初一不等式经典例题
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初中不等式经典例题
例1 解方程组
(1)(2)
5434(1) 432zyxzyx (2)(3) 201633(2) 143163(1) 103316zyxzyxzyx
分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k法来解决。
第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z，然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。
解：(1)设kzkykxkzyx4,3,2432，则，代入(2)得k=5
∴x=10，y=15，z=20 ∴原方程组的解为201510zyx
(2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44，所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6
(4)
(1)-(4)得13x=4，则x=134 (2)-(4)得13y=8，则y=138
(3)-(4)得13z=14，则z=1314 所以原方程组的解为1314138134zyx
评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。
例2 已知关于x，y的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？
分析1：将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，所以只须a的系数x+y-2=0即可。
解法1：将方程按a整理得：(x+y-2)a=x-2y-5，
∵这个关于a的方程有无穷多个解，所以有
由于x、y的值与a的取值无关，所以对于任何的a值，方程组有公共解13yx
分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组093033xy的解。 解法2：令a=1，得：3y+3=0 令a= -2，得：-3x+9=0
解方程组093033xy得13yx，则13yx就是所求的公共解。
将x=3，y= -1代入(a-1) x+(a+2) y+5-2a=0得：3 (a-1) -(a+2) +5-2a=0
整理得0•a=0，说明无论a取什么值，方程总是成立。
评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与a无关，得出关于x、y的方程组，从而求出公共解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与a无关。这两种解法的思路正好相反。
例3 求不定方程4x+y=3xy的一切整数解
解：由原方程得：4341433343yyyxyyx，则
∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=032138235，，，，，
取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0
所以方程的整数解为001121yxyxyx，，
评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。
例4 求方程123x+57y=531的全部正整数解
解：方程两边同除以3得：41x+19y=177
所以 1936291941177xxxy
∵x、y是整数，∴1936x也是整数，取x=2得y=5
∴方程123x+57y=531的整数解为：)(k 415192为任意整数kykx
由219025 -k 054101941kkk得：即
因此方程123x+57y=531只有一组正整数解52yx
评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出正整数解，这是求不定方程整数解的一般步骤。
例5 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问：小鸡至少被套中几次？(第四届华杯赛初赛试题)
分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。 解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次,根据题意得
1061259zyxzyx 我们求这个方程组的正整数解。
消去z得：7x+3y=41，于是3741xy 则x＜741，从而x的值只能是1，2，3，4，5
322133741xxxy 由于y是整数，所以2-x必须是3的倍数，∴x=2，5
当x=2时，y=9，z= -1不是正整数；当x=5时，y=2，z= 3是本题的解。
答：小鸡至少被套中5次。
例6 解不等式3261445432xxx
解：去分母，得3(2－3x)－3(x－5)＞2(－4x+1)+8
去括号，得6－9x－3x+15＞－8x+2+8
移项，得－9x－3x+8x＞2+8－6－15
合并同类项，得－4x＞－11
化系数为1，得
411x（注意变号）
注：在解不等式的过程中，每一步要细心计算，要避免出现符号错误与运算错误，特别要注意不等号的方向。
例7 若关于x的方程222xmxx的解是非负数，求m取值范围。
分析：关于x的方程的解可以解方程求出，而解是非负数即x≥0，可得m的不等式，通过解不等式，可确定m的取值范围。
解：2x－x+m=2－x即 2x=2－m
∴
22mx ∵x≥0 ∴022m 解得 m≤2
例8 解关于x的不等式：k(x+3)＞x+4
分析：先整理不等式成ax＞b的形式，再进行求解
解：去括号，得kx+3k＞x+4
移项，得kx－x＞4－3k
合并同类项，得(k－1)x＞4－3k
若k－1=0，即k=1时，0＞1不成立
∴不等式无解 若k－1＞0，即k＞1时
134kkx
若k－1＜0，即k＜1时
134kkx
注：由（k－1）x＞4－3k，得出不等式的解集，必须对k－1的符号作出判断，如果不能肯定判断出，就应该讨论。
例9 设a、b、c、d是四个正数，且满足下列条件：
①d＞c ②a+b=c+d ③a+d＜b+c
试判断a、b、c、d的大小
解：∵a+d＜b+c，a+b=c+d，∴d－b＜b－d，d＜b ∴b－d=c－a＞0，c＞a
又d＞c ∴b＞d＞c＞a
例10 解下列不等式组
（1） ② ①xxx8270153 （2） ② ①13214)2(3xxxx
（3） ② ①xxxx36275245 （4） ② ① 33221)4(21xxx
分析：解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴找它们的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
解：（1）解不等式①，得x＞5 解不等式②，得x＞－2
在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：
∴这个不等式组的解集是x＞5
（2）解不等式①，得x≤1 解不等式②，得x＜4
在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：
∴这个不等式组的解集是x≤1
（3）解不等式①，得x≤3 解不等式②，得x≥1
在同一数轴上表示出不等式①、②的解集：
∴这个不等式组的解集为：1≤x≤3
（4）解不等式①得，x＜－2 解不等式②得，x＞0
在同一数轴上表示不等式①、②的解集：
∴此不等式组无解。
注：（1）用数轴表示不等式组解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
（2）对于由两个一元一次不等式组成的不等式组，熟练以后，可直接把握它的四种基本情况确定不等式组的解集。
例11 解不等式2323252113242133521xxxxxx。
答案：2445x
例12 求不等式45)31(22x的整数解。
解：原不等式可化为不等式组45)31(225)31(2xx
解这个不等式组，得－3≤x＜2；
∴ 原不等式的整数解为：－3，－2，－1，0，1
例13 若不等式组 无解，则 的取值范围是什么？
分析：已知不等式组的解集，求不等式中所含字母的取值范围，必须根据不等式组的四种基本类型来分析，本题关键是两个不等式的解集无公共部分．
解：要使不等式组无解，故必须 ，从而解得 ，故 ． 说明：本题要熟悉“大大小小是空集”的解集确定方法，当然也可借助于数轴求解．
例14 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是什么？ 解：由①可解出 ，而由②可解出 ，而不等式组的解集为 ， 故 ，即2a ．
说明：例3给出不等式组的解集，反求不等式中所含字母的取值范围，故要求较高．解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如例14，最后归结为对不等式组 解集的确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助于数轴求解．
例15
不等式组mxmx213162的解集是x＜6m+3，那么m的取值范围为（ ）
A）m≤0 B）m=0 C）m＞0 D）m＜0
分析：先对不等式组进行化简，化为四种基本不等式组中的一种，后根据不等式组解集的特点求解。
解：原不等式组可化为：3626mxmx ∴6m+3026mm，故选A）。
例16 如果不等式组212mxmx的解集为x＞-1，那么m的值为（ ）
A）3 B）1 C）-1 D）-3
分析：由于不等式组的解集为x＞-1，所以2m +1、m +2中必有一个是－1，故需要分类求解。
解：当2m+1＝－1时，有基本不等式组解集的特点可知：2 m +1≥m +2，解得：m＝－1且m≥1，此时无解；
当m +2＝－1时，有基本不等式组解集的特点：“大大取大”可知：m +2≥2 m +1，
解得：m＝－3且m≤1，所以m＝－3，故选D）。
例17 已知不等式组420xax有解．．，则a的取值为（ ）
