【高中精练】2018北师版数学必修4：11位移、速度和力 向量的概念 Word版含解析

§1从位移、速度、力到向量1．1位移、速度和力1．2向量的概念1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点))3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点[基础·初探]教材整理向量的概念阅读教材P73～P75“练习”以上部分，完成下列问题．1．向量的有关概念(1)定义既有大小，又有方向的量叫作向量．(2)有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB→|. (3)向量的长度|AB→|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)． (4)向量的表示法①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．②向量也可以用黑体小写斜体字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →，b →，c →…来表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数量同向量一样可以比较大小．( ) (2)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (4)向量就是有向线段．( )【解析】 (1)错误．向量不能比较大小． (2)错误.AB→与BA →方向相反不是相等向量．(3)错误．两条直线平行或重合．(4)错误．向量不能等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]①温度、速度、位移这些物理量都是向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③向量的模一定是正数；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．其中说法正确的是________．(填序号)【精彩点拨】解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．【自主解答】①错误，只有速度、位移是向量．②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．③错误.0的模|0|＝0.④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．【答案】④1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．[再练一题]1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若向量AB→与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上；(2)若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)向量AB→的长度与向量BA →的长度相等；(4)单位向量都相等．【解】 对于(1)，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，所以(1)错；对于(2)，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的，所以(2)错；对于(3)，向量AB→与BA →方向相反，但长度相等．所以(3)对；对于(4)，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同，所以(4)错.(1)已知B 和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．(2)一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．①作出向量AB →，BC →，CD →； ②求|AD→|. 【精彩点拨】 (1)根据向量的表示方法求解．(2)先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题． 【自主解答】 (1)设线段AD 的长度是3，则长度为1的向量有AB →＝BC →＝CD →，BA→＝CB →＝DC →，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有AC →＝BD →，CA →＝DB →共有2个互不相等的非零向量，长度为3的向量有AD →，DA →，共2个互不相等的非零向量，综上知共6个互不相等的非零向量．【答案】 6(2)①向量AB→，BC →，CD →如图所示．②由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB→|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD→＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200(km)．1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，向量长度为半径的圆．[再练一题]2．小李离家从A 点出发向东走2 km 到达B 点，然后从B 点沿南偏西60°走4 km ，到达C 点，又改变方向向西走2 km 到达D 点．(1)作出AB→，BC →，CD →；(2)求小李到达D 点时与A 点的距离． 【解】 作AB→，BC →，CD →，如图所示：(2)依题意，四边形ABCD 为平行四边形，∴|AD →|＝|BC →|＝4，即小李到达D 点时离A 点4 km.[探究共研型]探究1 什么关系？【提示】 方向相同或相反．探究2 相等向量和共线向量有怎样的关系？两个向量能比较大小吗？ 【提示】 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，两个向量不能比较大小．探究3 平行四边形的对边有哪些性质？表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？【提示】 平行四边形的对边平行且相等，表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．探究4 如果非零向量AB →与CD →是共线向量，那么点A ，B ，C ，D 是否一定共线？【提示】 不一定共线．如图2－1－1所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，OC→＝c .图2－1－1(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请分别一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【精彩点拨】 由题目可获得以下主要信息： ①六边形ABCDEF 是正六边形； ②OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ； ③求各相应向量．解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．【自主解答】 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF→，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF→，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →； 与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →.1．向量的模是用向量的长度来定义的，共线向量是用向量的方向来定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，要弄清这三个概念的联系与区别．2．共线向量有四种情况方向相同且模相等；方向相同但模不等；方向相反但模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．3．向量的平行与直线平行的关系两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m ，n ，l ，m ∥n ，n ∥l ，则m ∥l ；若向量a ，b ，c ，a ∥b ，b ∥c ，而a ，c 不一定平行．4．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．[再练一题]3.如图2－1－2所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：图2－1－2(1)分别写出与AO→，BO →相等的向量； (2)写出与AO→共线的向量．【解】 (1)∵|AO→|＝|OC →|＝|BF →|，且OC →，BF →与AO →的方向相同，∴与AO →相等的向量是OC→，BF →.同理，与BO →相等的向量是AE →.(2)∵AO ∥DE ∥BF ，A ，O ，C 三点共线， ∴与AO→共线的向量是DE →，OC →，BF →，CO →. [构建·体系]1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 根据向量的概念知速度、力、加速度为向量． 【答案】 D2．下列说法中正确的是( ) A ．零向量没有方向 B ．零向量的模等于零 C ．单位向量的模等于1厘米 D ．单位向量的方向都相同【解析】 零向量也有方向，其方向是任意的，因此A 错误；单位向量的模等于1个单位长度，而不是具体的1厘米，因此C 错误；单位向量的方向要因具体情况而定，因此D 错误．所以只有B 是正确的．【答案】 B 3．给出下列命题：①若|a |>|b |，则a >b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若|a |＝0，则a ＝0；④0＝0；⑤向量AB→大于向量CD →；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)【导学号：66470038】【解析】 ①不正确．向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．【答案】 ②③4．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K ，L ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量KL →相等的向量是________．【解析】 因为K ，L 分别是AB ，BC 的中点，所以KL ∥AC ，KL ＝12AC ，同理MN 綊12AC ，所以KL ∥MN .KL ＝MN ，所以KL→＝NM →.【答案】 NM →5．如图2－1－3所示，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．图2－1－3(1)用有向线段表示与向量AB→相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB→共线的向量．【解】 (1)与向量AB→相等的向量是向量CE →，DC →.(2)与AB→共线的向量为BA →，DC →，CD →，CE →，EC →，ED →，DE →.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

北师大版高中数学必修第二册《位移、速度、力与向量的概念》评课稿一、课程概述《位移、速度、力与向量的概念》是北师大版高中数学必修第二册中的一节课。

本课程主要介绍了位移、速度、力以及向量的基本概念和相关的计算方法。

通过学习该课程，学生将能够理解和运用这些概念，为后续学习物理学打下基础。

二、教材分析《位移、速度、力与向量的概念》这节课是数学必修第二册的一部分。

教材采用了北师大版的教材，该教材在内容和难度上都与国家教育要求相符合。

本节课的内容紧密结合了实际生活中的运动问题，通过一系列的案例引导学生进行思考和分析。

三、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够达到以下教学目标：1.理解位移、速度、力和向量的含义和定义；2.掌握位移、速度、力和向量的基本计算公式和方法；3.在实际问题中应用位移、速度、力和向量的概念、公式和方法；4.培养学生的逻辑思维、问题解决和数学建模能力。

通过这些教学目标的达成，学生将能够全面理解和运用位移、速度、力和向量的概念，为后续学习和应用打下坚实的基础。

四、教学重点与难点本节课的教学重点如下：1.位移、速度、力和向量的概念和定义；2.位移、速度、力和向量的基本计算公式和方法。

本节课的教学难点如下：1.向量的加法和减法运算；2.掌握向量的模长和方向角的计算方法；3.几何问题的向量表示和分解。

针对这些重点和难点，教师应采取合适的教学方法和策略，引导学生加深理解和掌握。

五、教学内容与步骤5.1 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.位移的概念和计算方法；2.速度的概念和计算方法；3.力的概念和计算方法；4.向量的概念和计算方法。

5.2 教学步骤本节课的教学步骤如下：步骤一：引入通过一个日常生活中的运动场景或问题引入本节课的内容，激发学生的学习兴趣和思考。

步骤二：位移的概念和计算方法首先介绍位移的概念和定义，然后介绍位移的计算方法和公式。

通过具体的例子，引导学生理解位移的概念和计算方法，并进行相关的练习。