九年级数学下册 第二章二次函数练习 人教新课标版

〖人教版〗九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 二次函数的一次项系数是（）A. B. C. D.2. 比较二次函数与的图象，下列结论错误的是（）A.对称轴相同B.顶点相同C.图象都有最高点D.开口方向相反3. 已知：二次函数，下列说法错误的是（）A.当时，随的增大而减小B.若图象与轴有交点，则C.当时，不等式的解集是D.若将图象向上平移个单位，再向左平移个单位后过点，则4. 如图所示，某大学的楼门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距离地面高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为，则校门的高约为（精确到，水泥建筑物的厚度忽略不计）（）A. B. C. D.5. 设二次函数，当时，总有，当时，总有，那么的取值范围是（）A. B.C. D.6. 已知二次函数，当从逐渐变化到的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A.先往左上方移动，再往左下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动C.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动7. 如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（）A.①②③④B.①③④C.①③D.①②8. 二次函数的图象通过和两点，但不通过直线上方的点，则其顶点纵坐标的最大值与最小值的乘积为（）A. B. C. D.9. 坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（）A.向上移动个单位B.向下移动个单位C.向上移动个单位D.向下移动个单位10. 如果抛物线经过点，和，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 将抛物线向右平移个单位后，得到的新抛物线解析式是________．12. 一根长为的铁丝围成一个矩形框，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为________．13. 在边长为的正方形中间挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为________．14. 已知二次函数，当，取得最小值为，则________，________．15. 已知二次函数的图象经过点，且与轴交于点，若，则该二次函数解析式中，一次项系数为________，常数为________．16. 某果园有棵枇杷树．每棵平均产量为千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量千克，若设增种棵枇杷树，投产后果园枇杷的总产量为千克，则与之间的函数关系式为________．17. 二次函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到的，则________，________．18. 某商店从厂家以每件元的价格购回一批商品，该商店可自行定价．若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的，如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为________元．19. 已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是________．20. 在边长为的正方形中间剪去一个边长为的小正方形，剩下的四方框形的面积为，与之间的函数关系是________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）21. 已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式．22. 已知二次函数．求函数图象的对称轴和顶点坐标；求这个函数图象与轴的交点坐标．23. 已知抛物线的顶点为，经过原点且与轴另一交点为．求点的坐标；若为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；现将抛物线绕着点旋转后得到抛物线，若抛物线的顶点为，当，且顶点在抛物线上时，求的值．24. 某商店购进一批单价为元的商品，如果按每件元出，那么每天可销售件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高元，其销售量相应减少件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？25. 鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为元，每星期可卖件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价元，每星期可多卖件．已知该款童装每件成本元．设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件．（1）求与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得元的利润？②若该店每星期想要获得不低于元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？26. 某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图所示，成本与销售月份之间的关系如图所示（图的图象是线段，图的图象是抛物线）（1）已知月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益售价-成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜、两个月的总收益为万元，且月份的销售量比月份的销售量多万千克，求、两个月的销售量分别是多少万千克？答案1. D2. C3. B4. B5. B6. C7. D8. B9. B10. C11.12. ，13.14.15. 或或16.17.18.19.20.21. 解：设二次函数解析式为，把三点分别代入得，，，联立方程组解得，，，故这个二次函数的解析式．22. 解：∵，∴对称轴为，顶点坐标为；令得，解得或，∴函数图象与轴的交点坐标为和．23. 解：∵抛物线经过原点，∴，∴当时，则，解得：或，∴抛物线与轴另一交点坐标是；∵抛物线，（如图）∴顶点坐标为，∵为等腰直角三角形，∴，∵抛物线过原点，∴，解得：，∴抛物线；∵，抛物线过原点，（如图）∴，∴，设，又因为点，∴，∴即点的坐标是，∵顶点在抛物线上，∴，解得：或．24. 解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，则•所以将销售定价定为元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是元25. ．设每星期利润为元，．∴时，最大值．∴每件售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润元．①由题意：解得：或，∴当每件童装售价定为元或元时，该店一星期可获得元的利润．②由题意：：，解得：，∵．，∴每星期至少要销售该款童装件．26. 当时，，，∵，∴月份出售这种蔬菜每千克的收益是元．设，．将、代入，，解得：，∴；将代入，，解得：，∴．∴．∵，∴当时，取最大值，最大值为，即月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．当时，．设月份的销售量为万千克，则月份的销售量为万千克，根据题意得：，解得：，∴．答：月份的销售量为万千克，月份的销售量为万千克．。

人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案）一、单选题1.在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为[ ] A．28米B．48米C. 68米D．88米2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax2 +bx+c的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称．，题中的二次函数确定具有的性质是[ ] A．过点(3，0)B．顶点是(2，-1)C．在x轴上截得的线段的长是3D．与y轴的交点是(0，3)3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是A．2mB．3mC .4 mD．5 m4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是[ ] A．6 mB．8mC. 10 mD．12 m5.某人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间t(s)间的关系为S=l0t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为[ ] A．72 mB．36 mC．36 mD．18 m6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2 +50x-500，则要想获得最大利润，销售单价为[ ] A．25元B．20元C．30元D．40元7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入网．若足球运行的路线是抛物线y=ax2 +bx+c所示，则下列结论正确的是①a<；② <a<0；③ a-b+c>0；④ 0<b<-12a[ ]A.①③B.①④C.②③D.②④8.关于x的二次函数y=2mx2 +(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点，则m的取值围是[ ] A．m<≥且m≠0C．m=D.m m≠09.某种产品的年产量不超过1 000吨，该产品的年产量（吨）与费用（万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分，如图①所示；该产品的年销售量（吨）与销售单价（万元／吨）之间的函数图象是线段，如图②所示，若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是( )吨时，所获毛利润最大．（毛利润=销售额-费用）①②[ ] A．1 000B．750C. 725D．50010.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为（精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计）[ ] A．5.1 mC．9.1 mD．9.2 m11.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在如图(1)时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4 m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是[ ]A. y= - 2x2B．y=2x2C. y=-2 x2D．y= x212.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？[ ] A．第8秒B．第10秒C. 第12秒D．第15秒二、填空题13.把一根长为100 cm的铁丝剪成两段，分别弯成两个正方形，设其中一段长为xcm，两个正方形的面积的和为S cm2，则S与x的函数关系式是( )，自变量x的取值围是( )．14.如图所示，是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0，1.25)，水流路线最高处B(1，2.25)，则该抛物线的表达式为( )．如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要( )，才能使喷出的水流不致落到池外．15.