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线性代数课程特点线性代数研究的对象有：行列式、矩阵、向量、线性方程组和二次型，其核心内容是研究线性方程组的解：解的条件、解的结构和求解的方法.它和实二次型化标准型是线性代数的两个重要应用.线性代数主要使用矩阵方法，即利用矩阵的初等变换来解决问题.行列式是研究矩阵的重要工具，在线性方程组的解的研究和二次型的研究中也有直接的应用.向量用来表达线性方程组的解及其关系，利用向量间的关系可讨论二次型能否化为标准型.因此学习《线性代数》必须完成的任务是：掌握行列式的计算；掌握矩阵的运算和熟练作矩阵的初等变换； 熟练分析线性方程组的解的条件并求解； 会分析向量间的线性关系； 能把实二次型化为标准型.《线性代数》的学习有别于其它课程.《线性代数》要解决的问题分为两类：元素是具体数字的以及元素是抽象符号的.无论哪一种都不是一个而是有很多数字或符号，并且非常强调元素所处的位置和它们之间关系.对于具体数字的计算问题，很多同学觉得很容易，不愿耐心仔细地演算.这样造成的后果是两个：一个是计算错误，因为两个数的加减乘除很容易，但很多个数一起运算，即使是加法也不容易；另一个就是没有计算的经验积累，通俗地说就是没有感觉，对抽象问题的理解更为困难.对于抽象的符号或者理论上的问题，一般同学都觉得比较难，这要求我们必须仔细分析和用心体会，在简单的问题中积累经验会对复杂问题的理解很有帮助.在《线性代数》的学习我们要特别强调这一点，认真做好行列式的计算和矩阵初等变换等基本计算，以便更容易地解决复杂的、抽象的问题.第一章 行列式 §1.1 二阶和三阶行列式1．二阶行列式的计算定义1.1 将2×2个元素)2,1,(=j i a ij 排列成两行两列，并且左右两侧各加一条竖线，得到的式子：22211211a a a a称为二阶行列式.横排叫行竖排叫列，下标i 称为元素ij a 的行标，下标j 称为元素ij a 的列标，表示元素所在的位置.二阶行列式是一个便于记忆的记号，展开为式子：21122211a a a a -，计算结果是一个数值.即21122211a a a a - .称左上角与右下角元素的连线为主对角线.例1.1 计算行列式的值ϕϕϕϕsin cos cos -sin D =解 用对角线法则，1cos sin cos )cos (sin sin 22=+=⋅--⋅=ϕϕϕϕϕϕD2．三阶行列式的计算定义1.2 将3×3个元素)3,2,1,(=j i a ij 排列成3行3列，并且左右两侧各加一条竖线，得到的式子：333231232221131211a a a a a a a a a称为三阶行列式.三阶行列式的展开式是312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++即322311332112312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=例1.2 解方程094321112=x x 解 按对角线法则展开左边的行列式，左边=6512291843222+-=---++x x x x x x 由0652=+-x x 得到2=x 或者3=x§1.2 n 级排列与逆序定义1.3 把 n 个不同的数按照一定的顺序排成一排，叫做一个n 级排列，按照自然数的顺序排列的称为顺序排列或者标准排列.定义1.4 如果一个n 级排列中有较大的数排在较小的数前面，称它们构成一个逆序.一个n 级排列的逆序总数称为逆序数，用N 表示。
定义1.5 逆序数是奇数的称为奇排列，逆序数是偶数的称为偶排列.可以总结出求逆序数的两种方法：1）从第一个数起依次考察每个数比后面几个数大，2）从第二个数起依次考察每个数前面有几个数比它大。
例1.3 求5级排列43512的逆序数并指出奇偶性. 解 70223N =+++= 或者 73301N =+++=，为奇排列。
