[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷316.doc

考研数学二（重积分）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x，y)连续，且，其中D是由y＝0，y＝x2，x＝1所围区域，则f(x，y)等于A．xy．B．2xy．C．．D．xy＋1．正确答案：C 涉及知识点：重积分2．设f(x)为连续函数，出，则F’(2)等于A．2f(2)．B．f(2)．C．－f(2)．D．0正确答案：B 涉及知识点：重积分3．设，其中D＝{(x，y)｜x2＋y2≤1)，则A．I3＞I2＞I1．B．I1＞I2＞I3．C．I2＞I1＞I3．D．I3＞I1＞I2正确答案：A 涉及知识点：重积分4．设D是xOy平面以上(1，1)，(－1，1)和(－1，－1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则等于A．．B．．C．．D．0正确答案：A 涉及知识点：重积分5．累次积分可以写成A．．B．．C．．D．．正确答案：D 涉及知识点：重积分填空题6．积分的值等于_______．正确答案：涉及知识点：重积分7．交换积分次序＝_______。

正确答案：涉及知识点：重积分8．交换二次积分的积分次序＝_______。

正确答案：涉及知识点：重积分9．设区域D为x2＋y2≤R2，则＝_______。

正确答案：涉及知识点：重积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10．求二重积，其中D是x2＋y2＝1，x＝0和y＝0。

所围成的区域在第一象限部分．正确答案：涉及知识点：重积分11．计算二重积分，其中D是由x轴，y轴与曲线所围成的区域，a＞0，b ＞0。

正确答案：涉及知识点：重积分12．计算二重积分，其中D＝{(x，y)｜x2＋y2≤x＋y＋1}。

正确答案：涉及知识点：重积分13．设函数f(x)在区间[0，1]上连续，并设∫01f(x)dx＝A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．正确答案：涉及知识点：重积分14．设D是以点0(0，0)，A(1，2) B(2，1)为顶点的三角形区域，求．正确答案：涉及知识点：重积分15．设D＝{(x，y)｜x2＋y2≤x}，求．正确答案：涉及知识点：重积分16．计算二重积分，其中D是由直线x＝－2，y＝0，y＝2以及曲线所围成的平面区域．正确答案：涉及知识点：重积分17．计算二重积分，其中D是由曲线和直线y＝－x围成的区域．正确答案：涉及知识点：重积分18．设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z ＝h(t)－(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减小的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?正确答案：100小时；涉及知识点：重积分19．设闭区域D：x2＋y2≤v，x≥0，f(x，y)为D上的连续函数，且求f(x，y)．正确答案：涉及知识点：重积分20．计算二重积分，其中D是由直线y＝x，y＝1，x＝0所围成的平面区域．正确答案：涉及知识点：重积分21．求二重积分的值，其中D是由直线y＝x，Y＝－1及x＝1围成的平面区域．正确答案：涉及知识点：重积分22．计算二重积．其中积分区域D＝{(x，y)｜x2＋y2≤π)．正确答案：涉及知识点：重积分23．求，其中D是由圆x2＋y2＝4和(x＋1)2＋y2＝1所围成的平面区域(如图1—5—13)．正确答案：涉及知识点：重积分24．计算二重积分，其中D＝{(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)．正确答案：e－1：涉及知识点：重积分25．设D＝((x，y)｜x2＋y2≤，x≥0，y≥0}，[1＋x2＋y2]表示不超过1＋x2＋y2的最大整数．计算二重积分正确答案：涉及知识点：重积分。

的右导数存在=x 0在点f x )(存在当且仅当-→h f h lim 1cosh 102)(，可知-≥1cosh 0由于）正确。

B （可导的充要条件。

可知=x 0在点f x )(存在为-→h f e h h lim 110)(存在。

可知，--=→→-=e t f e f t h t h h e t h 1lim 1lim 1001)()(存在等价于-→h f e h hlim 110)(：】【解析）B （：答案【、4⎰⎰⎰==---=--+f x dx x d x xC 231111112222213)()()()(可知=f x )(，因此==xf x x arcsin ')()(可得⎰=+xf x dx x C arcsin )(由：】【解析）D （：、答案3）C 条渐近线，故选（3有=++x y e x ln 11)(可知。

=y x 有斜渐近线=++x y e x ln 11)(，故++-=→+∞x e x x x lim ln 101)(，=++→+∞xx e x x lim 1ln 11)(。

