高一不等式经典题型

1 基本不等式复习 编写：董新梅 审核：董猛

【知识梳理】

1、基本不等式为：设0,0ba，则2baab （当且仅当ba时取“=”号）

其中，称2ba为ba,的算术平均数；称ab为ba,的几何平均数。

2、利用基本不等式求最值必备条件： 一正、二定、三相等；

3、基本不等式的几个常用变形形式：

①abba2 （0,ba） ②4)(2baab （Rba,） ③abba222

（Rba,）

④222baab （Rba,）（其中等号成立的条件都是：当且仅当ba时取“=”号）

【基本题型】

例1、求函数最值

（1）求函数)1(116xxxy的最小值为

（2）若40x，求)28(xxy的最大值。

（3）已知正数yx,满足12yx，求yx11的最小值。

（4）设0,0ba，若3是a3与b3的等比中项，求ba11的最小值．

（5）若直线01kykx恒过定点A，且点A在直线)0,(01nmnymx上，求nm11的最小值.

2 （6）已知x为正实数，且,22xxy求212yx错误!未找到引用源。的最小值．

（7）求函数)0(,182xxxy的最大值；

例2、围建一个面积为360平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米.设利用的旧墙长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

例3、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x（*xN）千件，需另投入成本为)(xC，当年产量不足80千件时，xxxC1031)(2（万元）；当年产量不小于80千件时，14501000051)(xxxC（万元）.通过市场分析，若每千件．．．售价为50万元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.

高一上基本不等式常考的六种题型

在高一上学期的数学学习中，基本不等式是一个重要的内容，也是考试中常常出现的题型之一。掌握基本不等式的相关知识对于学生提高数学成绩和解题能力非常重要。在高一上学期中，基本不等式常考的六种题型主要包括：绝对值不等式、一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式、含参不等式和综合不等式。

第一种题型是绝对值不等式。绝对值不等式是一种常见的不等式类型，通常会涉及到绝对值符号的运用。学生在解这种类型的不等式时，需要根据绝对值的定义进行分情况讨论，注意绝对值不等式的解集是一个或多个区间的并集。

第二种题型是一元一次不等式。一元一次不等式是一种简单的不等式类型，主要涉及到一元一次方程的解法和不等式的性质。学生在解这种不等式时，一般需要先化简，然后根据不等式的性质进行变形，最终求解不等式的解集。

第三种题型是一元二次不等式。一元二次不等式是一种稍微复杂一点的不等式类型，通常需要运用一元二次方程的解法和一元二次函数的性质。学生在解这种不等式时，一般需要将不等式化为标准形式，然后利用一元二次函数的性质进行分析，最终求解不等式的解集。

第四种题型是二元一次不等式。二元一次不等式是一种涉及到两个变量的不等式类型，通常需要通过综合不等式的知识进行分析。学生在解这种不等式时，一般需要将不等式化为标准形式，然后利用二元一次不等式的性质进行分析，最终求解不等式的解集。

第五种题型是含参不等式。含参不等式是一种涉及到参数的不等式类型，通常需要通过对参数的不同取值进行讨论。学生在解这种不等式时，一般需要将不等式根据参数的不同取值进行分情况讨论，最终求解不等式的解集。 第六种题型是综合不等式。综合不等式是一种综合不同类型不等式的题型，通常需要学生综合运用不等式的知识进行解答。学生在解这种不等式时，一般需要综合不等式的不同性质，运用不等式的基本解法，最终求解不等式的解集。

总的来说，高一上学期基本不等式常考的六种题型涵盖了不同的不等式类型，学生在学习和解题的过程中需要不断练习，掌握不等式的基本性质和解法，提高解题的能力和速度。通过不断的练习和巩固，学生可以更好地掌握不等式的相关知识，提高解题的准确性和效率，从而在考试中取得更好的成绩。

一对一个性化辅导教案

课题 基本不等式复习

教学重点 基本不等式

教学难点 基本不等式的应用

教学目标 掌握利用基本不等式求函数的最值

学会灵活运用不等式

教

学

步

骤

及

教

学

内

容 一、教学衔接：

1、检查学生的作业，及时指点；

2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。

二、内容讲解：

1．如果,abR2abab那么当且仅当时取“=”号）.

2．如果,abR22abab那么（ 当且仅当时取“=”号）

3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

三、课堂总结与反思：

带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结

四、作业布置：

见讲义

管理人员签字： 日期： 年 月 日

作1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

备注： 业布置 2、本次课后作业：

课堂小结

家长签字： 日期： 年 月 日

基本不等式复习

知识要点梳理

知识点：基本不等式

1．如果,abR2abab（当且仅当时取“=”号）.

2．如果,abR22abab（ 当且仅当时取“=”号）.

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

2.2基本不等式10题型分类

一、基本不等式

1．如果a>0，b>0

，ab

2ab

，当且仅当ab

时，等号成立．其中

2ab

叫做正数a，b

的算术平均数，ab

叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤2

2ab





，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b

≥2ab

，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

3.不等式22ab󰀮2ab

与不等式ab≤

2ab

成立的条件一样吗？

不一样，22ab󰀮2ab成立的条件时a，b∈R

，ab≤

2ab

成立的条件是a>0，b>0.

4.不等式22ab󰀮

2ab

与不等式ab≤

2ab

中“＝”成立的条件相同吗？

相同.都是当且仅当a＝b时等号成立.

5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.

二、基本不等式与最大值最小值

1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.

(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当xy

时，积xy有最大值21

4S

.

(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y

有最小值2P.

（一）

对基本不等式概念的理解

对基本不等式概念的理解

（1）基本不等式ab≤

2ab

(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．

（2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：

①定理成立的条件是a、b都是正数．

②“当且仅当”的含义：当a＝b时，ab≤

2ab

的等号成立，即a＝b⇒

2ab

＝ab

；仅当a＝b时，

2ab

≥ab

的等号成立，即

2ab

＝ab

⇒a＝b.

题型1：对基本不等式概念的理解

1-1．【多选】（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）若0,0ab

，且

ab¹，则（）

A．22

22abab

B．22

22abab



C．

2ab

ab



D．

2ab

ab



1-2．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）下列不等式恒成立的是（）

A．

222ababB．

222abab

C．2abab