武汉理工线性代数课件
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线性代数课程特点线性代数研究的对象有:行列式、矩阵、向量、线性方程组和二次型,其核心内容是研究线性方程组的解:解的条件、解的结构和求解的方法.它和实二次型化标准型是线性代数的两个重要应用.线性代数主要使用矩阵方法,即利用矩阵的初等变换来解决问题.行列式是研究矩阵的重要工具,在线性方程组的解的研究和二次型的研究中也有直接的应用.向量用来表达线性方程组的解及其关系,利用向量间的关系可讨论二次型能否化为标准型.因此学习《线性代数》必须完成的任务是:掌握行列式的计算;掌握矩阵的运算和熟练作矩阵的初等变换; 熟练分析线性方程组的解的条件并求解; 会分析向量间的线性关系; 能把实二次型化为标准型.《线性代数》的学习有别于其它课程.《线性代数》要解决的问题分为两类:元素是具体数字的以及元素是抽象符号的.无论哪一种都不是一个而是有很多数字或符号,并且非常强调元素所处的位置和它们之间关系.对于具体数字的计算问题,很多同学觉得很容易,不愿耐心仔细地演算.这样造成的后果是两个:一个是计算错误,因为两个数的加减乘除很容易,但很多个数一起运算,即使是加法也不容易;另一个就是没有计算的经验积累,通俗地说就是没有感觉,对抽象问题的理解更为困难.对于抽象的符号或者理论上的问题,一般同学都觉得比较难,这要求我们必须仔细分析和用心体会,在简单的问题中积累经验会对复杂问题的理解很有帮助.在《线性代数》的学习我们要特别强调这一点,认真做好行列式的计算和矩阵初等变换等基本计算,以便更容易地解决复杂的、抽象的问题.第一章 行列式 §1.1 二阶和三阶行列式1.二阶行列式的计算定义1.1 将2×2个元素)2,1,(=j i a ij 排列成两行两列,并且左右两侧各加一条竖线,得到的式子:22211211a a a a称为二阶行列式.横排叫行竖排叫列,下标i 称为元素ij a 的行标,下标j 称为元素ij a 的列标,表示元素所在的位置.二阶行列式是一个便于记忆的记号,展开为式子:21122211a a a a -,计算结果是一个数值.即21122211a a a a - .称左上角与右下角元素的连线为主对角线.例1.1 计算行列式的值ϕϕϕϕsin cos cos -sin D =解 用对角线法则,1cos sin cos )cos (sin sin 22=+=⋅--⋅=ϕϕϕϕϕϕD2.三阶行列式的计算定义1.2 将3×3个元素)3,2,1,(=j i a ij 排列成3行3列,并且左右两侧各加一条竖线,得到的式子:333231232221131211a a a a a a a a a称为三阶行列式.三阶行列式的展开式是312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++即322311332112312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=例1.2 解方程094321112=x x 解 按对角线法则展开左边的行列式,左边=6512291843222+-=---++x x x x x x 由0652=+-x x 得到2=x 或者3=x§1.2 n 级排列与逆序定义1.3 把 n 个不同的数按照一定的顺序排成一排,叫做一个n 级排列,按照自然数的顺序排列的称为顺序排列或者标准排列.定义1.4 如果一个n 级排列中有较大的数排在较小的数前面,称它们构成一个逆序.一个n 级排列的逆序总数称为逆序数,用N 表示。
定义1.5 逆序数是奇数的称为奇排列,逆序数是偶数的称为偶排列.可以总结出求逆序数的两种方法:1)从第一个数起依次考察每个数比后面几个数大,2)从第二个数起依次考察每个数前面有几个数比它大。
例1.3 求5级排列43512的逆序数并指出奇偶性. 解 70223N =+++= 或者 73301N =+++=,为奇排列。
