.m<12.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.33.(2018某某吕梁一模,10)函数f(x)=的图像大致为()4.(2018某某某某三模,11)已知函数f(x)=a x+x2-x ln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒成立,则a的取值X围为()A.[e2,+∞)B.[e,+∞)C.[2,e]D.[e,e2]5.(2018某某长郡中学五模,9)已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-3,f(0)=4,则不等式f(x)>e x+3的解集是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,0)6.(2018某某某某一模)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是()A.y=-2x+3B.y=xC.y=3x-2D.y=2x-17.(2018某某六市联考一,10)若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为()A.-2B.-4C.2D.48.(2018某某某某中学仿真,10)已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-e x+1-m cos x,记a=-2f(-2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b9.(2018某某某某中学月考,12)已知函数f(x)=x3-a2x,若对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤1成立,则实数a的取值X围是()A.B.C.D.10.(2018某某长郡中学四模,12)设函数f(x)=min(min{a,b}表示a,b中的较小者),则函数f(x)的最大值为()A.ln 2B.2ln 2C.D.11.(2018某某潍坊一模,12)函数y=f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,且y=f(x)在[0,+∞)上单调递减.若x∈[1,3]时,不等式f(2mx-ln x-3)≥2f(3)-f(ln x+3-2mx)恒成立,则实数m的取值X围为()A.B.C.D.12.(2018某某某某一模,12)已知函数f(x)=x2-2x cos x,则下列关于f(x)的表述正确的是()A.f(x)的图像关于y轴对称B.f(x)的最小值为-1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个极值点二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值X围是.14.(2018某某某某三模)曲线f(x)=x ln x在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是.15.(2018某某某某一模,改编)已知函数f(x)=a ln(x+1)-x2,在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p<q,若不等式>1恒成立,则实数a的取值X围是.16.已知f(x)=x+x ln x,若k(x-2)<f(x)对任意x>2恒成立,则整数k的最大值为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2018某某某某一模,21)设f(x)=x e x,g(x)=x2+x.(1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值;(2)若对任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1>x2,有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,某某数m的取值X围.18.(14分)(2018某某乌鲁木齐二诊)已知函数f(x)=ln x-ax,其中a为非零常数.(1)求a=1时f(x)的单调区间;(2)设b∈R,若f(x)≤b-a对x>0恒成立,求的最小值.19.(14分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).(1)当a=2时,求f(x)的图像在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,某某数m的取值X围.20.(14分)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<<x;(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.21.(14分)(2018某某长郡中学一模,21)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)=(x-m)e x(常数m∈R).(1)若m=2,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)+m+1>0恒成立,某某数m的最大整数值.单元质检卷三导数及其应用1.B求导得y'=e x+m,由于e x>0,若y=e x+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.2.A由f'(x)=2x+1-=0,得x=或x=-1(舍去).当0<x<时,f'(x)<0,f(x)递减;当x>时,f'(x)>0,f(x)递增.则f(x)的最小值为f+ln 2>0,所以f(x)无零点.3.A函数f(x)=不是偶函数,可以排除C,D,又令f'(x)==0,得极值点为x1=1-,x2=1+,所以排除B,选A.4.A函数f(x)=a x+x2-x ln a,x∈[0,1],则f'(x)=a x ln a+2x-ln a=(a x-1)ln a+2x,当0<a<2时,a-2<0,显然|f(x1)-f(x2)|≤a-2不可能成立.当a>2时,x∈[0,1]时,a x≥1,ln a>0,2x≥0,此时,f'(x)≥0;f(x)在[0,1]上递增,f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(1)=a+1-ln a,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=a-ln a≤a-2,解得a≥e2,故选A.5.D不等式f(x)>e x+3,即>1,令g(x)=-1,则g'(x)=<0,据此可得函数g(x)是R上的减函数.又g(0)=-1=0,结合函数的单调性可得:不等式f(x)>e x+3的解集是(-∞,0),故选D.6.D∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,∴f(x)=x2,f'(x)=2x,∴y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为y'=2.∴函数y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y=2x-1.故选D.7.D设正项递增等比数列{a n}的公比为q,则q>1,∵1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0,∴1=(a4-a2)+λq(a4-a2)=(1+λq)(a4-a2).∴1+λq=,a6+λa7=a6(1+λq)=.令g(q)=(q>1),g'(q)=.∴当1<q<时,g'(q)<0,故g(q)在(0,)是减少的,当q>时,g'(q)>0,故g(q)在(,+∞)是增加的,当q=时,g(q)的最小值为g()=4,即a6+λa7的最小值为4.8.D∵f(x)是奇函数,∴f(0)=-e0+1-m cos 0=0,∴m=0,即当x≥0时,f(x)=-e x+1,构造函数g(x)=xf(x),∵f(x)为R内的奇函数,∴g(x)是偶函数,则g'(x)=1-e x(x+1),当x≥0时,e x≥1,x+1≥1,据此可得g'(x)≤0,即偶函数g(x)在区间[0,+∞)上递减,且a=g(-2)=g(2),b=g(-1)=g(1),c=g(3),∴c<a<b.