2020高中数学 第三章 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修2-2

2020

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3.了解共轭复数的概念．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．复数代数形式的乘法法则

(1)复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律 z1·z2＝z2·z1

结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3

思考2：|z|2＝z2，正确吗？

[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.

2．共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.

3．复数代数形式的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)实数不存在共轭复数．( )

(2) 两个共轭复数的差为纯虚数．( )

(3) 若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)×

2．复数(3＋2i)i等于( )

A．－2－3i B．－2＋3i

C．2－3i D．2＋3i

B [(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]

3．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( )

2020

【导学号：31062220】

A．5 B．5

C．3 D．3

A [z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]

4．(2－i)÷i＝________.

[解析] (2－i)÷i＝2－ii＝－－－＝－1－2i.

[答案] －1－2i

[合 作 探 究·攻 重 难]

复数乘法的运算

(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1) B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

(2)计算：

①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；

②(3＋4i)(3－4i)；

③(1＋i)2.

(1)B [z＝()1－i()a＋i＝()a＋1＋()1－ai，因为对应的点在第二象限，所以 a＋1<01－a>0 ，解得a<－1，故选B.]

(2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)

＝－20＋15i；

②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；

③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.

[规律方法]

1.两个复数代数形式乘法的一般方法

复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等

2.常用公式

a＋b2＝a2＋2abi－b2a，b∈R；

a＋ba－b＝a2＋b2a，b∈R；

2＝±2i.

[跟踪训练]

1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )

【导学号：31062221】

A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)

2020

C．(1＋i)2 D．i(1＋i)

(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．

[解析] (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i，故选C

(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，

所以z的实部是5.

[答案] (1)C

(2)5

复数除法的运算

(1)如图3­2­3，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1z2对应的点位于(

)

图3­2­3

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(2)计算：＋71－i＋－71＋i－－＋34＋3i.

(1)B [由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，

所以z1z2＝－2－ii＝－1＋2i，

对应的点在第二象限．]

(2)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i1－i＋[(1－i)2]3·1－i1＋i－－＋3－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＋i＝8＋8－16－16i＝－16i.

[规律方法]

两个复数代数形式的除法运算步骤

首先将除式写为分式；

再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式

2.常用公式

1i＝－i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.

[跟踪训练]

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2．(1)设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝( )

A．1 B．2

C．3 D．2

(2)计算：①7＋i3＋4i；②－1＋＋－i.

(1)A [由1＋z1－z＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝－1＋i1＋i，z＝－1＋－＋－＝－－22＝i，|z|＝1，选A.]

(2)①7＋i3＋4i＝＋－＋－＝25－25i25＝1－i.

②－1＋＋－i＝－3＋i－i＝－3＋－i·i＝－1－3i.

共轭复数及其应用

[探究问题]

1．若z＝z，则z是什么数？这个性质有什么作用？

提示：z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．

2．若z≠0且z＋z＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？

提示：z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．

3．三个实数|z|，|z|，z·z具有怎样的关系？

提示：设z＝a＋bi，则z＝a－bi，所以|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋－b2＝a2＋b2，z·z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|z|2＝z·z.

(1)已知复数z＝3＋i－32，z是z的共轭复数，则z·z等于(

)

【导学号：31062222】

A．14 B．12

C．1 D．2

(2)已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.

[思路探究]

可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．

(1)A [法一：∵z＝3＋i－32＝－3i2＋i－32＝－3－32＝i1－3i＝＋34＝－34＋i4，

∴z＝－34－i4，∴z·z＝14. 2020

法二：∵z＝3＋i－32，

∴|z|＝3＋i－32＝|3＋i|－32|＝24＝12，∴z·z＝14.]

(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝5，所以a2＋b2＝5.解得a＝±1，b＝±2，所以z＝1＋2i或－1－2i，所以z＝1－2i或－1＋2i，即z＝±(1－2i)．

法二：因为(1－2i)z是实数，故可设z＝b(1＋2i)，b∈R，由|z|＝5可知|b|1＋4＝5，所以b＝±1，

即z＝±(1－2i)．

母题探究：1.(变结论)在题设(1)条件不变的情况下，把题设(1)的结论改为求zz.

[解] 由例题(1)的解析可知z＝－34＋i4，z＝－34－i4，z·z＝14，∴zz＝z2z·z＝－34＋i4214＝12－32i.

2．(变条件)把题设(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求z.

[解] 设z＝a＋bi，则z＝a－bi，由例题(2)的解可知a＝－2b，由|z|＝a2＋b2＝ 5b2＝5，得b＝1，a＝－2；或 b＝－1，a＝2.所以z＝－2－i，或z＝2＋i.

[规律方法] 1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数

2.注意共轭复数的简单性质的运用.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )

【导学号：31062223】

A．－i B．i

C．－1 D．1

A [z＝1i＝－i.]

2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )

A．2－3i B．2＋3i

C．3＋2i D．3－2i

A [∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.]

2020

3．复数3＋ii2(为虚数单位)的实部等于________．

[解析] 由题可得3＋ii2＝－3－i，－3－i的实部为－3.

[答案] －3

4．(1＋i)2－2－i2＋i＝________.

[解析] ∵(1＋i)2－2－i2＋i＝2i－－25

＝－35＋145i.

[答案] －35＋145i

5．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝a＋2i1－i，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值.

【导学号：31062224】

[解] z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝a＋2i1－i＝a＋＋－＋＝a＋ai＋2i－22＝a－2a＋a＋22i.由于z1和z2互为共轭复数，所以有

 a－22＝－b－1，a＋22＝1－b，

解得 a＝－2，b＝1.