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 m，跨度是40 m，在线段AB上离中心M处5m的地方，桥的高度是( )m .16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v o(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:(其中g是常数，通常取10m/s)，若v0=10 m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面( )m三、计算题17.求下列函数的最大值或最小值．(l);(2)y=3(x+l) (x-2).四、解答题18.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m．(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道设双行道，现有一辆货运卡车高为4.2 m，宽为2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．19.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x (元)满足一次函数：m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式．(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？能力提升20.如图所示，一边靠学校院墙，其他三边用40 m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB =x m，面积为Sm2(1)写出S与x之间的函数关系式，并求当S=200 m2时，x的值；(2)设矩形的边BC=y m，如果x，y满足关系式x：y=y：(x+y)，即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽．21.某产品每件成本是120元，为了解市场规律，试销售阶段按两种方案进行销售，结果如下：方案甲：保留每件150元的售价不变，此时日销售量为50件；方案乙：不断地调整售价，此时发现日销量y(件)是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售情况如下表：(1)如果方案乙中的第四天，第五天售价均为180元，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？(2)分析两种方案，为了获得最大日销售利润，每件产品的售价应定为多少元？此时，最大日销售利润S是多少？（注：销售利润=销售额-成本额，销售额=售价×销售量）．22.某医药研究所进行某一抗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后可知：成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10-3毫克）随时间xh的变化规律与某一个二次函数y=ax2 +bx+c(a ≠0)相吻合．并测得服用时（即时间为0）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2h，每毫升血液中含药量为6微克；服用后3h，每毫升血液中含药量为7.5微克．(l)试求出含药量y微克与服用时间xh的函数关系式；并画出0≤x≤8的函数图象的示意图；(2)求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．(3)结合图象说明一次服药后的有效时间有多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0 的总时间．）23.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5 m，长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=x m．（不考虑墙的厚度）(1)若想水池的总容积为36 m3，x应等于多少？(2)求水池的容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值围；(3)若想使水浊的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？实践探究24.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有一批物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以40 km/h的速度开往乙地，当行驶1 h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0. 25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？25.全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．如图所示是庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线2车道．(1)建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线EHF的解析式；(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在(1)的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置；(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米．现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由．26.我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商经理按市场价格30元／千克收购了这种野生菌1 000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．(2)若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P 与x之间的函数关系式．(3)经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润=销售总额-收购成本-各种费用）27.在如图所示的抛物线型拱桥上，相邻两支柱间的距离为10 m，为了减轻桥身重量，还为了桥形的美观，更好地防洪，在大抛物线拱上设计两个小抛物线拱，三条抛物线的顶点C、B、D离桥面的距离分别为4m、10 m、2 m．你能求出各支柱的长度及各抛物线的表达式吗？28.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示，如图甲，一件商品的成本Q(元)与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高，如图乙．根据图象提供的信息解答下面问题(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价一成本）(2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t（月）之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月最少获利多少元？29.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元，已知(1)该厂生产并售出x吨，写出这种产品所获利润W（元）关于x（吨）的函数关系式；(2)当生产多少吨这种产品，并全部售出时，获利最多？这时获利多少元？这时每吨的价格又是多少元? 30.某商场销售一种进价为20元／台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台）与销售单价x(元)满足w=-2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时．每天的利润最大？最大利润是多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润．应将销售单价定为多少元？word参考答案1、D2、A3、B4、C5、C6、A7、B8、B9、B10、C11、C12、B13、0<x<10014、y=-（x-1）2+2. 25 2.515、1516、717、解：(l),y有最大值，当x=-l时，y有最大值.(2)y= 3(x+l) (x-2)=3(x2-x-2)a=3>0，y有最小值，当x=时，y有最小值．18、解：设抛物线的解析式为y=ax2+6，又因为抛物线过点(4，2)，则16a+6=2，，抛物线的解析式为y =+6．(2)当x=2.4时，y=+6 =-1. 44+6=4. 56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．19、解：(l)y=(x-30) (162-3x)= - 3 x2 +252x-4860 (2)y= -3 (x-42) 2 +432 当定价为42元时，最大销售利润为432元20、解：(l)S=x(40- 2x)=-2 x2+40x, 当S=200时，.(2)当BC=y，则y=40-2x①又y2 =x(x+y) ②由①、②解得x=20±，其中20+不合题意，舍去，x=20-，y=当矩形成黄金矩形时，宽为20-m，长为m.21、解：(1)方案乙中的一次函数为y= -x+200．第四天、第五天的销售量均为20件．方案乙前五天的总利润为：130×70+150×50+160 ×40+180 ×20+180 ×20-120 ×(70+50+40+20+20)=6 200元．方案甲前五天的总利润为(150-120)×50×5=7 500元，显然6200<7 500，前五天中方案甲的总利润大．(2)若按甲方案中定价为150元／件，则日利润为(150-120)×50=1500元，对乙方案：S =xy-120y=x(-x+200) -120(-x+200)= -x2 +320x- 24000= - (x-160) 2 +1600，即将售价定在160元／件，日销售利润最大，最大利润为1600元．22、解：(1)图象略．(2) 当x=4时，函数y有最大值8．所以服药后4h，才能使血液中的含药量最大，这时的最大含药量是每毫升血液中含有药8微克．(3)图象与x轴两交点的横坐标的差即为有效时间．故一次服药后的有效时间为8h23、解：(l)因为AD= EF=BC=x m，所以AB=18-3x.所以水池的总容积为1. 5x(18-3x)=36，即x2- 6x+8=0，解得x1=2，x2=4，所以x应为2或4．2 +27x，且x的取值围是：0<x<6．(3)V=4.5 x2 +27．所以当x=3时，V有最大值，即若使水池总容积最大，x应为3，最大容积为40.5 m3.24、解：(1)设抛物线的解析式为y= ax2，1 / 10word桥拱最高点0到水面CD的高为h米，则D(5，-h)．B(10，-h-3)．所以即抛物线的解析式为y=-. (2)货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米／时．25、解：(1)以EF所在直线为x 轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，建立平面直角坐标系，显然E(-5，0)，F(5，0)，H(0，3)．设抛物线的解析式为+bx+c 依题意有：所以y= +3．(2)y=1，路灯的位置为（，1）或（一，1）．（只要写一个即可）(3)当x=4时，，点到地面的距离为1.08+2=3.08，因为3.08-0.5=2.58>2.5，所以能通过．26、解：(1)y=x+30（1≤x≤160，且x为整数）(2)P=(x+30)（1000-3x）=-3+910x+30000 (3)由题意得W=（-3+910x+30000）-30×1000-310x=-3（x-100）2+30000 当x=100时，W最大=30000．100天<160天，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．27、解：抛物线OBA过B(50, 40) ,A(100,0)，抛物线OBA的解析式为．当x=20, 30, 40时，y的值分别为：MC=4( m)，EN= (m)，FQ=50-= ( m)，GT= ( m)，BR= 10 (m). G1T1 =GT- (m)，PQ1-FQ= (m)．又抛物线CE过顶点C(10,46),E(20，)，解析式为y=-(x-10)2 +46．而抛物线PD过顶点D(85,48),P(70，)．解析式为y=-(x-85)2+48．x= 80求得y=．KK1=50--，KK1-LL1 = (m)．综上：三条抛物线的解析式分别为：从左往右各支柱的长度分别是：4m，m，m，m，10m，m，10m，m，m，m，m28、解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6-1=5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t（月）的二次函效，由图象可知，抛物线的顶点为(6,4),由题知t=3, 4,5,6,7．(3)由图象可知，M(元)是t（月）的一次函数，其中t=3,4,5,6,7∴当t=5时，W∴所以该公司一月份最少获利元29、解：（1）当x=150吨时，利润最多，最大利润2 000元．当x=150吨时，Q=+45=40（元）．30、解：(1)y=（x-20）（-2x+80）=-2+120x-1600 (2) y=-2+120x-1 600=-2（x-30）2+200 当x=30时，最大利润为y=200元．(3)由题意，y=150，即-2（x-30）2+200=150解得x l=25，x2=3 5．又销售量w=-2x+80随单价增大而减小，故当x=25时，既能保证销售量大，又可以每天获得1 50元的利润．2 / 10。