故选D.9.A利用排除法,当a=0时,f(x)=x3,f'(x)=x2≥0,函数在定义域上递增,|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(0)=≤1,满足题意,排除C,D选项,当a=时,f(x)=x3-x,f'(x)=x2-<0,函数在定义域上递减,|f(x1)-f(x2)|≤f(0)-f(1)=1≤1,满足题意,排除B选项,故选A.10.D y=x ln x⇒y'=ln x+1=0⇒x=,函数y=x ln x在内递减,在内递增;y=,y'==0,得x=0或x=2,函数y=在(0,2)内递增,在(-∞,0),(2,+∞)内递减.作出函数y=x ln x和y=的图像,由图像得函数f(x)的最大值为f(2)=.故选D.11.B由y=f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,∴定义在R上的函数f(x)的图像关于y轴对称,∴函数f(x)为偶函数,∵f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)在(-∞,0)上递增,∵不等式f(2mx-ln x-3)≥2f(3)-f(ln x+3-2mx)在区间[1,3]上恒成立,∴f(2mx-ln x-3)≥f(3)在区间[1,3]上恒成立,∴-3≤2mx-ln x-3≤3在区间[1,3]上恒成立,即0≤2mx-ln x≤6在区间[1,3]上恒成立,即2m≥且2m≤在区间[1,3]上恒成立,令g(x)=,则g'(x)=,∴g(x)在[1,e)上递增,在(e,3]上递减,∴g(x)max=.令h(x)=,h'(x)=<0,h(x)在[1,3]上递减,∴h(x)min=,∴m∈.12.D对于A,因f(-x)≠f(x),故A错误;对于B,问题可转化为方程x2+1=2x cos x有解,即x+=2cos x有解,当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时取“=”,当x=1时,2x cos x<2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于方程x=2cos x有3个解,作出函数y=x,y=2cos x的图像(图像略),可知方程只有1个解,故C错误;对于D,f'(x)=2x-2(cos x-x sin x)=2x(1+sin x)-2cos x,由f'(x)=0,得x==tan.由函数y=x与y=tan的图像有无数交点,知f(x)有无数个极值点,故选D.13.(0,1)∪(2,3)由题意知f'(x)=-x+4-=-,由f'(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内, 函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.14.由f(x)=x ln x,得f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=1,∴曲线f(x)=x ln x在点P(1,0)处的切线方程为y=x-1.切线l与x轴,y轴的交点分别为(1,0),(0,-1),所围成的三角形外接圆的圆心为,半径为.∴所求方程为.15.[15,+∞)∵实数p,q在区间(0,1)内,故p+1,q+1在区间(1,2)内,∵不等式>1恒成立,∴函数图像上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1.∴f'(x)=-2x>1在(1,2)内恒成立,即a>2x2+3x+1在(1,2)内恒成立,由于函数y=2x2+3x+1在[1,2]上递增,故x=2时,y有最大值15,∴a≥15.16.4∵x>2,∴k(x-2)<f(x)可化为k<.令F(x)=,则F'(x)=.令g(x)=x-2ln x-4,则g'(x)=1->0,故g(x)在(2,+∞)上是增加的,且g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)<0,g(9)=9-2ln 9-4=5-2ln 9>0;故存在x0∈(8,9),使g(x0)=0,即2ln x0=x0-4.故F(x)在(2,x0)上是减少的,在(x0,+∞)上是增加的;故F(x)min=F(x0)=,故k<,故k的最大值是4.17.解 (1)F(x)=f(x)+g(x)=x e x+x2+x,F'(x)=(x+1)(e x+1),令F'(x)>0,解得x>-1;令F'(x)<0,解得x<-1,故F(x)在(-∞,-1)递减,在(-1,+∞)递增,故F(x)min=F(-1)=-.(2)若对任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1>x2有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,则对任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1>x2有mf(x1)-g(x1)>mf(x2)-g(x2)>0恒成立.令h(x)=mf(x)-g(x)=mx e x-x2-x,x∈[-1,+∞),即只需h(x)在[-1,+∞)递增即可,故h'(x)=(x+1)(m e x-1)≥0在[-1,+∞)恒成立,故m≥,而≤e,故m≥e.18.解 (1)当a=1时,f(x)=ln x-x,则f'(x)=-1,当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减.(2)f(x)≤b-a⇔b>ln x-ax+a,设h(x)=ln x-ax+a,则h'(x)=-a,当a<0时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)递增,b≥h(x)不可能恒成立;当a>0时,h'(x)>0⇔0<x<,h'(x)<0⇔x>,∴h(x)max=h=ln-1+a=a-ln a-1,b≥a-ln a-1⇔≥1-.设g(a)=1-(a>0),g'(a)=,∴g'(a)>0⇔a>1,g'(a)<0⇔0<a<1,∴g(x)min=g(1)=0,解得≥0,∴a=1,b=0时,取最小值0.19.解 (1)当a=2时,f(x)=2ln x-x2+2x,f'(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f'(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2ln x-x2+m,则g'(x)=-2x=.因为x∈,所以当g'(x)=0时,x=1.当<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,g(e)-g=4-e2+<0,则g(e)<g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1<m≤2+,所以实数m的取值X围是.20.(1)解由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1,当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)递减.(2)证明由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0,所以当x≠1时,ln x<x-1.故当x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln -1,即1<<x.(3)证明由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-c x,则g'(x)=c-1-c x ln c,令g'(x)=0,解得x0=.当x<x0时,g'(x)>0,g(x)递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)递减.由(2)知1<<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.21.解 (1)当m=2时,f(x)=(x-2)e x(x∈(0,+∞)),∴f'(x)=(x-1)e x,令f'(x)>0,有x>1,∴f(x)在(1,+∞)上是增加的.令f'(x)<0,有0<x<1,∴f(x)在(0,1)上是减少的.综上,f(x)在(0,1)上是减少的,f(x)在(1,+∞)上是增加的.(2)∵f(x)+m+1>0对于x∈(0,+∞)恒成立,即f(x)>-m-1对于x∈(0,+∞)恒成立,由函数的解析式可得:f'(x)=e x[x-(m-1)],分类讨论:①当m≤1时,f(x)在(0,+∞)内是增加的,∴f(x)>f(0)=-m,∴-m>-m-1恒成立,∴m≤1.②当m>1时,在(0,m-1)内是减少的,f(x)在(m-1,+∞)内是增加的.∴f(x)min=f(m-1)=-e m-1,∴-e m-1>-m-1,∴e m-1-m-1<0,设g(m)=e m-1-m-1(m>1),∴g'(m)=e m-1-1>0(m>1),∴g(m)在(1,+∞)上递增,而m∈Z,g(2)=e-3<0,g(3)=e2-4>0,∴在(1,+∞)上存在唯一m0,使得g(m0)=0,且2<m0<3,∵m∈Z,∴m最大整数值为2,使e m-1-m-1<0,即m的最大整数值为2,综上可得:实数m的最大整数值为2,此时有f(x)+m+1>0对于x∈(0,+∞)恒成立.。