=y 0有水平渐近线=++x y e x ln 11)(，故++=→-∞xe x x lim ln 101)(。

=x 0有垂直渐近线=++x y e x ln 11)(，故++=∞→x e x x lim ln 110)(：】【解析）C （：．答案2。

）C 是同阶无穷小。

故选（x 3与Fx ')(时，→x 0可知当⎰===≠→→→x x x f f x F x f t dt x x x x 2lim lim lim (0)02()2()000320'')(则⎰=Fx x f t dt x 2()0')(：】【解析）C （：答案1.选择题一、考研数学测试卷（一）参考答案因此（A）错误。

令()f x x =，此时有()2200sinh 1lim sinh lim 0h h h f h h h →→--==，可知()201lim sinh h f h h →-，但()f x 在点0x =不可导，可知（C）错误。

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷31(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2，其对应的特征向量为a1，a2，a3，令P=(3a2，-a3,2a1),则P-1AP等于（）。

A．B．C．D．正确答案：C解析：显然3a2,-a3,2a1也是特征值1,2，-1的特征向量，所以,选C. 知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设A是n阶矩阵，下列命题错误的是（）。

A．若A2=E,则-1一定是矩阵A的特征值B．若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值C．若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值正确答案：A解析：若r(E+A)＜n,则∣E+A∣=0，于是-1为A的特征值；若A的每一行元素之和为-1，则A,根据特征值特征向量的定义，-1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E,令AX=λX(其中X≠0),则XTAT=λXT,于是XTATAX=λ2XTX,即（λ2-1）XTX=0,而XTX＞0，故λ2=1,再由特征值之积为负，得-1为A 的特征值，选A. 知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是（）。

A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B,则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)=r＜n,则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题4．设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1,,其对应的特征向量a1，a2，a3，令P=（2a3，-3a1，-a2），则P-1(A-1+2E)P=_________.正确答案：解析：P-1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E, 知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．若a1，a2，a3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aa1=a1+a2,Aa2=a2+a3,Aa3=a3+a1,则|A|=_____.正确答案：2解析：令P=(a1，a2，a3),因为a1，a2，a3线性相关，所以P可逆，由AP=(Aa1,Aa2,Aa3)=(a1,a2,a3)得知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．设有三个线性无关的特征向量，则a=_______.正确答案：4解析：=(λ+1)(λ-1)2=0得λ1=-1,λ2=λ3=1,因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E-A)=1，解得a=4. 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。

2021年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题真题讲义一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.是的（）（A）低阶无穷小（B）等价阶无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小2.函数在处（）（A）连续且取得极大值（B）连续且取得极小值（C）可导且导数等于零（D）可导且导数不为零3.有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为，，当底面半径为，高为时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为（）（A）（B）（C）（D）4.函数有2个零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）5.设函数在处的2次泰勒多项式为，则（）（A）（B）（C）（D）6.设函数可微且，则（）（A）（B）（C）（D）7.设函数在区间上连续，则（）（A）（B）（C）（D）8.二次型的正惯性指数与负惯性指数依次为（）（A）2,0（B）1,1（C）2,1（D）1,29.设3阶矩阵，若向量组可以由向量组线性表示出，则（）（A）的解均为解（B）的解均为解（C）的解均为解（D）的解均为解10.已知矩阵，若三角可逆矩和上三角可逆矩阵，使得为对角矩阵，则、分别取（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.________.12.设函数由参数方程确定，则________.13.设函数由方程确定，则________.14.已知函数，则________.15.微分方程有的通解为________.16.多项式的项的系数为________.三、解答题：17~22小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

请将答案写在答题纸指定位置上。

17.求极限.18.设函数，求函数的凹凸性及渐近线.19.设函数满足，为曲线.记的长度为，绕轴旋转的旋转曲面的面积为，求和.20.是微方程满足的解.（1）求；（2）设为曲线上的一点，记处法线在轴上的截距为.最小时，求的坐标.21.设由曲线与轴围成，求.22.设矩阵仅有两个不同特征值，若相似于对角矩阵.求，求逆矩阵，使得.。