一、选择题1．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列函数：①2y x =-，②3y x=，③2y x ，④234y x x =++，y 是x 的反比例函数的个数有（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是（ ） A ．18m >B ．1m >-C ．118m -<<D ．1m 18<<4．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x ＝1，在下列结论中：①abc ＞0；②若方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1、x 2，则x 1+x 2＜0；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =-+-与反比例函数a b cy x-+=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A．B．C．D．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上（如图），它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c＜0；②b＜0；③4a﹣2b+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），直线y2＝mx＋n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）．其中正确的是（）A．①②③B．②④C．①③④D．①③⑤8．当函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ）A ．1a =B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =-9．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()4,0，其对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0b <；②420a b c -+>；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④所以正确关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知抛物线()()()12121y x x x x x x =--+<，抛物线与x 轴交于(,0)m ，(,0)n 两点()m n <，则m ，n ，1x ，2x 的大小关系是（ ）A ．12x m n x <<<B ．12m x x n <<<C ．12m x n x <<<D ．12x m x n <<<二、填空题13．如图，二次函数2y ax bx c =++与反比例函数ky x=的图象相交于点()()()1231,1,3,A y B y C y -、、三个点，则不等式2k ax bx c x++>的解是____．14．已知抛物线22y x x n =-+与x 轴只有一个公共点，则n =__________． 15．二次函数y ＝x 2+2x ﹣4的图象的对称轴是_____，顶点坐标是_____．16．已知抛物线22(0)y ax bx a =+-≠的顶点在第三象限，且过点(1,0)，若-a b 的值为整数，则b 的值为___________．17．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点．若()15,P y ，()2,Q m y 是抛物线上的两点，且12y y >，则m 的取值范围是______．18．已知抛物线22y x x c =-+与直线y m =相交于,A B 两点，若点A 的横坐标1A x =-，则点B 的横坐标B x 的值为_______．19．将抛物线()214y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴只有一个交点，则a 的值为_________；20．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．三、解答题21．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C 的距离．22．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并求出对称轴及顶点坐标；（2）若与x 轴的两个交点为A 、B ，与y 轴交于点C ．在该抛物线上找一点D ，使得△ABC 与△ABD 全等，求出D 点的坐标．23．商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间存在如图所示的关系，其中成本为20元/个． （1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围?24．如图，在Rt ABC ∆中，90,5,60ACB AC cm BAC ∠=︒=∠=︒，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（05t ≤≤），连接MN ． （1）若MBN ∆与ABC ∆相似，求t 的值；（2）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．25．已知抛物线的顶点坐标是()1,4-，且过点(0,3)．()1求这个抛物线对应的函数表达式． ()2在所给坐标系中画出该函数的图象． ()3当x 取什么值时，函数值小于0?26．如图1，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点A （2，0）B （6，0），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式； （2）求ACB ∠的正切值；（3）如图2，过点C 的直线交抛物线于点D ，若45ACD ∠=︒，求点D 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解． 【详解】 解：2(0)y ax bx a =+≠，0c，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误；A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴bx 02a=->， 所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交， 所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．2．A解析：A 【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x =-是一次函数，故选项①不符合题意；3y x=是反比例函数，故选项②符合题意； 2yx 是二次函数，故选项③不符合题意；234y x x =++是二次函数，故选项④不符合题意；∴y 是x 的反比例函数的个数有：1个 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解．3．A解析：A 【分析】根据二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，可设()()2121m x x y m m +--+=，从而得到1m +＞0且∆＜0，进而即可求得m 的取值范围． 【详解】解：设()()2121m x x y m m +--+=，∵关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正， ∴()()2121m x m x m +--+＞0，∴在函数()()2121m x x y m m +--+=中，1m +＞0，且()()22141m m m ∆=--⎡⎤-+⎣⎦＜0，解得：m ＞18故选：A 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质．4．C解析：C 【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定a 、b 、c 的符号，根据抛物线对称轴确定x 1+x 2的符号，根据当x=2时，判断4a+2b+c 的符号，根据二次函数的增减性对④进行判断． 【详解】解：①∵开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0，∴abc ＞0，∴①正确； ②从图象可知，抛物线对称轴为直线x=122x x +=1，则x 1+x 2=2>0，∴②错误； ③抛物线对称轴是x=1，根据抛物线得对称性可知当x=2和x=0时函数值相等， ∴y=4a+2b+c ＜0，∴③正确；④抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确； 故选：C 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．5．B解析：B 【分析】先根据二次函数2y ax bx c =++的图象判断出a 、b 、c 、a b c -+的符号，再用排除法对四个答案进行逐一检验． 【详解】解：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知，0a >，因为图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以0c <，对称轴位于y 轴右侧，可知02ba->，所以0b <， ∵0a >，0b <，0c <，0ac <， ∴b 2−4ac ＞0，-b ＞0，∴二次函数24y bx b ac =-+-的图象过一、二、四象限，故可排除A 、C ； 由函数图象可知，当1x =-时，0y >，即0y a b c =-+>， ∴反比例函数a b cy x-+=的图象在一、三象限，可排除D 选项， 故选：B ． 【点睛】此题比较复杂，综合考查了二次函数、一次函数及反比例函数图象的特点，锻炼了学生数形结合解题的思想方法．6．A解析：A 【分析】根据抛物线与y 轴的交点位置可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到x ＝2ba-＝1，则b ＝﹣2a ＜0，于是可对②进行判断；利用x ＝﹣2，y ＞0可对③进行判断． 【详解】解：∵抛物线与y 轴的交点坐标在x 轴下方， ∴c ＜0，所以①正确； ∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即2ba-＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，所以②正确； ∵由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＞0，所以③正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确读取图象信息，认真推理判断．