高三单元滚动检测卷·数学考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。

3．本次考试时间120分钟，满分150分。

单元检测三 导数及其应用第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2021·赣州联考)函数f (x )＝3ln x ＋x 2－3x ＋3在点(3，f (3))处的切线斜率是( ) A ．－2 3 B.3 C ．2 3D ．432．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 23．(2021·黑龙江双鸭山一中期中)若函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －2，则函数g (x )＝x 2＋f (x )的图像在点(1，g (1))处的切线方程为( ) A ．5x －y －3＝0 B ．5x －y ＋3＝0 C ．x －5y ＋3＝0D ．x －5y －3＝04．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．05．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112B.16C.13D.126．(2021·河北衡水中学调考)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有微小值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <1 C ．b >0D ．b <127．(2021·辽宁丹东五校协作体期末)若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a 等于( ) A ．－2 B.12 C ．1D ．28．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 等于( )A ．－43B ．－23 C.23 D.439．(2021·淄博一模)曲线f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1上的点到直线2x －y ＝3的距离的最小值为( )A.55B.5C.255D ．2510．(2021·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，111．(2021·广东阳东一中摸底)曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋3 B ．y ＝12x －3C ．y ＝2x ＋3D ．y ＝3x －212．(2021·西安模拟)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．14．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图像关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中全部正确结论的序号是________．15．(2021·豫东、豫北十所名校联考)若0<x <1，a ＝sin x x ，b ＝sin x x ，c ＝sin xx，则a ，b ，c 的大小关系为__________．16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x －2x 12，又a 是函数g (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点，则f (－2)，f (a )，f (1.5)的大小关系是_______________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2021·河北保定第一中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2f ′(1)＋1，且f ′(－1)＝9. (1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈(1，＋∞)使得函数f (x )<m 成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2021·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，争辩g (x )的单调性．19．(12分)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱外形的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．20．(12分)(2021·赣州联考)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )＋2x ，若g (x )在[1，e]上不单调且仅在x ＝e 处取得最大值，求a 的取值范围．21．(12分)(2021·内蒙古巴彦淖尔第一中学期中)已知f (x )＝1＋ln xx. (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝x 2－2x ＋k 有实数解，求实数k 的取值范围； (3)当n ∈N ＋时，求证：nf (n )<2＋12＋13＋…＋1n －1.22．(12分)(2021·四川)已知函数f (x )＝－2(x ＋a )ln x ＋x 2－2ax －2a 2＋a ，其中a ＞0. (1)设g (x )是f (x )的导函数，争辩g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．答案解析1．C [由f (x )＝3ln x ＋x 2－3x ＋3得， f ′(x )＝3x ＋2x －3，∴f ′(3)＝2 3.故选C.]2．B [由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.依据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.]3．A [由函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －2，得 f ′(1)＝3，f (1)＝1. 又函数g (x )＝x 2＋f (x )， ∴g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，则g ′(1)＝2×1＋f ′(1)＝2＋3＝5. g (1)＝12＋f (1)＝1＋1＝2.∴函数g (x )＝x 2＋f (x )的图像在点(1，g (1))处的切线方程为y －2＝5(x －1)． 即5x －y －3＝0.故选A.] 4．A5．B [求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3， 所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图像易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.]6．A [f ′(x )＝3(x 2－b )，∵函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有微小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0，解得0<b <1.