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线性规划知识点总结一、概述线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用z表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或者不等式，这些等式或者不等式称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的变量是决策问题中需要确定的值，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将不等式约束转化为等式约束来转化为标准形式，标准形式的线性规划问题如下：最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；aᵢₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ...,bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为变量。
四、解法线性规划问题的解法主要有下列两种方法：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到可行域和最优解。
2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。
单纯形法是一种高效的算法，广泛应用于实际问题中。
五、常见应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定最佳的资源分配方案，以最大化效益或者最小化浪费。
线性规划知识点总结标题：线性规划知识点总结引言概述：线性规划是运筹学中的一种最基本的数学规划方法，广泛应用于生产、运输、金融等领域。
通过线性规划，可以优化资源分配，最大化利润或者最小化成本。
本文将对线性规划的基本概念、线性规划模型、解决方法、应用领域和优缺点进行总结。
一、基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或者最小值的决策变量的取值。
1.2 决策变量和目标函数：线性规划中，决策变量是需要确定的未知数，而目标函数则是需要优化的目标，通常是最大化利润或者最小化成本。
1.3 约束条件：线性规划模型中的约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束或者不等式约束，用来限制决策变量的取值范围。
二、线性规划模型2.1 标准形式和非标准形式：线性规划模型可以分为标准形式和非标准形式，标准形式要求目标函数是最小化形式，约束条件是等式约束；非标准形式则没有这些限制。
2.2 线性规划的矩阵形式：线性规划可以用矩阵形式表示，目标函数和约束条件可以用矩阵的乘法来表示，这样可以简化问题的求解过程。
2.3 整数规划和混合整数规划：在实际应用中，有时需要考虑变量的取值只能是整数的情况，这时就需要用到整数规划或者混合整数规划。
三、解决方法3.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题的经典方法，通过不断挪移顶点来找到最优解，是一种高效的求解方法。
3.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。
3.3 整数规划的分支定界法：对于整数规划问题，可以采用分支定界法来求解，通过不断分支和剪枝来逐步逼近最优解。
四、应用领域4.1 生产计划优化：线性规划可以用来优化生产计划，确定最佳生产量和资源分配，以最大化利润或者最小化成本。
4.2 运输网络优化：在物流领域，线性规划可以用来优化运输网络，确定最佳的运输路径和运输量，以提高运输效率。
原问题求极大值时,对偶问题求极小：
约束条件中是 <= 对偶变量是 >= 相反 约束条件中是 = 对偶变量是 无约束 相反 约束条件中是 >= 对偶变量是 <= 相反 变量条件中是 <= 对偶约束是 <= 相同 变量条件中是 无约束 对偶约束是 = 相反 变量条件中是 >= 对偶约束是 >= 相同 原问题求极小值时,对偶问题求极大：
约束条件中是 <= 对偶变量是 <= 相同 约束条件中是 = 对偶变量是 无约束 相反 约束条件中是 >= 对偶变量是 >= 相同 变量条件中是 >= 对偶约束是 <= 相反 变量条件中是 无约束 对偶约束是= 相反 变量条件中是 <= 对偶约束是 >= 相反 1231231231231231231231231212max min 2523..225..12221,321,00,0x x x y y y s t x x x s t y y y x x x y y y x x x y y y x x y y -++++⎧⎧⎪⎪++≤-+≥-⎪⎪⎪⎪-+-≥⇒+-≥⎨⎨⎪⎪-+=-+=⎪⎪⎪⎪≥≥≤⎩⎩原问题：。