例1.4 求排列()()()()() 132******** k k k k k k +--- 的逆序数并指出奇偶性. 解 求逆序数有两种做法：（1）从第一个数起依次考察每个数比后面几个数大；（2）从第二个数起依次考察每个数前面有几个数比它大.用前一种方法：第一个数2k 比后面2k -1个数大，1不比后面的数大，2k -1比后面2k -3个数大，…，逆序总数为：2211)-(213)-(21)-(2N k k k k k =+=+++= 用后一种方法：第二个数1 前面比它大的数有1个，第三个数2k -1前面有1个数比它大，第四个数2前面有2个数比它大，第五个数2k -2前面也有2个数比它大，…，倒数第三和倒数第二个数的前面都有k -1个数比它大，而最后一个数k 前面有k 个数比它大，逆序总数为：k k k +-+-+++++=)1()1(2211N ()()212112k k k k =+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= 当k 为奇数时是奇排列，当k 为偶数时是偶排列。
定义1.6 将n 级排列中任意两个数交换，称为一次对换. 定理1.1 n 级排列共有n ！个，且奇偶排列各一半.定理1.2 任何n 级排列经过一次对换排列的奇偶性发生改变. 例1.5 5级排列共有多少个？用排列43512检验上面的定理。
例1.6 列出全部的3级排列，并分奇偶。
（解略）§1.3 n 阶行列式的定义和性质1．N 阶行列式的定义定义1.7 将n ×n 个元素),2,1,(n j i a ij =排列成n 行n 列，并且左右两侧各加一条竖线，得到的式子：nnn n nn a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式.第i 行第j 列元素ij a 也可以叫做),(j i 元.我们这样展开n 阶行列式：(1) 共有n ！项，且正负项各一半；(2) 每一项由取自不同行且不同列的n 个元素的乘积构成；(3) 当行标为顺序排列时，列标是偶排列的为正项，列标是奇排列的为负项. 记作：n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(∑-，即n n nj j j j j j N nnn n nn a a a a a a a a a a a a212121)(212222111211)1(∑-=称n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(-为行列式的展开式（按定义）的一般项或通项.当行标不是顺序排列而列标为顺序排列时，那么行标是偶排列的为正项，行标是奇排列的为负项；如果行、列下标都不是顺序排列，那么行标和列标的逆序数总和是偶数的为正项，逆序数总和是奇数的为负项.特别强调：4阶及以上阶数的行列式没有对角线法则！当行列式阶数为1时，即只有1个元素a 的，记作a ，其值就是a ，不要与绝对值混淆。
显然有一行或一列元素为零的行列式其值为零。
例1.7 如果55432214a a a a a j i 是5阶行列式展开式中的项，那么i ，j 各是多少？该项符号是正还是负？解 由于行列式展开式的每一项必须取自不同行且不同列，因此⎩⎨⎧==31j i 或者 ⎩⎨⎧==13j i 当⎩⎨⎧==31j i 时，3)41235(=N ，该项5543322114a a a a a 符号为负；当⎩⎨⎧==13j i 时，6)43215(=N ，该项5541322314a a a a a 符号为正. 例1.8 用定义求n 阶行列式的值.100002000010nn D n -=解 该行列式的展开式中只有一个非0项：!21n n =⋅ ，该项元素在行列式中的位置行是顺序排列，而列标是23…n 1，1)123(-=n n N ，因此!)1(1n D n n --=例1.9 如果多项式 ()1211123111211xxxx x f -=，那么3x 的系数是多少？解 3x 的项必须从4个x 的一次方元素中取出3个，这样的项有两个(如下图所示)，就是344332211x a a a a = 和 343342211)1243(2)1(x a a a a N -=-因此，3x 的项为3332x x x -=-，其系数为-1.例1.10 证明含有n n -2个以上零元素的n 阶行列式其值为零。
证明 行列式展开式中的每一项都是取自不同行且不同列的n 个元素的乘积；如果零元素超过n n -2个，即非零元素少于n n n n =--)(22个，那么行列式展开式中不会有非零项，也就是行列式的值为零. 例1.11 证明：nnn n n n nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a b a b a b a a b a b a b a a21222211121122112222211111211=-----解： 所给行列式不容易按行（列）展开或化为三角形行列式，因此考虑用定义展开. 左边的行列式按定义展开，每一项都是取自不同行（第1，2，…，n 行）且不同列（第n p p p ,,,21 列）的n 个元素的乘积，通项是：()()()()()nnnp n np pp p p p p p N b ab a b a ---- 22112122111()()()()()()n n n p p n np p p p p p N b a a a++++++-= 1212121211。