故选A.] 7．C [由y ＝12e x 2，得y ′＝xe .由y ＝a ln x ，得y ′＝ax.∵它们在点P 处有公共切线，∴x e ＝a x ，解得x ＝e a ，代入两曲线得12e ·e a ＝a2(ln a ＋1)，∴ln a ＋1＝1，解得a ＝1，故选C.] 8．D [依题意得，ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43.] 9．B [f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，设与直线2x －y ＝3平行且与曲线f (x )相切于点P (s ，t )的直线方程为2x －y ＋m ＝0，则e s ＋2s ＋1＝2，解得s ＝0. ∴切点为P (0,2)．∴曲线f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1上的点到直线2x －y ＝3的距离的最小值为点P 到直线2x －y ＝3的距离d ，且d ＝|0－2－3|5＝ 5.故选B.] 10．D [∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又∵a <1，∴32e ≤a <1，经检验a ＝34，符合题意．故选D.]11．C [由于f ′(x )＝cos x ＋e x ，所以f ′(0)＝2， 所以曲线在x ＝0处的切线方程为y －3＝2(x －0)， 即2x －y ＋3＝0.故选C.] 12．D 13．(－1,0)解析 当a ＝0时，f ′(x )＝0，则函数f (x )不存在极值．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a .若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得微小值，不符合题意；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得微小值，不符合题意．所以a ∈(－1,0)． 14．①③④解析 依据已知条件可知f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)为偶函数，明显利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④. 15．a >b >c解析 易知当0<x <1时，0<sin x <x ，则0<sin x x <1，∴sin xx<sin x x .设f (x )＝sin xx ，则f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，设h (x )＝x cos x －sin x ，则h ′(x )＝－x sin x ．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，h (x )<h (0)＝0，∴f ′(x )<0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递减，又∵0<x <1，∴0<x <x <1， ∴sin x x >sin xx. 综上：sin x x >sin x x >sin xx，即a >b >c . 16．f (1.5)<f (a )<f (－2)解析 由于g (1.5)＝ln 52－43<0，g (2)＝ln 3－1>0，所以g (x )＝ln(x ＋1)－2x 在(32，2)内有零点，又由g ′(x )＝1x ＋1＋2x2>0知g (x )＝ln(x ＋1)－2x 在(－1,0)，(0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝ln(x ＋1)－2x 在区间(32，2)内有唯一的零点，即为a ，则a ∈(32，2)，所以2>a >1.5>1，当x ≥1时，f ′(x )＝2x ·ln 2－1x ＝x ·2x ·ln 2－1x ，由于x ·2x ·ln 2－1≥2ln 2－1＝ln 4－1>0， 所以f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)内单调递增， 所以f (2)>f (a )>f (1.5)，又f (x )是偶函数，所以f (1.5)<f (a )<f (－2)． 17．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋x 2f ′(1)＋1， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2xf ′(1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3a ＋2f ′(1)，f ′(－1)＝3a －2f ′(1)＝9.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，f ′(1)＝－3.∴f (x )＝x 3－3x 2＋1，∴f (1)＝－1. 故曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－3(x －1)－1＝－3x ＋2， 即3x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.则函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (2)＝－3. 则由题意可知，m >－3，即所求实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 18．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 由于f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0， 解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 19．解 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.20．解 (1)f ′(x )＝x 2－a x(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )≥0，增区间为(0，＋∞)， 当a >0时，f ′(x )≥0⇒x >a ，f ′(x )<0⇒0<x <a ， ∴f (x )的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)g ′(x )＝x －ax ＋2＝x 2＋2x －a x(x >0)，设h (x )＝x 2＋2x －a (x >0)，若g (x )在[1，e]上不单调，则h (1)h (e)<0， (3－a )(e 2＋2e －a )<0， ∴3<a <e 2＋2e ，同时g (x )仅在x ＝e 处取得最大值，∴只要g (e)>g (1)．即可得出：a <e 22＋2e －52，则a 的取值范围为(3，e 22＋2e －52)．21．(1)解 ∵f (x )＝1＋ln xx ，∴f ′(x )＝1x ·x －(1＋ln x )x 2＝－ln xx 2.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. ∴函数f (x )在区间(0,1)上为增函数， 在区间(1，＋∞)上为减函数．(2)解 由(1)，得f (x )的极大值为f (1)＝1. 令g (x )＝x 2－2x ＋k ，当x ＝1时，函数g (x )取得最小值g (1)＝k －1. ∵方程f (x )＝x 2－2x ＋k 有实数解，那么k －1≤1， 即k ≤2，∴实数k 的取值范围是k ≤2.(3)证明 ∵函数f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数， 1＋1n >1(n ∈N ＋，n ≥2)， ∴f (1＋1n )<f (1)＝1，∴1＋ln(1＋1n )<1＋1n，即ln(n ＋1)－ln n <1n，∴ln n ＝ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln n －ln(n －1) <1＋12＋13＋…＋1n －1，即1＋ln n <2＋12＋13＋…＋1n －1.