第1篇一、引言运筹学作为一门应用数学分支，广泛应用于经济管理、工程技术、军事决策等领域。
本报告旨在通过运筹学实践教学，验证理论知识在实际问题中的应用效果，提高学生的实践能力和创新能力。
以下是对本次实践教学的总结和反思。
二、实践教学内容1. 线性规划问题本次实践教学选择了线性规划问题作为研究对象。
通过建立线性规划模型，我们尝试解决生产计划、资源分配等实际问题。
- 案例一：生产计划问题某公司生产A、B两种产品，每单位A产品需消耗2小时机器时间和3小时人工时间，每单位B产品需消耗1小时机器时间和2小时人工时间。
公司每天可利用机器时间为8小时，人工时间为10小时。
假设A、B产品的利润分别为50元和30元，请问如何安排生产计划以获得最大利润？- 建模：设A产品生产量为x，B产品生产量为y，目标函数为最大化利润Z = 50x + 30y，约束条件为：\[\begin{cases}2x + y \leq 8 \\3x + 2y \leq 10 \\x, y \geq 0\end{cases}\]- 求解：利用单纯形法求解该线性规划问题，得到最优解为x = 3，y = 2，最大利润为240元。
- 案例二：资源分配问题某项目需要分配三种资源：人力、物力和财力。
人力为50人，物力为100台设备，财力为500万元。
根据项目需求，每种资源的需求量如下：- 人力：研发阶段需20人，生产阶段需30人；- 物力：研发阶段需30台设备，生产阶段需50台设备；- 财力：研发阶段需100万元，生产阶段需200万元。
请问如何合理分配资源以满足项目需求？- 建模：设人力分配量为x，物力分配量为y，财力分配量为z，目标函数为最大化总效用U = x + y + z，约束条件为：\[\begin{cases}x \leq 20 \\y \leq 30 \\z \leq 100 \\x + y + z \leq 500\end{cases}\]- 求解：利用线性规划软件求解该问题，得到最优解为x = 20，y = 30，z = 100，总效用为150。
运筹学lingo实验报告
运筹学lingo实验报告
一、引言
实验目的
本次实验旨在探索运筹学lingo在解决实际问题中的应用，了解lingo的基本使用方法和解题思路。
实验背景
运筹学是一门研究决策和规划的学科，其能够帮助我们优化资源分配、解决最优化问题等。
lingo是一种常用的运筹学工具，具有强大的求解能力和用户友好的界面，被广泛应用于各个领域。
二、实验步骤
准备工作
•安装lingo软件并激活
•熟悉lingo界面和基本功能
确定问题
•选择一个运筹学问题作为实验对象，例如线性规划、整数规划、网络流等问题
•根据实际问题，使用lingo的建模语言描述问题，并设置变量、约束条件和目标函数
运行模型
•利用lingo的求解器，运行模型得到结果
结果分析
•分析模型求解结果的合理性和优劣，对于不符合要求的结果进行调整和优化
结论
•根据实验结果，总结lingo在解决该问题中的应用效果和局限性，对于其他类似问题的解决提出建议和改进方案
三、实验总结
实验收获
•通过本次实验，我熟悉了lingo软件的基本使用方法和建模语言，增加了运筹学领域的知识和实践经验。
实验不足
•由于时间和条件的限制，本次实验仅涉及了基本的lingo应用，对于一些复杂问题的解决还需要进一步学习和实践。
•在以后的学习中，我将继续深入研究lingo的高级功能和应用场景，以提升运筹学问题的求解能力。
以上就是本次实验的相关报告内容，通过实验的实践和总结，我对lingo在运筹学中的应用有了更深入的理解，为今后的学习和研究奠定了基础。
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
运筹学方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII一．线性规划1.问题背景：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题2.求解方法：a.单纯形法：适用的问题：约束条件全部为≤，右边常数全部为非负，对目标函数的系数没有要求。
min z=3x1-2x2s.t. x1+2x2≤122x1+ x2≤18x1,x2≥0求解步骤：STEP 0 将线性规划问题标准化STEP 1 是否有明显的初始基础可行解，如果有，转STEP 3，否则，转STEP 2。
STEP 2 构造辅助问题，用两阶段法求解辅助问题。
如果辅助问题最优解的目标函数值大于0，原问题无可行解，算法终止。
否则转STEP 3。
STEP 3 写出单纯形表，将基变量在约束条件中的系数消为单位矩阵，将基变量在目标函数中的系数消为0。
转STEP 4。
STEP 4 如果所有非基变量的检验数全为负数或0，则已获得最优解，算法终止。