例1.4 求排列()()()()() 132******** k k k k k k +--- 的逆序数并指出奇偶性. 解 求逆序数有两种做法:(1)从第一个数起依次考察每个数比后面几个数大;(2)从第二个数起依次考察每个数前面有几个数比它大.用前一种方法:第一个数2k 比后面2k -1个数大,1不比后面的数大,2k -1比后面2k -3个数大,…,逆序总数为:2211)-(213)-(21)-(2N k k k k k =+=+++= 用后一种方法:第二个数1 前面比它大的数有1个,第三个数2k -1前面有1个数比它大,第四个数2前面有2个数比它大,第五个数2k -2前面也有2个数比它大,…,倒数第三和倒数第二个数的前面都有k -1个数比它大,而最后一个数k 前面有k 个数比它大,逆序总数为:k k k +-+-+++++=)1()1(2211N ()()212112k k k k =+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= 当k 为奇数时是奇排列,当k 为偶数时是偶排列。
定义1.6 将n 级排列中任意两个数交换,称为一次对换. 定理1.1 n 级排列共有n !个,且奇偶排列各一半.定理1.2 任何n 级排列经过一次对换排列的奇偶性发生改变. 例1.5 5级排列共有多少个?用排列43512检验上面的定理。
例1.6 列出全部的3级排列,并分奇偶。
(解略)§1.3 n 阶行列式的定义和性质1.N 阶行列式的定义定义1.7 将n ×n 个元素),2,1,(n j i a ij =排列成n 行n 列,并且左右两侧各加一条竖线,得到的式子:nnn n nn a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式.第i 行第j 列元素ij a 也可以叫做),(j i 元.我们这样展开n 阶行列式:(1) 共有n !项,且正负项各一半;(2) 每一项由取自不同行且不同列的n 个元素的乘积构成;(3) 当行标为顺序排列时,列标是偶排列的为正项,列标是奇排列的为负项. 记作:n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(∑-,即n n nj j j j j j N nnn n nn a a a a a a a a a a a a212121)(212222111211)1(∑-=称n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(-为行列式的展开式(按定义)的一般项或通项.当行标不是顺序排列而列标为顺序排列时,那么行标是偶排列的为正项,行标是奇排列的为负项;如果行、列下标都不是顺序排列,那么行标和列标的逆序数总和是偶数的为正项,逆序数总和是奇数的为负项.特别强调:4阶及以上阶数的行列式没有对角线法则!当行列式阶数为1时,即只有1个元素a 的,记作a ,其值就是a ,不要与绝对值混淆。
显然有一行或一列元素为零的行列式其值为零。
例1.7 如果55432214a a a a a j i 是5阶行列式展开式中的项,那么i ,j 各是多少?该项符号是正还是负?解 由于行列式展开式的每一项必须取自不同行且不同列,因此⎩⎨⎧==31j i 或者 ⎩⎨⎧==13j i 当⎩⎨⎧==31j i 时,3)41235(=N ,该项5543322114a a a a a 符号为负;当⎩⎨⎧==13j i 时,6)43215(=N ,该项5541322314a a a a a 符号为正. 例1.8 用定义求n 阶行列式的值.100002000010nn D n -=解 该行列式的展开式中只有一个非0项:!21n n =⋅ ,该项元素在行列式中的位置行是顺序排列,而列标是23…n 1,1)123(-=n n N ,因此!)1(1n D n n --=例1.9 如果多项式 ()1211123111211xxxx x f -=,那么3x 的系数是多少?解 3x 的项必须从4个x 的一次方元素中取出3个,这样的项有两个(如下图所示),就是344332211x a a a a = 和 343342211)1243(2)1(x a a a a N -=-因此,3x 的项为3332x x x -=-,其系数为-1.例1.10 证明含有n n -2个以上零元素的n 阶行列式其值为零。
证明 行列式展开式中的每一项都是取自不同行且不同列的n 个元素的乘积;如果零元素超过n n -2个,即非零元素少于n n n n =--)(22个,那么行列式展开式中不会有非零项,也就是行列式的值为零. 例1.11 证明:nnn n n n nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a b a b a b a a b a b a b a a21222211121122112222211111211=-----解: 所给行列式不容易按行(列)展开或化为三角形行列式,因此考虑用定义展开. 左边的行列式按定义展开,每一项都是取自不同行(第1,2,…,n 行)且不同列(第n p p p ,,,21 列)的n 个元素的乘积,通项是:()()()()()nnnp n np pp p p p p p N b ab a b a ---- 22112122111()()()()()()n n n p p n np p p p p p N b a a a++++++-= 1212121211。
