2016_2017学年高中数学第1章三角函数1.2.3.1三角函数的诱导公式一～四学案

第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)[基础²初探]教材整理1 诱导公式(一)阅读教材P 18“公式一”的有关内容，完成下列问题． 终边相同的角的诱导公式(公式一)： sin(α＋2k π)＝sin_α(k ∈Z )； cos(α＋2k π)＝cos_α(k ∈Z )； tan(α＋2k π)＝tan_α(k ∈Z )．(1)sin 25π6＝________；(2)cos 9π4＝________；(3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝________. 【解析】 (1)sin 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12. (2)cos 9π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝cos π4＝22.(3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π4＝tan π4＝1.【答案】 (1)12 (2)22 (3)1教材整理2 诱导公式(二)阅读教材P 18“公式二”的有关内容，完成下列问题． 终边关于x 轴对称的角的诱导公式(公式二)： sin(－α)＝－sin_α； cos(－α)＝cos_α； tan(－α)＝－tan_α.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝________；(2)cos 330°＝________； (3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝________. 【解析】 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝32. (3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4＝－1.【答案】 (1)－32 (2)32(3)－1 教材整理3 诱导公式(三)阅读教材P 19“公式三”的有关内容，完成下列问题． 终边关于y 轴对称的角的诱导公式(公式三)： sin(π－α)＝sin_α； cos(π－α)＝－cos_α； tan(π－α)＝－tan_α.(1)sin 5π6＝________；(2)cos 34π＝________；(3)tan 1 560°＝________.【解析】 (1)sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12.(2)cos 3π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos π4＝－22.(3)tan(4³360°＋120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.【答案】 (1)12 (2)－22(3)－ 3教材整理4 诱导公式(四)阅读教材P 19“公式四”的有关内容，完成下列问题． 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)： sin(π＋α)＝－sin_α； cos(π＋α)＝－cos_α； tan(π＋α)＝tan_α.(1)sin 225°＝________；(2)cos 7π6＝________；(3)tan 10π3＝________.【解析】 (1)sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. (2)cos 7π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. (3)tan 10π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.【答案】 (1)－22 (2)－32(3) 3 [质疑²手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)sin 4π3²cos 19π6²tan 21π4；(2)cos(－2 640°)＋sin 1 665°； (3)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 【导学号：06460012】【精彩点拨】 利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数，再求值． 【自主解答】 (1)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6²tan ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋5π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4 ＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎫tan π4＝－32³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³1＝34. (2)原式＝cos[240°＋(－8)³360°]＋sin(225°＋4³360°)＝cos 240°＋sin 225°＝cos(180°＋60°)＋sin(180°＋45°) ＝－cos 60°－sin 45°＝－1＋22.(3)原式＝1＋2sin －70°＋360° cos 70°＋360°sin 180°＋70° ＋cos 70°＋2³360°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝ sin 70°－cos 70° 2cos 70°－sin 70°＝sin 70°－co s 70°cos 70°－sin 70°＝－1.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：[再练一题]1．求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)．【解】 (1)sin 1 320°＝sin(4³360°－120°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°) ＝－sin 60°＝－32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2³360°)＝－tan 225° ＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.(1)cos π＋α ²sin α＋2πsin －α－π ²cos －π－α ； (2)cos 190°²sin －210° cos －350° ²tan －585°. 【精彩点拨】 利用诱导公式一，二，四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．【自主解答】 (1)原式＝ －cos α ²sin α－sin α＋π ²cos π＋α＝－cos α²sin αsin α² －cos α＝1.(2)原式＝cos 190°² －sin 210°cos 350°² －tan 585°＝cos 180°＋10° ²sin 180°＋30°cos 360°－10° ²tan 360°＋225°＝ －cos 10° ² －sin 30°cos 10°²tan 225°＝sin 30°tan 180°＋45° ＝sin 30°tan 45°＝12.1．三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． 2．含有k π＋α的三角函数式的化简：用诱导公式进行化简，碰到k π＋α的形式时，常对k 分奇数、偶数进行讨论，其目的在于将不符合诱导公式条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的目的．[再练一题] 2.sin k π－α cos[ k －1 π－α]sin[ k ＋1 π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )．【解】 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin 2n π－α cos[ 2n －1 π－α]sin[ 2n ＋1 π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α ²cos －π－αsin π＋α ²cos α＝－sin α² －cos α－sin α²cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， 原式＝sin[ 2n ＋1 π－α]²cos[ 2n ＋1－1 π－α]sin[ 2n ＋1＋1 π＋α]²cos[ 2n ＋1 π＋α]＝sin π－α ²cos αsin α²cos π＋α ＝sin α²cos αsin α² －cos α＝－1.综上，原式＝－1.[探究共研型]探究 1 “αα－15°表示“165°＋α”吗？【提示】 由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)．探究2 若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？