否则，选择检验数为正数并且绝对值最大的非基变量为进基变量。
转STEP 5。
STEP 5 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，目标函数无界，算法终止。
否则根据右边常数和正的系数的最小比值，确定离基变量。
转STEP 6。
STEP 6 进基变量列和离基变量行交叉的元素称为主元。
对单纯形表进行行变换，将主元变为1，将主元所在列的其他元素变为0。
转STEP 4。
b.对偶单纯形法：适用的问题:约束条件中至少有一个是≥，相应的右边常数为非负，目标函数系数全部为非负。
min z=3x1+2x2s.t. x1+2x2≥122x1+ x2≤18x1,x2≥0求解步骤：步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验数，即是对偶可行解，建立初始单纯形表。
步骤2 检查基变量的取值，若≥0，则已得最优解，计算停；否则求确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。
步骤3 若所有,则原问题无可行解，计算停；否则，计算确定对应的为旋入变量。
步骤4 以为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表，转步骤2。
可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行解。
二．运输问题1.问题背景：一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。
2.求解方法:a.表上作业法:方法描述：表上作业法是一种求解运输问题的特殊的方法，其实质是单纯形法，它针对运输问题变量多,结构独特的情况，大大简化了计算过程的求解方法求解步骤：1．找出初始基本可行解2. 求各非基变量的检验数，即在表上计算除了上述的m+n-1个数字格以外的空格的检验数判别是否达到最优解,如已是最优解，则停止计算,否则转到下一步。
在运输问题中都存在最优解。
3. 确定入基变量与出基变量，找出新的基本可行解。
在表上用闭回路法调整。
4. 重复2、3直至得到最优解。
三．目标规划1.问题背景：目标规划（Goal programming）目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。
2.求解方法：a.约束法：方法描述：在多个目标函数中选择一个主要目标作为基本思想：基本思想目标函数，其它目标处理为适当的约束。
目标函数，其它目标处理为适当的约束。
求解步骤：min f1 ( x) ~ ( P)s.t. g i ( x) ≥ 0, i = 1,2, L, m f j ( x) ≤ f j ( x ( 0 ) ), j = 2,3, L, p 第一步：（1）对 j = 1,2, L, p，min f j ( x) (VPj )s.t. x ∈ S，求解单目标问题第二步：选择整数r>1，确定0 jt，f j0的r个不同阀值第三步：对t = 0,1,L, r − 1 ，分别求解问题：min f k ( x) ( Pt j )s.t. g i ( x) ≥ 0, i = 1,2, L, m f j ( x) − f jt j ≤0, j = 1, L, k − 1, k + 1,L, p) 各目标函数 f ( j ≠ k ) 可对应不同的t (t = 0,1,L, r − 1（共有r p −1 个约束问题）。
求解后可得到(VP)的一有效解集合，是(VP)有效解集合的一个子集。
为主目标。
b.分层序列法：求解步骤：1. 把(VP)中的p个目标 f ( x ), L , f ( x ) 按其重要程度排一次序。
依次求单目标规划的最优解。
2．2. 过程：无妨设其次序为 f1 , f 2 , L , f p 先求解四．整数规划问题背景：规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划求解方法：a.割平面法：方法描述：通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域，使它在不断缩小的过程中，将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置，这样就有可能用单纯形法求出。
求解步骤：第一步：用单纯形法解松弛问题，得到最优单纯形表。
第二步：求一个割平面方程，加到最优单纯形表中，用对偶单纯形法继续求解。
第三步：若没有得到整数最优解，则继续作割平面方程，转第二步。
b.匈牙利法：方法描述：在现实生活中，有各种性质的指派问题(assignment problem)。
指派问题也是整数规划的一类重要问题。