注意到()()()()()021212121=+++-+++=-++-+-n n p p p n p n p p ,即()()10211==++++++b b n p p n ,那么上面的通项等于右边行列式的通项()()()n nnp pp p p p N a a a 2121211-,所以等式成立.2.几种特殊的行列式 用n 阶行列式的定义来计算高阶行列式(4阶及以上的阶数)的值是非常困难的,除非有非常多的零元素。
下面是几种特殊的含有很多零元素的n 阶行列式(空位未写出元素的都是0),展开结果可作为公式使用.(1) 主对角线以外的元素都是零元素的行列式称为对角形行列式,其展开式中只有一个非零项:n λλλ 21,该项元素在行列式中的位置——行和列都是顺序排列,因此n nλλλλλλ2121=(2)次对角线以外的元素都是零的行列式,按照定义展开也只有一个非零项n λλλ 21,但该项该项元素在行列式中的位置行是顺序排列,列是倒序排列的,逆序数为2)1(-n n ,因此n n n nλλλλλλ212)1(21)1(--=(3) 对角线右上方的上元素全为零的行列式称下三角形行列式,其展开式中只有一个非零项:nn a a a 2211,该项元素在行列式中的位置行和列都是顺序排列,因此nn nnn n a a a a a a a a a221121222111=(4) 对角线左下方的元素全为零的行列式称上三角形行列式,其展开式中只有一个非零项:nn a a a 2211,该项元素在行列式中的位置行和列都是顺序排列,因此nn nnnn a a a a a a a a a221122211211=3 行列式的性质定义1.7 将行列式D 的各行变成相应的列,各列变成相应的行,这样得到的新行列式T D 称为D 的转置行列式.即:行列式nnn nn n T a a a a a a a a a D212221212211=是行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=的转置行列式.性质1 行列式和它的转置行列式的值相等.这条性质表明行列式的行和列具有相同的地位,那么以下对行成立的结论对列也成立. 性质2 交换行列式的任意两行(列),行列式的值变号.推论 如果行列式有两行(列)元素对应相同,那么行列式的值为0. 性质3 用数k 去乘行列式的某行(列)相当于用数k 乘该行列式.推论1 如果行列式有某行(列)元素有公因子k ,可将其提到行列式外面来. 推论2 如果行列式有两行(列)元素成比例,则行列式的值为0.性质4 若行列式D 的某行(列)元素可以表示为两项和形式,则行列式D 可以写成两个行列式的和.这两个行列式该行(列)元素分别取D 的该行(列)元素两项和中的一项,而其它各行(列)元素与D 相同.如果nnn n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D 21221111211+++=那么,nnn n in i i n nn n n in i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D212111211212111211+= 性质5 把行列式某行(列)的各元素k 倍加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变.利用性质对行列式实行变形,通常有三种,我们采用一定的记号表达这些做法:(1) 交换第i 行和第j 行,记作:j i r r ↔(2)把第i 行公因子k 提到行列式外面来(k /1乘第i 行),记作:i r k1(3)把第j 行的k 倍加到第i 行上,记作:j i kr r + 用r 表示行,c 表示列.如果是对列施行以上的变形,将r 改写为c 就行.特别注意:将元素发生了改变的行(或者列)写在前面,如123r r +表示第2行元素改变了,而第一行元素不变。