注意到()()()()()021212121=+++-+++=-++-+-n n p p p n p n p p ，即()()10211==++++++b b n p p n ，那么上面的通项等于右边行列式的通项()()()n nnp pp p p p N a a a 2121211-，所以等式成立.2．几种特殊的行列式 用n 阶行列式的定义来计算高阶行列式（4阶及以上的阶数）的值是非常困难的，除非有非常多的零元素。
下面是几种特殊的含有很多零元素的n 阶行列式（空位未写出元素的都是0），展开结果可作为公式使用.(1) 主对角线以外的元素都是零元素的行列式称为对角形行列式，其展开式中只有一个非零项：n λλλ 21，该项元素在行列式中的位置——行和列都是顺序排列，因此n nλλλλλλ2121=(2)次对角线以外的元素都是零的行列式，按照定义展开也只有一个非零项n λλλ 21，但该项该项元素在行列式中的位置行是顺序排列，列是倒序排列的，逆序数为2)1(-n n ，因此n n n nλλλλλλ212)1(21)1(--=(3) 对角线右上方的上元素全为零的行列式称下三角形行列式，其展开式中只有一个非零项：nn a a a 2211，该项元素在行列式中的位置行和列都是顺序排列，因此nn nnn n a a a a a a a a a221121222111=(4) 对角线左下方的元素全为零的行列式称上三角形行列式，其展开式中只有一个非零项：nn a a a 2211，该项元素在行列式中的位置行和列都是顺序排列，因此nn nnnn a a a a a a a a a221122211211=3 行列式的性质定义1.7 将行列式D 的各行变成相应的列，各列变成相应的行，这样得到的新行列式T D 称为D 的转置行列式.即：行列式nnn nn n T a a a a a a a a a D212221212211=是行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=的转置行列式.性质1 行列式和它的转置行列式的值相等.这条性质表明行列式的行和列具有相同的地位，那么以下对行成立的结论对列也成立. 性质2 交换行列式的任意两行（列），行列式的值变号.推论 如果行列式有两行（列）元素对应相同，那么行列式的值为0. 性质3 用数k 去乘行列式的某行（列）相当于用数k 乘该行列式.推论1 如果行列式有某行（列）元素有公因子k ，可将其提到行列式外面来. 推论2 如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值为0.性质4 若行列式D 的某行（列）元素可以表示为两项和形式，则行列式D 可以写成两个行列式的和.这两个行列式该行（列）元素分别取D 的该行（列）元素两项和中的一项，而其它各行（列）元素与D 相同.如果nnn n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D 21221111211+++=那么，nnn n in i i n nn n n in i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D212111211212111211+= 性质5 把行列式某行（列）的各元素k 倍加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.利用性质对行列式实行变形，通常有三种，我们采用一定的记号表达这些做法:(1) 交换第i 行和第j 行，记作：j i r r ↔(2）把第i 行公因子k 提到行列式外面来（k /1乘第i 行），记作：i r k1(3）把第j 行的k 倍加到第i 行上，记作：j i kr r + 用r 表示行，c 表示列.如果是对列施行以上的变形，将r 改写为c 就行.特别注意：将元素发生了改变的行（或者列）写在前面，如123r r +表示第2行元素改变了，而第一行元素不变。
