高中数学人教A版选修2-2第三章3.2.2 复数代数的乘除运算【学案】

1 一、教学目标：

１、知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算； 理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质． 过程与方法：

２、过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．

３、情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．

二、重点难点：

重点: 掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．

难点: 复数除法的运算法则．

三、教学过程

【知识链接】

1.复数1z与2z的和的定义：idbcadicbiazz21；

2.复数1z与2z的差的定义：idbcadicbiazz21；

3.复数的加法运算满足交换律:1221zzzz；

4.复数的加法运算满足结合律: 321321zzzzzz；

5.复数Rbabiaz,的共轭复数为biaz.

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设biaz1、dicz2Rdcba,,,是任意两个复数，

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

21zz

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）1221zzzz

（2）321321zzzzzz

（3）3121321zzzzzzz

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《复数代数形式的乘除运算》易错易混题组

易错点1忽略使用判别式的条件

1.已知关于x的方程2220xkixki有实根，求此方程的实根以及k的值.

易错点 实系数一元二次方程根的判别式24bac对复系数一元二次方程没有意义，不能简单套用，在解方程时，对未知数系数要判断准确，解关于方程有实根的问题时，常把实根满足的代数方程转化为复数相等的条件进行解决.

易错点2讨论不彻底致误

2.求复数611nnii的值(其中i为虚数单位).

易错点 在讨论时，要分类明确，且讨论的情形做到不重不漏，所得结果才会无一遗漏.

参考答案

1.

答案：见解析

解析：设0xx是方程的实根，代入方程并整理得2000220xkxxki，

由复数相等的条件得200020,20,xkxxk解得0022,2222,xxkk或

方程的实根为2和2，相应的k值分别为22和22.

2.

答案：见解析

解析：原式=63111281nnniiiiii.

当4nkkZ时，原式=8i，

当41nkkZ时，原式=-8，

当42nkkZ时,原式=-8i，

当43nkkZ时，原式=8.

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

一、学习目标：

（1）掌握复数代数形式的乘法与除法的运算法则，会进行乘法与除法运算；

（2）理解共轭复数的概念，并会用它及其性质求解相关问题；

（3）掌握复数的乘法所满足的运算律，并能应用它们熟练地进行的四则运算．

四、学习过程：

1、课前准备

⑴设12i,izabzcd，则12zz___________，12zz___________．

⑵对于123,,Czzz有12zz___________，123()zzz___________，123()zzz___________．

⑶一般地，当两个复数的实部___________，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为零的两个共轭复数也叫做___________．设izab，则z___________．

⑷已知12,zz是共轭复数，那么①若12,zz是共轭虚数，在复平面内，12,zz所对应的点关于___________对称；②12zz___________．

2、学习引领

(1）乘法运算的解读

复数代数形式的乘法运算也并不繁琐，两个复数相乘，只要按照多项式的乘法进行，并将i的平方换成1，最后将结果整理成i(,R)abab的形式即可．

（2）除法运算的解读

复数代数形式的除法运算,要求掌握除法运算的一般规律：分子分母同乘以分母的共轭复数，然后分子运用复数代数形式的乘法运算进行化简，而分母则运用zz=2||z进行化简，最后将结果整理成i(,R)abab的形式即可．

（3）共轭复数的解读

共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特性：关于是轴对称；代数特性：实部相等，虚部互为相反数．这正是建立方程组的出发点．

②实数a的共轭复数仍然是a本身，即Cz，zzzR，这是判断一个数是否是实数的一个准则．

（4）复数运算中in的周期性：4414243i1,ii,i1,iinnnn．

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高中数学

1．(2013·陕西理)设z1、z2是复数，则下列命题中的假命题是( )

A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2

B．若z1＝z2，则z1＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2

D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22

D

本题考查复数相等，共轭复数．

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a、b、c、d∈R，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，∴a＝c，b＝d，所以z1＝z2，故A项正确．若z1＝z2，则a＝c，b＝－d，所以z1＝z2，故B项正确．若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1z1＝z2·z2，故C项正确．z21＝a2－b2＋2abi，z22＝c2－d2＋2cdi，在a2＋b2＝c2＋d2的条件下，不能得出a2－b2＝c2－d2,2ab＝2cd，故D项错误．

2．(2013·浙江理)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )

A．－3＋i B．－1＋3i

C．－3＋3i D．－1＋i

B

本题考查复数的四则运算．

(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.

3．(2013·广东理)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对打印版本

高中数学 应的点的坐标是( )

A. (2,4) B．(2，－4)

C. (4，－2) D．(4,2)

C

本题考查复数的运算与复数的几何意义．

∵iz＝2＋4i，∴z＝2＋4ii＝4－2i.

即对应点坐标为(4，－2)．

4．已知3－3i＝z·(－23i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

A

z＝3－3i－23i＝12＋32i.

5．若复数2＋ai1－i(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位)，则a的值为( )

A．－2 B．－1

C．1 D．2

D