7．C解析：C 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a ＜0，由对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据函数图象得当1＜x ＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线的顶点坐标A （1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴2a ＋b ＝0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∴b ＝﹣2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标A （1，3）， ∴x ＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）， ∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以④正确． ∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0）， 而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识，考查知识点较多，解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题．8．D解析：D【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．【详解】∵函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数，∴a-1≠0，2a 1+=2，∴a≠1，21a =，∴1a =-，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 9．C解析：C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x 轴y 轴的交点，综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向上，因此a ＞0，抛物线的对称轴为x=-2b a=1，所以0b <，所以①正确；抛物线的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为（4，0），则另一个交点（-2，0），于是4a-2b+c=0，所以②不正确；x ＞1时，y 随x 的增大而增大，所以③正确；抛物线与x 轴有两个不同的交点，因此一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故答案为：C ．【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，掌握二次函数的图形和系数之间的关系是正确判断的前提． 10．B解析：B【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④.【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误. 结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b a-=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.综上所述，本题正确结论为②④，共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.11．C解析：C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <，根据“左同右异”可得0b >，∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确；根据根与系数的关系可得122c x x a==-， ∴21c a =->， 解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；故选C ．【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 12．A解析：A【分析】根据题意画出草图，结合图象解答即可．【详解】解：当x=x 1时，y=1；当x=x 2时，y=1；又∵m<n ，()()()12121y x x x x x x =--+<的二次项系数大于0，∴函数图象大致如图所示，∴12x m n x <<<，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意画出函数的大致图象是解答本题的关键．二、填空题13．或【分析】不等式的解集对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分找出x 的范围即可【详解】解：不等式的解对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分∴不等式的解为或故答案为：或【点睛】本解析：10x -<<或13x <<【分析】不等式的解集对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，找出x 的范围即可．【详解】 解：不等式2k ax bx c x++>的解对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，∴不等式2k ax bx c x++>的解为10x -<<或13x <<， 故答案为：10x -<<或13x <<．【点睛】本题考查利用函数图象解不等式，即比较图象的高低．14．【分析】由抛物线与x 轴只有一个公共点可知对应的一元二次方程根的判别式△＝b2−4ac ＝0由此即可得到关于n 的方程解方程即可求得n 的值【详解】解：∵抛物线与x 轴只有一个公共点∴△＝4−4×1×n ＝0解解析：1【分析】由抛物线22y x x n =-+与x 轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程220x x n -+=根的判别式△＝b 2−4ac ＝0，由此即可得到关于n 的方程，解方程即可求得n 的值．【详解】解：∵抛物线22y x x n =-+与x 轴只有一个公共点，∴△＝4−4×1×n ＝0，解得n ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，利用二次函数根的判别式的和抛物线与x 轴的交点个数建立方程是解题的关键．15．直线x ＝﹣1（﹣1﹣5）【分析】把一般式化为顶点式计算即可；【详解】∵y ＝x2+2x ﹣4＝（x+1）2﹣5∴该函数图象的对称轴是直线x ＝﹣1顶点坐标为（﹣1﹣5）故答案为：直线x ＝﹣1（﹣1﹣5）【解析：直线x ＝﹣1 （﹣1，﹣5）【分析】把一般式化为顶点式计算即可；【详解】∵y ＝x 2+2x ﹣4＝（x +1）2﹣5，∴该函数图象的对称轴是直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5），故答案为：直线x ＝﹣1，（﹣1，﹣5）．【点睛】本题主要考查了二次函数对称轴和顶点坐标的求解，准确计算是解题的关键．16．或1或【分析】首先根据题意确定ab 的符号然后进一步确定b 的取值范围根据a-b 的值为整数确定ab 的值从而确定答案【详解】解：∵抛物线的顶点在第三象限且过点∴a ＞0∴b ＞0a=2-ba-b=2-b-b= 解析：32或1或12 【分析】 首先根据题意确定a 、b 的符号，然后进一步确定b 的取值范围，根据a-b 的值为整数确定a 、b 的值，从而确定答案．【详解】解：∵抛物线22(0)y ax bx a =+-≠的顶点在第三象限，且过点(1,0)，∴a ＞0，02b a-<，20a b +-=， ∴b ＞0，a=2-b ，a-b=2-b-b=2-2b ，∴2-b ＞0，∴0＜b ＜2，∴-2＜2-2b ＜2，∵a-b 的值为整数，∴a-b=-1或0或1，∴2-2b=-1或2-2b=0或2-2b=1， 解得：b=32或b=1或b=12， ∴b=32或1或12， 故答案为：32或1或12． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出a 、b 的取值范围．17．【分析】根据图像经过的两点确定抛物线的对称轴利用对称轴确定P 的对称点利用数形结合思想确定m 的范围即可【详解】∵抛物线经过两点∴解得b=-6a ∴抛物线的对称轴为直线x==3∴的对称点为∵∴故填【点睛】解析：15m <<.【分析】根据图像经过的两点，确定抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P 的对称点，利用数形结合思想，确定m 的范围即可.【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点，∴4201640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩， 解得b=-6a ，∴抛物线的对称轴为直线x=2b a-=3, ∴()15,P y 的对称点为()11,P y '，∵12y y >，∴15m <<，故填15m <<.【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键.18．3【分析】根据题意AB 的纵坐标相同先根据A 的横坐标求得纵坐标把纵坐标代入解析式解关于x 的方程即可求得【详解】解：把xA=-1代入y=x2-2x+c 得y=1+2+c=3+c ∴A （-13+c ）∵抛物线y解析：3【分析】根据题意A 、B 的纵坐标相同，先根据A 的横坐标求得纵坐标，把纵坐标代入解析式，解关于x 的方程即可求得．【详解】解：把x A =-1代入y=x 2-2x+c 得，y=1+2+c=3+c ，∴A （-1，3+c ），∵抛物线y=x 2-2x+c 与直线y=m 相交于A ，B 两点，∴B 的纵坐标为3+c ，把y=3+c 代入y=x 2-2x+c 得，3+c=x 2-2x+c ，解得x=-1或x=3，∴点B 的横坐标x B 的值为3，故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，明确A 、B 的纵坐标相同是解题的关键．19．4【分析】根据上加下减左加右减的规律写出平移后抛物线的解析式由新抛物线恰好与x 轴有一个交点得到△由此求得的值【详解】抛物线y ＝（x+1）2﹣4向上平移a 个单位后得到的抛物线的解析式为y ＝（x+1）2解析：4【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与x 轴有一个交点得到△0=，由此求得a 的值．【详解】抛物线y ＝（x +1）2﹣4向上平移a 个单位后得到的抛物线的解析式为y ＝（x +1）2﹣4+a ，即223y x x a =+-+∵新抛物线恰好与x 轴有一个交点，∴△()244430b ac a =-=--+= 解得4a =故答案为：4．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．20．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析：①②④．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【详解】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y 轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y 轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．【点睛】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x ，y 轴的交点坐标等．三、解答题21．