∵nf (n )＝1＋ln n ，∴nf (n )<2＋12＋13＋…＋1n －1.22．(1)解 由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， g (x )＝f ′(x )＝2(x －a )－2ln x －2⎝⎛⎭⎫1＋ax ， 所以g ′(x )＝2－2x ＋2a x2＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋2⎝⎛⎭⎫a －14x 2，当0＜a ＜14时，g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减； 当a ≥14时，g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)证明 由f ′(x )＝2(x －a )－2ln x －2⎝⎛⎭⎫1＋ax ＝0， 解得a ＝x －1－ln x1＋x －1，令φ(x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －1－ln x 1＋x －1ln x ＋x 2－ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －1x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －12＋x －1－ln x1＋x －1， 则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝－e (e －2)1＋e －1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫e －21＋e －12＜0， 故存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0，令a 0＝x 0－1－ln x 01＋x －10，u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)， 由u ′(x )＝1－1x ≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以0＝u (1)1＋1＜u (x 0)1＋x －10＝a 0＜u (e )1＋e －1＝e －21＋e －1＜1， 即a 0∈(0,1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0， 由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0， 所以，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立， 且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。

单元质检三 导数及其应用分) ,每小题5分,共60分)1.一个物体的运动方程为s=1-t+t 2,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒 答案:C解析:依据瞬时速度的意义,可得3 s 末的瞬时速度是v=s'|t=3=(-1+2t )|t=3=5. 2.已知函数f (x )=ln x-x ,则函数f (x )的单调递减区间是( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(-∞,0),(1,+∞) D.(1,+∞) 答案:D解析:由f (x )=ln x-x ,得f'(x )=1x -1.令f'(x )=1x -1<0,又x>0,解得x>1.3.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为( )A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2答案:A解析:∵y'=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2,∴曲线在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为y'|x=-1=2(-1+2)2=2.∴切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.若函数y=e x +mx 有极值,则实数m 的取值范围是( ) A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 答案:B解析:求导得y'=e x +m ,由于e x >0,若y=e x +mx 有极值则必需使y'的值有正有负,故m<0. 5.函数f (x )=x 2+x-ln x 的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A解析:由f'(x )=2x+1-1x =2x 2+x -1x=0, 得x=12或x=-1(舍去). 当0<x<12时,f'(x )<0,f (x )递减;当x>12时,f'(x )>0,f (x )递增.则f (12)=34+ln 2>0为f (x )的最小值,所以无零点.6.设点P 在曲线y=12e x 上,点Q 在曲线y=ln(2x )上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln 2B.√2(1-ln 2)C.1+ln 2D.√2(1+ln 2)〚导学号92950627〛答案:B解析:由题意知函数y=12e x 与y=ln(2x )互为反函数,其图像关于直线y=x 对称,两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=12e x 最小距离的2倍,设y=12e x 上点(x 0,y 0)处的切线与y=x 平行,有12e x 0=1,x 0=ln 2,y 0=1,∴y=x 与y=12e x 的最小距离是√22(1-ln 2),∴|PQ|的最小值为√22(1-ln 2)×2=√2(1-ln 2).7.设f (x )是定义在R 上的函数,其导函数为f'(x ),若f (x )+f'(x )>1,f (0)=2 015,则不等式e x f (x )>e x +2 014(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A.(2 014,+∞) B.(-∞,0)∪(2 014,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(0,+∞)答案:D解析:设g (x )=e x f (x )-e x (x ∈R ),则g'(x )=e x f (x )+e x f'(x )-e x =e x [f (x )+f'(x )-1]. ∵f (x )+f'(x )>1,∴f (x )+f'(x )-1>0,∴g'(x )>0, ∴y=g (x )在定义域上单调递增. ∵e x f (x )>e x +2 014,∴g (x )>2 014. 又∵g (0)=e 0f (0)-e 0=2 015-1=2 014, ∴g (x )>g (0),∴x>0.8.(2021太原一模)已知函数f (x )=ln x+tan α(0<α<π2)的导函数为f'(x ),若方程f'(x )=f (x )的根x 0小于1,则α的取值范围为( ) A.(π4,π2)B.(0,π3)C.(π6,π4)D.(0,π4)答案:A解析:∵f (x )=ln x+tan α,∴f'(x )=1x ,令f (x )=f'(x ),得ln x+tan α=1x,即tan α=1x-ln x.设g (x )=1x -ln x ,明显g (x )在(0,+∞)上单调递减,而当x →0时,g (x )→+∞,∴要使满足f'(x )=f (x )的根x 0<1,只需tan α>g (1)=1,又∵0<α<π2,∴α∈(π4,π2).9.设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x )g (x )+f (x )g'(x )>0,且g (3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 答案:D解析:∵当x<0时,f'(x )g (x )+f (x )·g'(x )>0,即[f (x )g (x )]'>0,∴当x<0时,f (x )g (x )为增函数,又g (x )是偶函数且g (3)=0,∴g (-3)=0, ∴f (-3)g (-3)=0.