例如：有n项工作需要分配给n个人(或部门)来完成；有n项合同需要选择n个投标者来承包；有n个班级需要安排在各教室上课等。
诸如此类问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。
求解步骤：第一步：变换效率矩阵，使指派问题的系数矩阵经过变换，在各行各列中都出现0元素。
具体作法是：先将效率矩阵的各行减去该行的最小非0元素，再从所得系数矩阵中减去该列的最小非0元素。
这样得到的新矩阵中，每行每列都必然出现零元素。
第二步：用圈0法求出矩阵C1中的独立零元素。
经第一步变换后，系数矩阵中每行每列都已有了独立零元素；但需要找出n个独立的0元素。
若能找出，就以这些独立0元素对应的决策变量矩阵中的元素为1，其余为0，就得到了最优解。
当n较小时，可用观察法、试探法去找出n个独立0元素；若n较大时，就必须按照一定的步骤去找，常用的步骤为：(1) 从只有一个0元素的行(或列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。
这表示对这行所代表的人，只有一种任务可指派，然后划去◎所在列(行)的其他元素，记作ф，这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。
(2) 给只有一个0元素列(行的) 0元素加圈，记作◎。
然后划去◎所在行(列)的其他元素，记作ф。
(3) 反复进行(1),(2)两步，直到每一列都没有未被标记的0元素或至少有两个未被标记的0元素时止。
第三步：进行试指派若情况(1)出现，则可进行指派：令圈0位置的决策变量取值为1，其它决策变量的取值均为0，得到一个最优指派方案，停止计算。
本例中得到C2后，出现了情况(1)，可令x14=x22=x31=x43=1,其余xij=0。
即为最佳指派方案。
若情况(2)出现，则再对每行，每列中有两个未被标记过的0元素任选一个，加上标记，即圈上该0元素。
然后给同行、同列的其他未被标记的0元素加标记“×”。
然后再进行行、列检验，可能出现(1)或(3)。
若出现(3)，则要转入下一步。
第四步：作最少直线覆盖当前所有的0元素（以例题说明）五．动态规划问题背景：动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
求解方法：a.分支定界法：方法描述：对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。
通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。
在每次分枝后，凡是界限不优于已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。
这就是分枝定界法的主要思路。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
在二十世纪六十年代初由Land Doig和Dakin等人提出。
由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
求解步骤：（i）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划（ii）记作 z, 即 0 ≤ z * ≤ 356. （ii）因为 x1 , x2 当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。
设选 x1 进行分枝，把可行集分成 2个子集（iii）对问题B1再进行分枝得问题B11和B12（iv）对问题B2再进行分枝得问题 B21和B22,它们的最优解为（v）将 B22 无可行解。
B21 , B22 剪枝。
于是可以断定原问题的最优解六．最短路径问题背景：最短路问题就是在一个网络图中，给定一个起点，要求其到另一顶点的权数最小的距离。
最短路问题在实际生活中具有广泛的应用，如管道铺设、线路选择等问题，还有些如设备更新、投资等问题也都可以归结为求最短路问题。
a.最短路的矩阵算法：方法描述：最短路的矩阵算法（适用于所有权非负的情况）最短路的矩阵算法是将图表示成是矩阵形式，然后利用矩阵表计算出最短路。
矩阵算法的原理与Dijkstra 算法标号算法完全相同，只是它采用了矩阵形式，显得更为简洁，有利于计算机计算。
下面先介绍图的矩阵表示。
（1）图的矩阵表示无权图矩阵表示：两顶点之间有边相连的记为“1”，无边相连的记为“0”，对角线上记为“0”。
所得到的矩阵一定是对阵矩阵。
赋权无向图矩阵表示：两顶点之间有边相连的，写上它们的权数，无边相连的记为“∞”，对角线上记为 0。
所得到的矩阵也一定是对阵矩阵。
方法步骤：第一步：在已标号的第一行中找最小的元素a13=1,将其圈起来，将其所在的第三列划去，给第三行标号第二步:类似的第二步，第三步，第四步均可由算法的步骤③得矩阵B、C、D。