（1）y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）5米【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A 的坐标，求得a 的值，则可求得抛物线的解析式；（2）令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4，将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4，解得：a＝﹣1，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）∵y＝﹣（x﹣3）2＋4，∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4，解得：x1＝1，x2＝5，∵起跳点A坐标为（2，3），∴x1＝1，不符合题意，∴x＝5，∴运动员落水点与点C的距离为5米．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．22．（1）y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为：x＝1，顶点（1，－4）；（2）D（2，﹣3）【分析】（1）把（1，﹣4）和（﹣2，5）代入，解方程即可；根据解析式可求对称轴和顶点坐标；（2）根据对称性确定D点位置，求出坐标．【详解】解：（1）由题意，得14 425b cb c++=-⎧⎨-+=⎩，解得，23 bc=-⎧⎨=-⎩，所以，该抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3的对称轴为：2121x -=-=⨯， 把x ＝1代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得，y =-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4） （2）根据轴对称的性质，点C 关于x ＝1的对称点D 即为所求，此时，AC ＝BD ，BC ＝AD ，在△ABC 和△BAD 中，∵AB BA AC BD BC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△BAD （SSS ）．在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，令x ＝0，得y ＝﹣3，则C （0，﹣3），根据C 点、D 点关于x ＝1对称，则D 点坐标为（2，-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，根据二次函数的对称性解决问题．23．（1）1003400y x =-+；（2）每个不低于21元且不高于30元【分析】（1）观察图形，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数关系式； （2）设每天的销售利润为w 元，根据利润=每个的利润×销售数量，即可得出w 关于x 的函数关系式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出当w =1300时x 的值，再利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，将（25，900），（28，600）代入y =kx +b ，得2590028600k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得1003400k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为y =-100x +3400；（2）设该商品每天的销售利润为w 元，由题意得w =(x -20)•y=(x -20)(-100x +3400)=-100x 2+5400x -68000当w =1300时，即-100x 2+3600x -68000=1300，解得：121x =，233x =，画出每天利润w 关于销售单价x 的函数关系图象如解图，又∵单价不高于30元/个，∴当该商品的销售单价每个不低于21元，且不高于30元时，可保证每天利润不低于1300元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y 与x 之间的函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y =1300时x 的值．24．（1）52t =或157；（2） 2.5t =，最小值为7538 【分析】（1）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；②当△NBM ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；（2）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，证出△BMD ∽△BAC ，得出比例式求出MD=t ．四边形ACNM 的面积y=△ABC 的面积-△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【详解】解：（1）∵在Rt ABC ∆中，90,5,60ACB AC BAC ∠=︒=∠=︒，∴30B ∠=︒， ∴210,53AB AC BC ===分两种情况：①当MBNABC ∆∆时，MB BN AB BC =，即25331053t t -=52t =； ②当NBM ABC ∆∆时，MB BN BC AB =53335t -=157t =．综上所述，当52t =或157时，MBN ∆与ABC ∆相似； （2）过点M 作MD BC ⊥于点D ，则//MD AC ，∴BMD BAC ∆∆， ∴MD BM AC AB =，即2510MD t =，解得MD t =． 设四边形ACNM 的面积为y ，())2113753553533 2.52228y t t t =⨯⨯=-+． ∴当 2.5t =时，y 取得最小值，最小值为7538． 【点睛】 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．25．()()2114y x =-++或223y x x =--+；()2见解析；()33x <-或1x > 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，由抛物线()214y a x =++过点(0,3)，1a =-即可；（2）列表，描点在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）用平滑曲线连接即可；（3）由函数值小于0，可得函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧即可．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，抛物线()214y a x =++过点(0,3)，1a =-，抛物线的解析式为()214y x =-++；（2）列表： x… -3 -2 -1 0 1 … y… 0 3 4 3 0 … 0）连线：用平滑曲线连接，（3）∵函数值小于0， ∴函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧，当x<-3或x>1时，函数值小于0．【点睛】本题考查抛物线的解析式，画函数图像，函数图像的位置关系，掌握抛物线的解析式的求法，描点画函数图像的方法，函数图像与x 轴关系自变量范围是解题关键．26．（1）21462y x x =-+；（2）12；（3）D 57,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）直接将点A 、B 的坐标代入26y ax bx =++ 中求得a 、b 的值即可； （2）过点A 作AE AC ⊥点A ，交BC 于点E ，过点E 做EF x ⊥轴于点F ，证出EF BF =．设EF BF x ==，则4AF x =-，证出AOC EFA ∽△△．求出1x =．即可求出12AE EF AC OA ==． （3）过点A 作AM AC ⊥于点A ，交CD 于点M ，过点M 做MN x ⊥轴于点N ．证出AOC MNA ≌△△，求出点M (8，2)直线MC 的解析式162y x =-+，列方程组求出点D 坐标(7，52)（1）∵点A(2，0)和点B(6，0)在26y ax bx =++，∴ 将点A(2，0)和点B(6，0)代入26y ax bx =++得：426036660a b a b ++=⎧⎨++=⎩ ， 解得：124a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴21462y x x =-+； （2）解：过点A 作AE AC ⊥点A ，交BC 于点E ，过点E 做EF x ⊥轴于点F ， ∵AE ⊥AC ，EF ⊥AB ，∴∠EFB=90°，∵B(6，0)，C(0，6)，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴EF=BF ，设EF BF x ==，则4AF x =-，∵∠CAO+∠EAF=90°，∠AEF+∠EAF=90°，∴∠CAO=∠AEF ，∴AOC EFA ∽△△，∴AF EF OC AO = ， 即462x x -= ， 解得：1x =． ∴tan ACB ∠=12AE EF AC OA ==．（3）解：过点A 作AM AC ⊥于点A ，交CD 于点M ，过点M 做MN x ⊥轴于点N ．∵∠ACD=45°，∠CAM=90°，∴△CAM 为等腰直角三角形，∴CA=AM ，又∵∠CAO+∠MAB=90°，∠AMN+∠MAB=90°，∴∠CAO=∠AMN ，在△AOC 和△MNA 中⎧⎪⎨⎪⎩∠COA=∠ANM ∠CAO=∠AMN CA=AM ， ∴AOC MNA ≌△△（AAS ），∴ MN=OA=2，AN=OC=6，∴ M(8，2)，∴设直线MC 的解析式为：y kx b =+ ，将C(0，6)，M(8，2)，代入得：682b k b =⎧⎨+=⎩ ， 解得：126k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ， ∴ 直线MC 的解析式162y x =-+， ∴21462162y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 解得：06x y =⎧⎨=⎩ （舍去）752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴D (7，52)；【点睛】本题考查了相似三角形与全等三角形的性质与判定，二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的性质；熟练掌握知识点是解题的关键；。

一、选择题1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（1，﹣4a ），点A （4，y 1）是该抛物线上一点，若点B （x 2，y 2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④若0≤x 2≤4，则﹣3a ≤y 2≤5a ．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．在二次函数2y ax bx c =++中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表 则m 的值为（ ）． x -2 -1 0 1 2 3 4 y72-1-2m27A ．1B ．-1C ．2D ．-23．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；②320b c +<；③()m am b b a ++≤；④22()a c b +<；其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．抛物线222=++y x x 与y 轴的交点坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（0，1） C ．（0，0） D ．（0，2） 5．抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣2B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝26．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（1，0），则下列结论正确的是（ ）A ．0c >B ．0ab >C ．0a b c ++>D ．0a b +>7．抛物线23y x =向左平移5个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） A ．23(5)1y x =-+ B ．23(-5)1y x =- C ．