故当x<-3时,f (x )g (x )<0;由于f (x )g (x )是奇函数,所以当x>0时,f (x )g (x )为增函数,且f (3)g (3)=0,故当0<x<3时,f (x )g (x )<0. 10.(2021浙江温州十校月考)已知f (x )是可导的函数,且f'(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立,则( ) A.f (1)<e f (0),f (2 014)>e 2 014f (0) B.f (1)>e f (0),f (2 014)>e 2 014f (0) C.f (1)>e f (0),f (2 014)<e 2 014f (0) D.f (1)<e f (0),f (2 014)<e 2 014f (0) 答案:D解析:令g (x )=f (x )e x ,则g'(x )=[f (x )e x ]'=f '(x )e x -f (x )(e x )'e 2x =f '(x )-f (x )e x<0, 所以函数g (x )=f (x )e x 在R 上是单调减函数,所以g (1)<g (0),g (2 014)<g (0),即f (1)e 1<f (0)1,f (2 014)e 2 014<f (0)1, 故f (1)<e f (0),f (2 014)<e 2 014f (0).11.(2021福州质量检测)若函数f (x )=x 33−a2x 2+x+1在区间(12,3)上有极值点,则实数a 的取值范围是( )A.(2,52)B.[2,52)C.(2,103)D.[2,103) 答案:C 解析:若f (x )=x 33−a 2x 2+x+1在区间(12,3)上有极值点,则f'(x )=x 2-ax+1在区间(12,3)内有零点,且零点不是f'(x )的图像顶点的横坐标, 由x 2-ax+1=0,得a=x+1x ,由于x ∈(12,3),y=x+1x 的值域是[2,103), 当a=2时,f'(x )=x 2-2x+1=(x-1)2,不合题意. 所以实数a 的取值范围是(2,103),故选C . 12.已知函数f (x )=ln x-14x+34x -1,g (x )=x 2-2bx+4,若对任意x 1∈(0,2),存在x 2∈[1,2],使f (x 1)≥g (x 2),则实数b 的取值范围是( )A.(2,178] B.[1,+∞) C.[178,+∞) D.[2,+∞)〚导学号92950628〛答案:C解析:f'(x )=-(x -1)(x -3)4x 2,令f'(x )=0得x 1=1,x 2=3∉(0,2).当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减; 当x ∈(1,2)时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 所以f (x )在(0,2)上的最小值为f (1)=-12.由于“对任意x 1∈(0,2),存在x 2∈[1,2],使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“g (x )在[1,2]上的最小值不大于f (x )在(0,2)上的最小值-12”.(*)又g (x )=(x-b )2+4-b 2,x ∈[1,2],所以①当b<1时,由于[g (x )]min =g (1)=5-2b>0,此时与(*)冲突; ②当b ∈[1,2]时,由于[g (x )]min =4-b 2≥0,此时与(*)冲突; ③当b ∈(2,+∞)时,由于[g (x )]min =g (2)=8-4b ,解不等式8-4b ≤-12,可得b ≥178. 综上,b 的取值范围是[178,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线y=x 3+3x 2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为 . 答案:3x-y-2=0解析:y'=3x 2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y'min =3;当x=-1时,y=-5.∴切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.14.(2021北京海淀一模)函数y=x-x 2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积等于 . 答案:16解析:由x-x 2=0,得x=0或x=1.因此,所围成的封闭图形的面积为∫ 10(x-x 2)d x=(x 22-x 33)|01=12−13=16.15.已知a ≤1-xx +ln x 对于x ∈[12,2]恒成立,则a 的最大值为 . 答案:0解析:设f (x )=1-x x +ln x ,则f'(x )=-x+x -1x 2+1x =x -1x 2,当x ∈[12,1)时,f'(x )<0,故函数f (x )在[12,1)上单调递减;当x ∈(1,2]时,f'(x )>0,故函数f (x )在(1,2]上单调递增,∴f (x )min =f (1)=0,∴a ≤0,即a 的最大值为0.16.已知f (x )=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值为10,则a+b= . 〚导学号92950629〛答案:-7解析:f'(x )=3x 2+2ax+b ,由x=1时,函数取得极值10,得{f '(1)=3+2a +b =0,f (1)=1+a +b +a 2=10,①②联立①②得{a =4,b =-11,或{a =-3,b =3.当a=4,b=-11时,f'(x )=3x 2+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1两侧的符号相反,符合题意;当a=-3,b=3时,f'(x )=3(x-1)2在x=1两侧的符号相同,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.∴a+b=-7. 三、解答题(本大题共5小题,共70分) 17.(14分)设函数f (x )=6x 3+3(a+2)x 2+2ax.(1)若f (x )的两个极值点为x 1,x 2,且x 1x 2=1,求实数a 的值;(2)是否存在实数a ,使得f (x )是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由. 解:(1)f'(x )=18x 2+6(a+2)x+2a.由已知有f'(x 1)=f'(x 2)=0,从而x 1x 2=2a18=1,所以a=9.(2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a 2+4)>0,所以不存在实数a ,使得f (x )是(-∞,+∞)上的单调函数. 〚导学号92950630〛 18.(14分)(2021河南安阳一中月考)已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x>0时,x 2<e x .(1)解:由f (x )=e x -ax ,得f'(x )=e x -a ,又f'(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f (x )=e x -2x ,f'(x )=e x -2. 令f'(x )=0,得x=ln 2,当x<ln 2时,f'(x )<0,f (x )单调递减, 当x>ln 2时,f'(x )>0,f (x )单调递增,所以当x=ln 2时,f (x )取得微小值,微小值为f (ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4.f (x )无极大值. (2)证明:令g (x )=e x -x 2,则g'(x )=e x -2x.由(1)得g'(x )=f (x )≥f (ln 2)=2-ln 4>0, 故g (x )在R 上单调递增,又g (0)=1>0,所以当x>0,g (x )>g (0)>0,x 2<e x . 〚导学号92950631〛19.