考研数学二模拟题2018年(31)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围______SSS_SINGLE_SELA (-∞，1]∪{0}．B (-∞，0]．C [0，+∞)．D [1，+∞)∪{0}．分值: 4答案:D[解析] f[g(x)]=|g(x)|=|x 2 -x|，g[f(x)]=f 2 (x)-f(x)=|x| 2 -|x|=x 2 -|x|．由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x 2 -x|=x 2 -|x|．①当x 2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x 2 -x=x 2 -|x|，即x=|x|，解得x≥0．综合得x≥1．②当x 2≤x，即1≥x≥0时，x-x 2 =x 2 -x，即2x=2x 2，解得x=1或x=0．综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]．2.设z=h(x，y)由方程e xyz =x+y+z确定，则h(x，y)在点P(0，1)的两个偏导数______SSS_SINGLE_SELA 分别等于0和-1．B 分别等于-1和0．C 都等于0．D 都等于-1．分值: 4答案:D[解析] 将x=0，y=1代入方程e xyz =x+y+z，得e 0 =1+z0z=0．方程两边对x取偏导数，得e xyz (yz+xyzx )=1+zx．将p(0，1，0)代入上式，得同理可得3.设非负可微函数f(x)满足条件f"(x)≤0，收敛，则______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] 由于f"(x)≤0，所以f(x)为单调下降函数．由于收敛，则又故由夹逼定理可知又当x≥1时，0≤f(x)≤xf(x)，从而有4.若F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数，则在[-1，1]上f(x)______SSS_SINGLE_SELA 有界．B 无第一类间断点．C 可积．D 连续．分值: 4答案:B[解析] F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数对x∈[-1，1]，f(x)=F"(x)．B正确，在[-1，1]上f(x)一定无第一类间断点，利用微分中值定理，通过反证法证明．研究函数F(x)有在(-∞，+∞)上连续，且导函数f(x)在(-∞，+∞)存在，且f(0)=0．但导函数f(x)在x=0点不连续，而且当x→0时，f(x)无界，不可积．因而A、C、D错误．5.设函数f(x)单调，且f"(0)≠0．若则______SSS_SINGLE_SELA f(0)+f"(0)=-1．B f(0)+f"(0)=1．C f(0)+f"(0)=0．D f(0)+f"(0)=2．分值: 4答案:B[解析] 思路一：即f[f(0)]=f(0)．因为f(x)单调，则f(x)在x=0点某邻域内存在反函数f -1．由此可得f(0)=f -1 [f(0)]=0．依题意有f(0)=0，f"(0)=1，f(0)+f"(0)=1．思路二：假设f(x)连续可导，则依题意有f(0)=0，f"(0)=1，f(0)+f"(0)=1．6.设y=y(x)是初值问题的解，则______A．x=1是y(x)的极大点，且极限B．x=1是y(x)的极大点，且极限C．x=1是y(x)的极小点，且极限D．x=1是否为y(x)的极值点与参数a有关，且极限SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析] 因为y(x)是方程的解．由y"(1)=0，知x=1是y(x)的一个驻点．又y"(1)=(πe x-1 -2y"-ay)|=π＞0，所以x=1是y(x)的极小点．x=17.关于n阶矩阵A，B有如下命题：①A和A T有相同的特征值．②若A～B，则A，B有相同的特征值．③A，B是实对称矩阵，则AB和BA有相同的特征值．④A是可逆矩阵，则AB和BA有相同的特征值．上述正确的个数是______SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．分值: 4答案:D[解析] 对①：|λE-A|=|(λE-A) T|=|λE-A T | A，A T有相同的特征值．对②：A～B，即可逆矩阵P，使得P -1 AP=B，则|λE-B|=|λE-P -1AP|=|λP -1 P-P -1 AP|=|P -1(λE-A)P|=|λE-A|，则A，B 有相同的特征值．对③：A T =A，B T =B，(AB) T =B T A T =BA，由①知AB和(AB) T =BA有相同的特征值．对④：A可逆，取P=A，则P -1 ABP=A -1 ABA=BA，由③知AB和BA有相同的特征值．故①、②、③、④均成立．8.设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______•**=0和A2X=0．•**=0和A3X=0．•**=0和A4X=0．**=0和A5X=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 显然，由A i X=0，两边左乘以A，得A i+1 X=0，i=1，2，3，4，四个选项均成立．反之，若A i+1 X=0，是否有A i X=0．对A，取 A 2 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 2 X=0X=0，但故A不是同解方程组．对B，取 A 3 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 3 X=0，但故B不是同解方程组．