23(5)1y x =+- D ．23(5)1y x =++8．当函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ）A ．1a =B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =-9．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知二次函数223y x x =--+，下列叙述中正确的是（ ） A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为直线1x =C ．函数有最小值D ．当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小11．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，点A 在(4,0)-与(3,0)-之间（不包含这两点），抛物线的顶点为,D 对称轴是直线2x =-．有下列结论：①0abc <；②若点()1283,;,3M y N y ⎛--⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >；③13a >-；④若1,a =-则ABD △是等边三角形．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．将抛物线()2214y x =--+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．()2241y x =-++ B ．()2221y x =--+ C ．()2246y x =--+D ．()2242y x =--+二、填空题13．函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图像如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x ＝2，下列结论正确的是_____． ①4a +b ＝0； ②24a +2b +3c <0；③若A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，y 1<y 2<y 3； ④当y 1>﹣1时，y 随x 增大而增大．14．将二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y ＝2x +1上，则k 的值为_____． 15．若点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上，则y 1_____y 2．16．设()()y x a x b =++的图象与x 轴有m 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x轴有n 个交点，则所有可能的数对(,)m n 是__________. 17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：x0 1 2 3 y75713则代数式(42)()a b c a b c ++-+的值为_______．18．将二次函数245y x x =-+化为()2y x h k =-+的形式，则y =________________． 19．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的动点，过点E 作AE 的垂线交CD 边于点F ，设BE x =，FD y =，y 关于x 的函数关系图像如图所示，则m =________．20．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表：该二次函数图象向左平移____________个单位，图象经过原点． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…4664…三、解答题21．如图，抛物线y ＝a （x ﹣1）2+4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，过点C 作CD//x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连接BD ，已知点A 的坐标为（﹣1，0） （1）求该抛物线的解析式； （2）求梯形COBD 的面积．（3）直线BC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点．（1）抛物线与x 轴的交点坐标为______； （2）求抛物线与坐标轴围成的ABC 的面积；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足6PAB S =△，并求出此时P 点的坐标．23．2020年12月12日零时，某电商平台“双十二”购物狂欢节预售付尾款活动正式开启，如图是织里童装某产品每小时的成交量y （万件）与时间x （时）的函数图象，y 与x 的关系正好可用两段二次函数12,y y 的图象来表示，点A 是两段函数的顶点，其中01x 时，图象的解析式为213y x mx =-+；17x 时，图象的解析式为2y ．（1）根据函数图象，求几时成交量达到最大值？最大值为多少？（2）系统平台显示，当成交量达到2.25万件以上时（包括2.25万件），需要专门安排后台技术人员做维护，请问：需要维护多少时间才能保证系统全程正常运行？24．已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）连接,BC AC ，若ABC 为等边三角形，求m 的值． 25．已知抛物线的顶点坐标是()1,4-，且过点(0,3)．()1求这个抛物线对应的函数表达式． ()2在所给坐标系中画出该函数的图象． ()3当x 取什么值时，函数值小于0?26．如图①，抛物线23y x bx c =++与x 轴交于()()1,0,3,0A B -两点，点C 是抛物线顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，连接,AC BC ．若点,P D 分别是抛物线对称轴和BC 上动点，求PB PD +的最小值；（3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上方抛物线上一点，点N 是x 轴上一点，当以,,,M N B D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点N 坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a ＝a +b +c ，b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，则可对①进行判断；抛物线解析式为y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，配成交点式得y ＝a （x ﹣3）（x +1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x ＝4时，y ＝5a ，则根据二次函数的性质可对④进行判断． 【详解】解：①∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a ），∴x ＝﹣2ba＝1，且﹣4a ＝a +b +c ， ∴b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∵抛物线开口向上，则a ＞0，∴4a ﹣2b +c ＝4a +4a ﹣3a ＝5a ＞0，故结论①正确； ②∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣3）（x +1），∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确； ③∵点A （4，y 1）关于直线x ＝1的对称点为（﹣2，y 1）， ∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x 2＜﹣2，故结论③错误； ④当x ＝4时，y 1＝16a +4b +c ＝16a ﹣8a ﹣3c ＝5a ， ∴当0≤x 2≤4，则﹣4a ≤y 2≤5a ，故结论④错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质的相关知识并能灵活运用所学知识求解是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据二次函数的性质，结合题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得c 的值；将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，通过求解二元一次方程，即可得到a 、b 的值，从而得到二次函数解析式，经计算即可得到答案． 【详解】根据题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得1c =- ∴21y ax bx =+-将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，得1212a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ ∴1a =，2b =- ∴221y x x =--当2x =时，222211m =-⨯-=- 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．3．D解析：D 【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，所以a<0，与y 轴交于正半轴，所以c ＞0， ∴ac<0，∵b²≥0，∴20ac b -<，∴①正确； ∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c ＜0， ∴2a+2b+2c ＜0，∵-2ba -=-1， ∴b=2a ，∴3b+2c ＜0，∴②正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=-1， ∴y=a-b+c 的值最大，即把x=m 代入得：y=am 2+bm+c≤a -b+c ， ∴am 2+bm+b≤a ，即m （am+b ）+b≤a ，∴③正确； ∵a+b+c ＜0，a-b+c ＞0，∴（a+c+b ）（a+c-b ）＜0， 则（a+c ）2-b 2＜0， 即（a+c ）2＜b 2，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．4．D解析：D 【分析】令x=0，则y=2，抛物线与y 轴的交点为 (0，2) 【详解】 令x=0，则y=2，∴抛物线与y 轴的交点为(0，2)， 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键；5．C解析：C 【分析】先将抛物线化为顶点式，即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1＝x 2﹣2x +1﹣2＝(x ﹣1)2﹣2， 所以对称轴是直线x ＝1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能将抛物线化为顶点式．6．A解析：A 【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可． 【详解】解：A 、图像与y 轴交于正半轴，则0c >，A 正确； B 、图象的开口向下，则0a <； 对称轴在y 轴右边且0a <，根据对称轴=0ba->，得 0b >； a 、b 异号，B 错误；C 、将（1，0）代入函数表达式，得0a b c ++=，C 错误；D 、A 中结论0c >，C 中结论0a b c ++=，所以 0a b +<，D 错误； 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键．7．C解析：C 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y=3x 2向左平移5个单位所得直线解析式为：y=3（x+5）2； 再向下平移1个单位为：y=3（x+5）2-1． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．8．