【提示】 由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15)°＝－1.求值．(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－12，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3的值．(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋α的值．【精彩点拨】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝2π；(2)⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π.【自主解答】 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝2π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－12. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.[再练一题]3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2α－π6的值．【解】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝⎝⎛⎭⎪⎫332－33－1＝－2＋33. [构建²体系]1．sin 585°＝________.【解析】 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 【答案】 －222．tan 23π6＝________.【解析】 tan 23π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－tan π6＝－33.【答案】 －333．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1＝________. 【解析】 原式＝sin 2α＋cos α²cos α＋1 ＝1＋1＝2. 【答案】 24．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝________. 【解析】 原式＝(－sin α)²(－cos α)²tan α ＝sin 2α. 【答案】 sin 2α5．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，求cos(α－2π)的值.【导学号：06460013】【解】 ∵sin(π＋α)＝35，∴sin α＝－35，又α是第四象限角， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， ∴cos(α－2π)＝cos α＝45.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(五) 三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝12. 【答案】 122．若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________. 【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＝－π6，tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33. 【答案】 －333．(2016²南京高一检测)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________.【解析】 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35.【答案】 354．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为________． 【解析】 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.【答案】325．设tan(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z )，则sin α－3π ＋cos π－αsin －α －cos π＋α 的值为________．【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m ，原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.【答案】 m ＋1m －16．已知f (x )＝sin x ，下列式子中成立的是________(填序号)．①f (x ＋π)＝sin x ；②f (2π－x )＝sin x ；③f (－x )＝－sin x ；④f (π－x )＝f (x )．【解析】 正确的是③④，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．【答案】 ③④7．tan 300°＋sin 450°＝________.【解析】 tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3.【答案】 1－ 38．(2016²苏州高一检测)若cos 100°＝k ，则tan 80°的值为________.【导学号：06460014】【解析】 cos 80°＝－cos 100°＝－k ，且k ＜0.于是sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，从而tan 80°＝－1－k 2k . 【答案】 －1－k 2k二、解答题9．若cos(α－π)＝－23， 求sin α－2π ＋sin －α－3π cos α－3π cos π－α －cos －π－α cos α－4π 的值． 【解】 原式＝－sin 2π－α －sin 3π＋α cos 3π－α －cos α－ －cos α cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α 1－cos α －cos α 1－cos α＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23，∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 10．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0， ∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6， ∴C ＝712π. [能力提升]1．(2016²盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________．【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.【答案】 3102．(2016²南通高一检测)已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为________．【解析】 由于tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，又tan 600°＝－3a， ∴3＝－3a，即a ＝－ 3. 【答案】 － 33．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α＝________. 【解析】 cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－15，① ∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425<0， 又∵sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925， ∴sin α－cos α＝75，② 由①②得sin α＝35，cos α＝－45， ∴tan α＝－34. 【答案】 －344．已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π＜α＜7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值． 【解】 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根， 所以tan α²1tan α＝13³(3k 2－13)＝1， 可得k 2＝163.因为3π＜α＜7π2，所以tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ，所以k ＞0，故k ＝433，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝34，所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2³34＝2＋32.因为cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－3＋12，所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋12.。