(14分)(2021重庆,理20)设函数f (x )=3x 2+axe x(a ∈R ). (1)若f (x )在x=0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=(6x+a )e x -(3x 2+ax )e x(e x )2=-3x 2+(6-a )x+ae x.由于f (x )在x=0处取得极值, 所以f'(0)=0,即a=0. 当a=0时,f (x )=3x 2e x ,f'(x )=-3x 2+6xe x, 故f (1)=3e ,f'(1)=3e ,从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-3e =3e (x-1),化简得3x-e y=0. (2)由(1)知f'(x )=-3x 2+(6-a )x+a e x.令g (x )=-3x 2+(6-a )x+a , 由g (x )=0解得x 1=6-a -√a 2+366, x 2=6-a+√a 2+366. 当x<x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数; 当x 1<x<x 2时,g (x )>0,即f'(x )>0,故f (x )为增函数; 当x>x 2时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数. 由f (x )在[3,+∞)上为减函数,知x 2=6-a+√a 2+366≤3,解得a ≥-92,故a 的取值范围为[-92,+∞).〚导学号92950632〛20.(14分)已知函数f (x )=e x -x 2+a ,x ∈R 的图像在点x=0处的切线为y=bx.(e ≈2.718 28) (1)求函数f (x )的解析式;(2)当x ∈R 时,求证:f (x )≥-x 2+x ;(3)若f (x )>kx 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立,求实数k 的取值范围. (1)解:∵f (x )=e x -x 2+a ,∴f'(x )=e x -2x.由已知{f (0)=1+a =0,f '(0)=1=b ⇒{a =-1,b =1.∴函数f (x )的解析式为f (x )=e x -x 2-1. (2)证明:令φ(x )=f (x )+x 2-x=e x -x-1,φ'(x )=e x -1.由φ'(x )=0,得x=0.当x ∈(-∞,0)时,φ'(x )<0,φ(x )单调递减; 当x ∈(0,+∞)时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增. ∴φ(x )min =φ(0)=0,从而f (x )≥-x 2+x. (3)解:f (x )>kx 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立⇔f (x )x>k 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立,令g (x )=f (x )x,x>0, 则g'(0)=xf '(x )-f (x )x 2=x (e x -2x )-(e x -x 2-1)x 2=(x -1)(e x -x -1)x 2.由(2)可知当x ∈(0,+∞)时,e x -x-1>0恒成立,由g'(x )>0,得x>1;由g'(x )<0,得0<x<1. 故g (x )的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1), 即g (x )min =g (1)=e -2. ∴k<g (x )min =g (1)=e -2,即实数k 的取值范围为(-∞,e -2). 〚导学号92950633〛 21.(14分)(2021广东,理19)设a>1,函数f (x )=(1+x 2)e x -a. (1)求f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x )在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:m ≤√a -2e 3-1.解:(1)由题意可知函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=(1+x 2)'e x +(1+x 2)·(e x )'=(1+x )2e x ≥0,故函数f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)∵a>1,∴f (0)=1-a<0,且f (a )=(1+a 2)e a -a>1+a 2-a>2a-a=a>0. ∴函数f (x )在区间(0,a )上存在零点.又由(1)知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴函数f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点. (3)由(1)及f'(x )=0,得x=-1.又f (-1)=2e -a ,即P (-1,2e -a),∴k OP =2e -a -0-1-0=a-2e .又f'(m )=(1+m )2e m ,∴(1+m )2e m =a-2e . 令g (m )=e m -m-1,则g'(m )=e m -1,∴由g'(m )>0,得m>0,由g'(m )<0,得m<0.∴函数g (m )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴g (m )min =g (0)=0,即g (m )≥0在R 上恒成立, 即e m ≥m+1.∴a-2e =(1+m )2e m ≥(1+m )2(1+m )=(1+m )3,即√a -2e 3≥1+m.故m ≤√a -2e 3-1. 〚导学号92950634〛。

全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”．2．考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中．(2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题．3．备考策略(1)熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题．(2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用．第一节导数的概念及运算[考点要求] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(对应学生用书第44页)1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0). 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x ).3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)函数f (x )＝sin (－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×二、教材改编1．函数y＝x cos x－sin x的导数为()A．x sin x B．－x sin xC．x cos x D．－x cos xB[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x．]2．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．－3C．9 D．15C[因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0，得y＝9.故选C.]3．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为()A B C DB[由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.]4．[一题两空]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v＝______m/s，加速度a＝_______m/s2.－9.8t＋6.5－9.8[v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.](对应学生用书第45页)考点1导数的计算(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．