D解析：D 【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 【详解】 ∵函数21(1)23ay a x x +=-++ 是二次函数，∴a-1≠0，2a 1+=2， ∴a≠1，21a =， ∴1a =-， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．9．B解析：B 【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④. 【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误.结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b a-=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.综上所述，本题正确结论为②④，共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.10．D解析：D【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．【详解】解：A. 2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 错误；B.2223=(1)4y x x x =--+-++∴图象的对称轴为直线1x =-，故选项B 错误；C.2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C 错误；D. 2223=(1)4y x x x =--+-++∴当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可．11．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由开口可知：a ＜0，∴对称轴22b x a=-=-， ∴b<0，由抛物线与y 轴的交点可知：c<0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴22b x a =-=-，a ＜0， 在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，∵8323-<-<-， ∴12y y <，故②错误；③当1x =-，20y ax bx c a b c =++=-+>，∵对称轴22b x a=-=-，抛物线与y 轴的交点C(0，-1)， ∴4b a =，1c =-，∴410a a -->，解得：13a <-，故③错误；④∵1a =-，1c =-，∴44b a ==-，∴抛物线的解析式为()224123y x x x =---=-++， ∴顶点D 的坐标为(-2，3)，解方程()2230x -++=得：23x =-±，∴23AB =，根据抛物线的对称性，BE=3，DE=3，∴DB=()223323+=，∴DB=AD=AB=23，∴ABD △是等边三角形．故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．12．D解析：D【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-2（x-1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为：y=-2（x-1-3）2+4-2，即y=-2（x-4）2+2；故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．二、填空题13．①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出过点（﹣10）代入可得出c ＝﹣5a 代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小函数值越大据此可判断③；由抛物线的图像的增 解析：①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出=4b a -，过点（﹣1，0），代入可得出c ＝﹣5a ，代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；由抛物线的图像的增减性直接判断④．【详解】函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴2b x a =-， ∵ 对称轴2x =， ∴=22b a-， ∴=4b a -，∴ 4+=0a b ，故①正确；有图可知，a ＜0，∴=4b a -，∴ 2=8b a -，过点（﹣1，0），∴ a-b+c ＝0，∴ b=a+c ，即a+c=﹣4a ，∴ c ＝﹣5a ，∴24a +2b +3c ＝24a －8a －15a ＝a ＜0，故②正确；当x ＝0时，y ＝c ，∵A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，点A 与2x =的水平距离为5，点B 与2x =的水平距离为2.5，点C 与2x =的水平距离为1.5，∵5＞2.5＞1.5，∴ 123y y y <<，故③正确；有图可知，当11y >-，y 随x 增大先增大后减小，故④不正确；综上，正确的有：①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．14．0【分析】先求出二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k+1的图象平移后的顶点坐标再将它代入y ＝2x+1即可求出k 的值【详解】解：∵二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k+1的顶点坐标为（kk+1）∴将y ＝﹣（x ﹣k解析：0【分析】先求出二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的图象平移后的顶点坐标，再将它代入y ＝2x +1，即可求出k 的值．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的顶点坐标为（k ，k +1），∴将y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为（k +1，k +3）．根据题意，得k +3＝2（k +1）+1，解得k ＝0．故答案是：0．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减正确求出二次函数y ＝−（x−k ）2＋k ＋1的图象平移后的顶点坐标是解题的关键．15．＜【分析】把AB 两点坐标代入函数关系式再根据已知条件求出的值最后求出答案即可【详解】解：∵点A （﹣y1）B （y2）都在二次函数y ＝﹣x2+2x+m 的图像上∴====∴故答案为：＜【点睛】本题考查了二【分析】把A ，B 两点坐标代入函数关系式，再根据已知条件求出21y y -的值，最后求出答案即可．【详解】解：∵点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上， ∴21y y -=224041404111()2[()2()]2021202120212021m m -+⨯+---+⨯-+ =2111(2)2(2)()202120212021--+⨯-+-222021+ =22412124()4()20212021202120212021-+-+-++ =402021> ∴12y y <故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能选择适当的方法求解是解答此题的关键． 16．（11）（10）（21）（22）【分析】分别对ab 的值分类讨论根据直线和二次函数的交点式：y ＝a （x ﹣x1）（x ﹣x2）（abc 是常数a≠0）得出抛物线与x 轴的交点坐标情况即可求解【详解】因为是二次解析：（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）【分析】分别对a 、b 的值分类讨论，根据直线和二次函数的交点式：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（a ，b ，c 是常数，a≠0），得出抛物线与x 轴的交点坐标情况，即可求解．【详解】因为()()y x a x b =++ 是二次函数，令()()y x a x b =++=0，有0x a +=或0x b +=，解得：x a =-或x b =-；对m 来说，①当a b =时，图像与x 轴有一个交点，即1m =；② 当a b 时，图像与x 轴有两个交点，即2m =；函数(1)(1)y ax bx =++：令(1)(1)0y ax bx =++=，有10ax +=或10bx +=， 对n 来说，①当0a b =≠时，关于x 的方程有一个解，图象与x 轴有1个交点，即1n =；②当0a b 时，关于x 的方程无解，图像与x 轴没有交点，即0n =；③当a b 且0ab =时，关于x 的方程有一个解，图象与x 轴有1个交点，即1n =； ④ 当a b 且0ab ≠时，关于x 的方程有两个不相等的解，图像与x 轴有两个交点，即综上所述，当a b =时，1n =或0n =；当a b 时，1n =或2n =．∴所有可能的数对(,)m n 是（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）故答案为：（1，0）或（2，1）或（1，1）或（2，2）．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，解决本题的关键是正确理解二次函数的交点式． 17．91【分析】观察表格可知：x=0时y=7x=2时y=7即可求得抛物线的对称轴为直线x==1根据抛物线的对称性求得x=-1时y=13从而求得4a+2b+c=7a-b+c=13【详解】解：观察表格可知：解析：91【分析】观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，即可求得抛物线的对称轴为直线x=022+=1，根据抛物线的对称性求得x=-1时，y=13，从而求得4a+2b+c=7，a-b+c=13．【详解】解：观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1， ∵x=3时，y=13，∴x=-1时，y=13，∴4a+2b+c=7，a-b+c=13，∴（4a+2b+c ）（a-b+c ）的值为91，故答案为91．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．【分析】利用配方法将原抛物线解析式化为顶点式【详解】解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1∴y=（x-2）2+1故答案是:【点睛】此题主要考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式掌握配方法是关键解析：()221x -+【分析】利用配方法将原抛物线解析式化为顶点式，【详解】解： y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1，∴y=（x-2）2+1，故答案是: ()221x -+．【点睛】此题主要考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是关键．19．2【分析】设正方形的边长为a 则CFEC 均可用a 表示证明△ABE ∽△ECF 写出比例式找到y 与x 之间的函数式根据二次函数的最值求法结合所给函数图象求出a 值而后可求m 值【详解】设正方形的边长为a 则CF=a解析：2【分析】设正方形的边长为a ，则CF 、EC 均可用a 表示，证明△ABE ∽△ECF ，写出比例式找到y 与x 之间的函数式，根据二次函数的最值求法，结合所给函数图象，求出a 值，而后可求m 值．【详解】设正方形的边长为a ，则CF=a-y ．∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEC+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF ．又∠B=∠C ，∴△ABE ∽ECF ， ∴BE FC AB EC =，x a y a a x-=-， 整理得：21y x x a a =-+， 当2a x =时，y 有最小值34a ， 从所给函数图象上看，当x m =时，y 有最小值3， ∴334a =， 解得：4a =， ∴22a x m ===． 