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初中数学竞赛定理大全

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.. . … . word. … 欧拉（Euler）线： 同一三角形的 垂心、 重心、 外心三点共线，这条直线称为三角形的 欧拉线； 且 外心 与 重心的距离等于 垂心 与 重心 距离的 一半。

九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点 与 垂心间线段 的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 .. . …

. word. … 费尔马点： 已知P为锐角△ABC一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小， 这个点P称为△ABC的费尔马点。

海伦（Heron）公式： .. . …

. word. … 塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 .. . …

. word. … 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

尔刚（Gergonne）点: .. . …

. word. … △ABC的切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为尔刚点。

西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。 .. . …

. word. … 黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上， 且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2 B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。 .. . …

. word. … 笛沙格（Desargues）定理： 已知在△ ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O， BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真

摩莱（Morley）三角形： 在已知△ABC三角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形， 这个正三角形称为摩莱三角形。 .. . …

. word. … 帕斯卡（Paskal）定理： 已知圆接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线。

托勒密（Ptolemy）定理： 在圆接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD （任意四边形都可！哇哈哈） .. . …

. word. … 斯图尔特（Stewart）定理： 设P为△ABC边BC上一点，且BP：PC＝n：m，则 m·(AB2)＋n·(AC2)＝m·(BP2 )＋n·(PC2)＋（m＋n）(AP2)

梅劳斯定理： 在△ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线 截于点X、Y、Z，则(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝1 .. . …

. word. … 阿波罗尼斯（Apollonius）圆 一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的

轨迹，是以定比m:n分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。 .. . …

. word. … 布拉美古塔（Brahmagupta）定理：

在圆接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边。

广勾股定理： 在任一三角形中， (1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍． (2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍． .. . …

. word. … 加法原理：

做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。 比如说：从到有3种方法可以直接到达， 1：火车k1 2：飞机k2 3：轮船k3，那么从-的方法N = k1+k2+k3

乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n个步骤， 做第一 步有m1种不同的方法， 做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有m·n不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3…mn 种不同的方法.

正弦定理 .. . … . word. … 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）

这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （R为三角形外接圆半径） 余弦定理： 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a, b, c 三角为A,B,C ，则满足性质：

a2=b2+c2-2bc·Cos A b2=a2+c2-2ac·Cos B c2=a2+b2-2ab·Cos C Cos C= (a2+b2-c2)/2ab

Cos B= (a2+c2-b2)/2ac

Cos A= (c^2+b^2-a^2)/2bc

解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y,x(B),y,x(A2211，则2122

12)()(yyxxAB

2、 平行线间距离：若0CByAx:l,0CByAx:l

2211 .. . … . word. … 则：2221BACCd 注意点：x，y对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0CByAx:l),y,x(P

则P到l的距离为：22BACByAxd

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：0)y,x(Fbkxy 消y：0

2cbxax，务必注意.0

若l与曲线交于A),(),,(

2211yxByx

则：2122))(1(xxkAB

5、 若A),(),,(

2211yxByx，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所

成的比为，

则112121yyyxxx ，特别地：=1时，P为AB中点且





222121yyy

xxx

变形后：yyyyxxxx

2121或

6、 若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的角为),0(, .. . …

. word. … 适用围：k1，k2都存在且k1k2－1 ， 21121tankkkk

若l1与l2的夹角为，则tan21211kkkk，]

2,0(

注意：（1）l1到l2的角，指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，围),0( l1到l2的夹角：指 l1、l2相交所成的锐角或直角。 （2）l1l2时，夹角、到角=2。 （3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 .. . …

. word. … 7、 （1）倾斜角，),0(； （2）]0[,，，夹角ba；

（3）直线l与平面]

20[，，的夹角；

（4）l1与l2的夹角为，]20[，，其中l1//l2时夹角=0； （5）二面角,],0(； （6）l1到l2的角)0(，，

8、 直线的倾斜角与斜率k的关系 a) 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tan。

9、 直线l1与直线l2的的平行与垂直

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-初中数学竞赛定理大全

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欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

海伦（Heron）公式：塞瓦（Ceva）定理：在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。

密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（Gergonne）点:△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

帕普斯（Pappus）定理：已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。

笛沙格（Desargues）定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真摩莱（Morley）三角形：在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。

初中数学竞赛定理总结计划大全

初中数学竞赛定理总结计划大全

欧拉（ Euler ）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

九点圆：随意三角形三边的中点，三高的垂足及三极点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点：已知 P 为锐角△ ABC内一点，当∠APB＝∠ BPC＝∠ CPA＝120°时， PA ＋P B＋PC的值最小，这个点 P 称为△ ABC的费尔马点。

海伦（ Heron）公式：塞瓦（ Ceva）定理：在△ ABC中，过△ ABC的极点作订交于一点P 的直线，分别交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA) ·(AF/FB) ＝1；其逆亦真。

密格尔（ Miquel ）点：若 AE、 AF、ED、 FB四条直线订交于 A、B、C、 D、E、F 六点，组成四个三角形，它们是△ABF、△ AED、△ BCE、△ DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（ Gergonne）点 :△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则 AE、 BF、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松（ Simson）线：已知 P 为△ ABC外接圆周上随意一点， PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金切割：把一条线段 (AB) 分红两条线段，使此中较大的线段 (AC)是原线段(AB) 与较小线段 (BC)的比率中项，这样的切割称为黄金切割。

帕普斯（ Pappus）定理：已知点 A 、A 、A 在直线 l1上，已知点 B 、B 、B 在直线 l2上，123123且 A1 B2与 A2 B 1交于点 X，A1B3与 A3B1交于点 Y，A2 B 3于 A3 B2交于点 Z，则 X、Y、Z 三点共线。

初中数学竞赛中常用重要定理

初中数学竞赛中常用重要定理

初中数学竞赛中常用重要定理1、 梅涅劳斯定理：假如在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、 E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：假如在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上 有点D 、E 、F ，且满足FB AF EA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线。

3、 塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、 M ，则1=••PACP NC BN MB AM4、 塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足1=••PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。

5、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。

推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+ 6、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：假如∠1=∠2，则有AC AB DC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ， 则有ACAB DC BD =7、 托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD8、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P9、 正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，则有：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;10、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ， PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线。

初中数学竞赛数论定理

初中数学竞赛数论定理

初中数学竞赛数论定理
初中数学竞赛中常用的数论定理：
1. 质数与因数：任何一个整数都可以唯一分解成若干质数的乘积，而且所有的因子都由这些质因子的指数作出来。

2. 最大公因数和最小公倍数：两个正整数a和b的最大公因数和最小公倍数分别记作gcd(a,b)和lcm(a,b)。

它们有许多重要性质可以应用。

3. 素性质数列：素数可以用许多方式列举出来，例如欧拉函数、Wilson定理、费马小定理等等。

其中一些方法在竞赛中比较常用。

4. 同余定理：如果a和b除以正整数m的余数相同，即
a≡b(mod m)，那么a和b就被称为模m同余。

同余关系具有传递性、对称性和反对称性，可以用来证明各种数学恒等式和不等式。

5. 等比数列：等比数列指的是一个数列中每个数都是前一个数乘以一个固定的比例因子。

一些有用的定理包括调和平均值不小于几何平均值、柯西不等式等等。

6. 解方程：竞赛中常常需要解各种复杂的方程，例如二次方程、方程组、移项变系数、绝对值不等式等等。

有些常见的技巧包括配方法、因式分解、代数恒等式、三角变换等等。