已知函数解析式求函数的导数求下列各函数的导数：(1)y ＝x 2x ；(2)y ＝tan x ； (3)y ＝2sin 2x2－1.[解] (1)先变形：y ＝2x 32，再求导：y ′＝(2x 32)′＝322x 12．(2)先变形：y ＝sin xcos x ，再求导：y ′＝(sin x cos x )′＝（sin x ）′·cos x －sin x ·（cos x ）′cos 2x ＝1cos 2x .(3)先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－(cos x )′＝－(－sin x )＝sin x ．[逆向问题] 已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝________． 1 [因为f (x )＝x (2 017＋ln x )，所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.]求导之前先对函数进行化简减少运算量．如本例(1)(3). 抽象函数求导已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________． －4 [∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.]赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f ′(x )，最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′(x )求解即可．1.已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________． e [由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x ，则f ′(1)＝e.]2．[一题两空]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(1)＝________，f ′(2)＝________．－2 －94 [因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.]3．求下列函数的导数 (1)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝ln xx 2＋1； (3)y ＝ln 2x －12x ＋1.[解] (1)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(2)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2. (3)y ′＝(ln2x －12x ＋1)′＝[ln (2x －1)－ln (2x ＋1)]′＝[ln (2x －1)]′－[ln (2x ＋1)]′ ＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′ ＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1. 考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0).(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可．求切线方程(1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________． (2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．(1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 [(1)∵y ′＝3(x 2＋3x ＋1)e x ，∴曲线在点(0，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点(0，0)处的切线方程为y ＝3x .(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.](1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别．如本例(1)是“在点(0，0)”，本例(2)是“过点(0，－1)”，要注意二者的区别．求切点坐标(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(e ，1) [设A (x 0，y 0)，由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0).因为切线经过点(－e ，－1)， 所以－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0).所以ln x 0＝ex 0，令g (x )＝ln x －ex (x ＞0)， 则g ′(x )＝1x ＋ex 2，则g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数． 又g (e)＝0，∴ln x ＝ex 有唯一解x ＝e.∴x 0＝e.∴点A 的坐标为(e ，1).]f ′(x )＝k (k 为切线斜率)的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键．求参数的值(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________．(1)D (2)－2 [(1)∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴2＝a e ＋1，∴a ＝e －1.∴切点为(1，1)，将(1，1)代入y ＝2x ＋b ，得1＝2＋b ， ∴b ＝－1，故选D.(2)∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， ∴m ＝－2.]已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围．导数与函数图象(1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()A BC D(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．(1)B(2)0[(1)由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×(－13)＝0.]函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图象升降的快慢．1.曲线f(x)＝e xx－1在x＝0处的切线方程为________．2x＋y＋1＝0[根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝（x－1）（e x）′－e x（x－1）′（x－1）2＝（x－2）e x（x－1）2，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝（0－2）e 0（0－1）2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.]2．(2019·大同模拟)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1，0)的切线方程是________． y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 [设切点坐标为(x 0，x 20)， ∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)， 解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.]3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________． 1 [由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.]。