故答案为：2．【点睛】 本题主要考查了动点问题产生的函数图象、相似三角形的判定和性质，解题的关键是动中找静，会阅读图象信息．20．3【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x 轴另一个交点为（30）可得结论【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x ＝＝∵抛物线与x 轴一个交点为（−20）∴抛物线与x 轴另一个交点为（30）∴该二次解析：3【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x 轴另一个交点为（3，0），可得结论．【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x ＝012+＝12， ∵抛物线与x 轴一个交点为（−2，0），∴抛物线与x 轴另一个交点为（3，0）， ∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移2个单位，图象经过原点．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换−平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．三、解答题21．（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+4；（2）6；（3）存在，当P 31524⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，△PBC 的面积最大，最大值为278． 【分析】（1）把A 的坐标代入抛物线解析式求得a 的值即可得解；（2）根据抛物线的性质可以得到CD 、OC 、OB 的值，再根据梯形面积的计算公式可以得到答案；（3）过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点F ，交AB 于点E ，设P （m ，﹣2m +2m+3），则△PBC 的面积可以表示为m 的二次函数，最后根据二次函数的性质即可得到解答．【详解】解：（1）将A （﹣1，0）代入y ＝()214a x -+中，解得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为y ＝()214x --+；（2)对于抛物线解析式y ＝()214x --+，令x ＝0，得到y ＝3，即OC ＝3，∵抛物线解析式为y ＝()214x --+的对称轴为直线x ＝1， ∴CD ＝1，∵A （﹣1，0），∴B （3，0），即OB ＝3则COBD S 梯形＝1332+⨯（）＝6； （3）y ＝()221423x x x --+++＝﹣．设直线BC 为(0)y px q p =+≠将B （3，0），C （0，3）代入直线BC 得：直线BC 的解析式为：y ＝﹣x+3．如图，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点F ，交AB 于点E ，设P （m ，﹣2m +2m+3），则F （m ，﹣m+3），∴PF ＝﹣2m +2m+3+m ﹣3＝﹣2m +3m ．∴PBC S ＝12PF•OB ＝12（﹣2m +3m ）×3 ＝23327m 228--+（） ∴当m=32时，△PBC 的面积最大，此时﹣2m +2m+3=2332322-+⨯+（）=154， 即当P 31524（，）时，△PBC 的面积最大，最大值为278． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一次函数解析式的求法、抛物线的性质及梯形和三角形面积的求法是解题关键．22．（1）()1,0-或()3,0；（2）6；（3）点P 的坐标为()17,3、()17,3、()0,3-、()2,3-．【分析】（1）令y=0，转化为一元二次方程，方程的根就是与x 轴交点的横坐标；（2）求出AB 的长度，OC 的长度，按公式计算即可；（3）利用面积公式，抛物线的解析式转化成一元二次方程求解即可．【详解】解：（1）当0y =时，2230x x --=，解得 11x =-，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0-或()3,0，故答案为：()1,0-或()3,0．（2）由（1）点()1,0A -，()3,0B ，()0,3C-， ∴()314AB =--=，3OC =， ∴14362ABC S =⨯⨯=△． （3）∵点()1,0A -，点()3,0B ，()222314y x x x =--=--，∴此抛物线有最小值，此时4y =-，()314AB =--=，∵6PAB S =△，抛物线上有一个动点P ，∴点P 的纵坐标的绝对值为6234⨯=， ∴2233x x --=或2233x x --=-， 解得，117x =，217x =，30x =，42x =，∴点P 的坐标为()17,3、()17,3-、()0,3-、()2,3-．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，抛物线上的内接三角形的面积，动点问题，熟练掌握性质，并能灵活运用是解题的关键．23．（1）当x=1时，y 1有最大值，最大值为3；（2）需要维护3.5小时才能保证系统全程正常运行．【分析】（1）根据函数图象，点A 是两段函数的顶点，其中01x 时，图象的解析式为213y x mx =-+，可知对称轴，从而根据122(3)b m x a =-=-=⨯-，可求得m 的值，则可得1y 的解析式，根据二次函数的性质可得答案．（2）由（1）可知，顶点(1,3)A ，设22(1)3y n x =-+，把(7,0)代入，求得n 的值，则可知2y 的解析式，分别令1 2.25y =，2 2.25y =，得到关于x 的方程，求得方程的解，再结合相应的取值范围即可得出答案．【详解】解：（1）122(3)b m x a =-=-=⨯-， 6m ∴=，2136y x x ∴=-+，∴当1x =时，1y 有最大值，最大值为：363-+=．（2）由（1）可知，顶点(1,3)A ，设22(1)3y n x =-+， 把(7,0)代入得：20(71)3n =-+，解得：112n =-， 221(1)312y x ∴=--+， 当1 2.25y =时，22.2536x x =-+，解得：1 1.5x =（舍)，20.5x =；当2 2.25y =时，212.25(1)312x =--+， 解得：32x =-（舍)，44x =．40.5 3.5-=（小时）．∴需要维护3.5小时才能保证系统全程正常运行．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（1）(1,0)A -，(3,0)B ；（2）2m =【分析】（1）把y=0代入，解方程即可；（2）求出顶点坐标，过C 作CD AB ⊥于D ，求出CD 即可．【详解】解：（1）2230mx mx m --=，∵0m >，方程两边同时除以m 得， 2230x x --=解得，13x =，21x =-∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,0)A -，(3,0)B ．（2）抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为：212m x m-=-=， 把x=1代入223y mx mx m =--得，y=-4m ，抛物线的顶点C 的坐标为：(1,4)C m -由（1）得，AB=4，过C 作CD AB ⊥于D ，∵ABC 为等边三角形，∴AD=2，AC=4， ∴22224223CD AC AD =-=-=∵点C 在第四象限， ∴43m =∴3m =． 【点睛】 本题考查求二次函数与x 轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系．25．()()2114y x =-++或223y x x =--+；()2见解析；()33x <-或1x > 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，由抛物线()214y a x =++过点(0,3)，1a =-即可；（2）列表，描点在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）用平滑曲线连接即可；（3）由函数值小于0，可得函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧即可．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，抛物线()214y a x =++过点(0,3)， 4=3a +，1a =-，抛物线的解析式为()214y x =-++； （2）列表：x… -3 -2 -1 0 1 … y… 0 3 4 3 0 … 0）连线：用平滑曲线连接，（3）∵函数值小于0，∴函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧，当x<-3或x>1时，函数值小于0．【点睛】本题考查抛物线的解析式，画函数图像，函数图像的位置关系，掌握抛物线的解析式的求法，描点画函数图像的方法，函数图像与x 轴关系自变量范围是解题关键． 26．（1）23333y x x =++；（2）33）()122,0N +，()222,0N ，()342,0N -，()442,0N【分析】（1）直接将()()1,0,3,0A B -代入解析式，运用待定系数法求解即可；（2）由题意可知ABC 为等腰三角形，即：AC BC =，作BE AC ⊥于E 点，交对称轴于P 点，将E 点关于对称轴对称至BC 上D 点，此时PB PD +最小，即为BE 的长，然后利用等面积法求解BE 即可； （3）设2333,322M m m ⎛-++ ⎝⎭，(),0N n ，当BM 和BD 分别为对角线时，进行分类讨论即可．【详解】（1）将()()1,0,3,0A B -代入解析式得： 3029330b c b c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得：333b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线的解析式为：2333322y x x =-++； （2）由抛物线的对称性可知，ABC 为等腰三角形，即：AC BC =，如图所示，作BE AC ⊥于E 点，交对称轴于P 点，此时，将E 点关于对称轴对称至BC 上D 点，∴此时PB PD +最小，即为：BE 的长，∵()()1,0,3,0A B -，∴4AB =，由抛物线解析式可得：顶点()1,23C ， ∴114234322ABC C S AB y ==⨯⨯=△， 由A 、C 坐标可得4AC =， ∴由1·2ABC S AC BE =，解得：23BE =， ∴PB PD +的最小值为23；（3）设2333,322M m m ⎛-++ ⎝⎭，(),0N n ，由（2）可知，4AB =，4AC BC ==，∴△ABC 为等边三角形，在（2）的条件下，D 为BC 的中点，则D 的坐标为(23，，①当BM 为对角线时，如图所示，根据平行四边形四个顶点的相对位置关系有：2323333322m n m m +=+⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：1222m n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或1222m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 即：()122,0N +，()222,0N -；②当BD 为对角线时，如图所示，根据平行四边形四个顶点的相对位置关系有：2533333m n m m +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：1242m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或1242m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩， 即：()342,0N -，()442,0N +；综上所述，N 的坐标为()122,0N +，()222,0N -，()342,0N ，()442,0N +．【点睛】本题考查二次函数与几何综合，准确求取解析式并熟练运用平行四边形的性质进行合理的分类讨论是解题关键．。