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一元二次方程(概念_一般形式_公开课)ppt课件.ppt

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一元二次方程的概念-PPT课件

一元二次方程的概念-PPT课件
一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 用一元二次方程解决实际问题
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值

认识一元二次方程ppt课件

认识一元二次方程ppt课件
析
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整

一元二次方程ppt课件

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解：将x=2代入方程x2－c = 0中，2²-c=0，∴c=4，方程为x2－4= 0∴x2 = 4，x=±2∴这个方程另外的根是-2
6.已知x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，求代数式a(a－1)＋a2＋5a的值．
解：将x＝1代入方程x2＋2ax＋a2＝3，得a2＋2a＝2，∴a(a－1)＋a2＋5a＝a2－a＋a2＋5a＝2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝2×2＝4.
D
3.五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？
解：设第一个数为 x，则可列出方程 x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，即 x2 - 8x - 20 = 0.
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0

一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件

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一元二次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的最高次数为2的 整式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。

一元二次方程ppt课件

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b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
注意 ①若a＜0,那么最好在方程的左右两边同乘-1,使二次项系数变为 正整数；②指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.
即学即练，趁热打铁
1.下列方程哪些是一元二次方程? 为什么?
(1)8x3 - 5x2 - 4 = 0
最高指数是3
(2)7x2 - 4y + 6= 0
方程中同时出现x、y两个未知数
(3) 2x 1 1 0 3x
(4) y2 0 2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的
二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
经化简得x2 - 8x - 20＝0（一般式）.
例3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面 的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多 少米？（列出方程即可）
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端
距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后 梯子底端距墙 (x+6) m ;
2.1 认识一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的概念;（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）.
（重点） 3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型，培养学
生的数形结合思想. （难点）
导入新课
（一 ）、学前准备： 1、什么叫方程？
3x2= 5x - 1
3x2 - + 2) (x - 1)=6

一元二次方程(PPT课件)

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x2 5 . x1 1， 所以：
解法3：利用配方法。将方程左边配方，有：
x 2 6 x 9 9 5 0 ，即 x 32 4
x2 5 . x 3 2 即 x1 1， 所以：
想一想
例题中的三种解法各具有哪些特点？本题 中使用哪种方法比较简洁？
返回目录
(1) x 2 4 x 12 0 ；(2) 3x 2 4 x 1 0；
(3) x 2 2 x 2 0 ；(4) x 2 4 x 2 0 .
再 见！
返回目录
§3.3
一元二次方程
安溪华侨职校数学组
目 录
知 识 讲 授 典 型 例 题
课 堂 练 习
课 外 作 业
1、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。其一般形式为：
ax2 bx c 0
a 0 .
2、解一元二次方程的基本方法:
公式法、配方法和因式分解法
_______ ⑷方程 x 2 2 x 8 0中， ，此方程
_______实数根；
课堂练习
2、解下列各方程：
(1) x 2 3x 10 0 ； (2) 2 x 2 3x 9 0； (3)பைடு நூலகம்3x 2 4 x 4 0 .
返回目录
课外作业
用适当的方法解下列各方程：
3、一元二次方程的求根公式：
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。求根公 式为：
b b 2 4ac x . 2a
4、一元二次方程解得讨论：
2 b 4ac ，则： 判别式为
(1) 当 0 时，一元二次方程有两个不相等的实 数解； (2) 当 0 时，一元二次方程有两个相等的实数解； (3) 当 0 时，一元二次方程没有实数解。

一元二次方程课件ppt


• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

《一元二次方程》精品课件

重要 x1+x2=-p，x1x2=q.
结论 (2)以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方
重难剖析
例1 已知关于x的方程(m-1)
次方程，则m的值为 -1 .
解：
一元二
次方程
的概念
2 +1
未知数的最高
次数是2
+3mx+1=0 是一元二
m2+1=2
m=-1
二次项系数不为0
m-1≠0
解：(1)a=1,b=1,c=-1
∴Δ=b2-4ac=1-4×1×(-1)=5，
b b 4ac 1 5
， 根据方程的特征选择
x

2a
2
适当的方法进行解答，
1 5
1- 5
若多种方法都可以，
x1
, x2
.
2
2
则选择自己擅长的方
2
法进行解答.
例3 解下列方程
(1)x2+x-1=0 ;
必要解题步骤).
解：(配方法) 移项，得2 − 4 = 1，
配方，得 2 − 4 + 22 = 1 + 22，
2
( − 2) = 5 ，
由此可得 − 2 = ± 5，
即 1 = 2 + 5，2 = 2 − 5.
4.下列所给方程中，没有实数根的是(
)
A. x2+x=0
B. 5x2-4x-1=0
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2) 若方程的一个实数根为-1，求m的值及方程的另一
个实数根.
− 1 ≠ 0, ①
解：(1) 由题意得 ቊ
Δ > 0. ②

一元二次方程ppt课件

定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。

一元二次方程(第一课时)课件

一元二次方程(第一课 时)ppt课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
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3.将下列方程化为一般形式，并分别指出
它们的二次项系数、一次项系数和常数项
2x(x ? 1) ? 3(x ? 5) ? 4 19
4、关于x的一元二次方程(m ? 3)x2 ? (m ? 1)x ? m ? 0 ，则二次项系数是 _______，一次项系数是 ______ ， 常数项是 __________
根据题意，得 x(19 ? 2x) ? 24
整理，得 ? 2 x2 ? 19 x3 ? 24
3
问题情境
（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计
到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增
长率.
析：设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是
万册；
明年年底的图书数是
(a,b,c 为常数，a≠0）称为 一元二次方程的一般形式 。
18
做一做，看看你是否真的掌握了
1.下列是一元二次方程的是（ ）
A.x2 ? 3x ? 2 C.x2 ? 2 ? 3x
B.x2 ? 3x? 2 ? x2
D.x2 ? x3 ? 4 ? 0
2.写出一个一元二次方程，使它的各项系
数之和为6，则方程可以是________. 19
23.1 一元二次方程
1
1
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2， 求它的边长？
解：设正方形桌面的边长是 x m 根据题意得：
x2 ? 2 2
2
问题情境
（2）矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏 的总长度是19米。如果花园的面积是24m2，求花 园的长和宽？
解：设花园的宽是 x m ,则花园
的长是(19-2x)m .
7
只含有
一个未知②数只(含一一元个)未，知并数且; 未知数的最
高次数是③2未(二知数次的)的最高方次程数叫是做2. 一元二次
方程(quadratic equation in one unknown)7
下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？
1）3x ? 2 ? 5x ? 3
2)4 y2 ? 5 y
3)
5、关于x的方程， kx2 ? x ? 1 ? 2 x2是一元20 二次 方程，则 k的取值范围是 _________
20
1.判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方 程 x2 - 2=x 的根.
21
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解(或根)
21
已知关于x的方程x2 ? ax ? a ? 0的 一个根是3，求a的值.
a x 2+ b x+ c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
a x 2 又叫二次项 b x叫一次项 11
11
a x 2 + b x + c = 0 二次项、二次项系数、
(a、b、c为常数且a例≠ 0题) 讲一常解次数项项、都一是次包项括系符数号、的
? [例1] 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
解：把x ? 3代入方程，得：
32 ? 3a ? a ? 0
解得：a ? ? 9
22
4
22
知识回顾
Knowledge
Review
23
x2 ? 2 ? 0
? 2x2 ? 19x ? 24 ? 0
x2 ? 2 x ? 0.44 ? 0
x2 ? x ? 0
a x 2 + b x + c10 = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0) x2 ? 4 ? ( x ? 2)2 是一元二次方程吗？ 10
一元二次方程的一般形式
二次项系数
一次项系数
万册.
可列得方程 4
5（1＋x）2 = 7.2,
整理可得
x2＋2x=0.44.
4
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是 3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯
子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离 。
解：设梯子滑动的距离是 X米。根 据题意得
(4 ? x)2 ? (3 ? x)2 ? 52
1 x2
?
1 x
?
2?
0
8
4)x2 ? y ? 2
8
把下列一元二次方程化简为右边为0的形式
x2 ? 2
? 2x2 ? 19x ? 24
x2＋2x=0.44
x2 ? x ? 0
x2 ? 2 ? 0
? 2x2 ? 19x ? 24 ? 0 x2 ? 2 x ? 0.44 ? 0
9
x2 ? x ? 0
9
3x(x ? 1) ? 5(x ? 2)
解：
二次项：
一次项：
常数项为
.其系数为
，其系数为
12
.
12
课堂练习Biblioteka 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二 次项系数、一次项系数和常数项。
(1)x2 ? 0
二次项系数 一次项系数 常数项
(2)4x ? 1 ? x2
(3) 2x2 ? ?3x ? 1
整理，得 x2 ? x ? 0 5
5
? （5）一项工程甲单独做需要10天， 乙单独做需要15天，二人合作需要几 天完成？
? 解：设甲乙合作需X天完成，
?
1 ? 1 =1
6
10 15 x
6
x2 ? 2
? 2x2 ? 19 x ? 24
x2＋2x=0.44
x2 ? x ? 0
一元二次方程的概念
? 像特这点样: 的①等都号是两整式边方都程是; 整式 ,
是关于x 的一元二次方程，求m的值。
? 解：由题意得：
15
15
k为何值时，关于x 的方程 （k2 ? 1)x2 ? 2(k ? 1)x ? 3(k ? 1) ? 0是 1）一元二次方程
2）一元一次方程
16
16
已知关于x的一元二次方程
(a ? 1) x 2 ? x ? a 2 ? 1 ? 0的一根是 0
(4) x(x ? 3) ? ?2
13
13
? 以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程 的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程？
14
关于x的方程， kx2 ? x -1 ? 2x 2一定是一元二次 方程吗？
14
例题讲解
? [例2] 若方程 (m例?题3讲)x解m2 ?7 ? mx ? 10
则a =
?什么是方程的根?
17
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的 解也叫做根
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1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程都可18 以
化为 ax2 ? bx? c ? 0 的形式,我们把 ax2 ? bx ? c ? 0