对C，取 A 4 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 4 X=0，但故C不是同解方程组．由排除法知，应选择D．对于D：易知A 4 X=0 A 5 X=0，要证A 5 X=0 A 4 X=0，用反证法，设A 5 X=0，而A 4X≠0，因5个四维向量X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X必线性相关，存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4使得k0 X+k1AX+k2A 2 X+k3A 3 X+k4A 4 X=0． (*)对(*)式两边左乘A 4，得k0 A 4 X+k1A 5 X+k2A 6 X+k3A 7 X+k4A 8 X=0 kA 4 X=0，又A 4X≠0得k0 =0，将k=0代入(*)式，类似的再两边左乘A 3，可得k1=0，同理可得k2 =k3=k4=0，这和X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X线性相关矛盾，故A 5 X=0 A 4 X=0．(一般的，当A为n阶方阵时，有A n+1 X=0A n X=0)故A是四阶方阵时，A 4 X=0和A 5 X=0是同解方程组．二、填空题1.设δ＞0，f(x)在[-δ，δ]上有定义，f(0)=1，且有则f"(0)=______．SSS_FILL分值: 41 [解析] 由已知，得则2.设则与直线2x+y=1垂直的曲线y(x)的切线方程为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由已知得由于曲线y(x)切线的斜率应为当x＜0时，无解．当x≥0时，由此得切点为P(1，ln2)．所求切线方程为3.SSS_FILL分值: 40 [解析]4.SSS_FILL分值: 4[解析] 思路一：在极坐标系下，x=ρcosφ，y=ρsinφ，则其中思路二：其中所以5.若y(x)满足且y(0)=y"(0)=0，则y(x)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 因为得新方程为则由y"(0)=0，得则6.设则(A-2E) -1 (A * +E)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由已知得A可逆，A * =|A|A -1 =-2A -1．故(A-2E) -1 (A * +E)=(A-2E) -1 (-2A -1 +E)=(A-2E) -1 (A-2E)A -1 =A -1，利用初等变换法求逆则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设z=z(x，y)在全平面R 2上有连续的二阶偏导数，并且满足方程如果f(-x，x)=-x 2，f"1 (-x，x)=-x求f"12(-x，x)，f"11(-x，x)，f"22(-x，x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10f(-x，x)=-x 2-f"1 (-x，x)+f"2(-x，x)=-2x-[-f"11 (-x，x)+f"12(-x，x)]+[-f"21(-x，x)+f"22(-x，x)]=-2．由已知得f"11 (-x，x)+f"22(-x，x)=0，f"12(-x，x)=f"21(-x，x)．所以f"12(-x，x)=1．又f"1(-x，x)=-x，故-f"11 (-x，x)+f"12(-x，x)=-1 f"11(-x，x)=2，f"22 (-x，x)=-f"11(-x，x)=-2．2.求定积分的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10思路一：思路二：3.计算累次积分SSS_TEXT_QUSTI分值: 10所给累次积分所对应的二重积分的积分域由y=x，y=2，围成．4.设g(x)满足g"(x)+f(x)g(x)=1+x，g(0)=2，求g(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10得到代入方程得由g(0)=2，得到C=1，于是g(x)=(1+x)(1+e -x )．5.若u0 =0，u1=1，n=1，2，…．其中α，β是正实数，求的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10由得则设函数集合Ψ，其中每一函数f(x)，满足下列条件：①f(x)是定义在[0，1]上的非负函数，且f(1)=1；②v，u+v∈[0，1]，有f(u+v)≥f(u)+f(v)．SSS_TEXT_QUSTI6.证明Ψ中每一函数f(x)都是单调增加的．分值: 5.5证明f(x)是单调增函数，因为x，x+Δx∈[0，1]，f(x+Δx)≥f(x)+f(Δx)是单调增函数．SSS_TEXT_QUSTI7.对所有这一类函数Ψ，求积分的最大取值．分值: 5.5对有1=f[x+(1-x)]≥f(x)+f(1-x)，从而而今函数f0(x)≡x，x∈[0，1]，显然f(x)∈Ψ．又所以有对所有这一类函数中，积分的最大取值为8.已知曲线求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11点(x，y，z)到xOy面的距离为d=|z|，故求C上距离xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于条件极值问题：构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ，μ)=z 2+λ(x 2 +y 2 -2z 2)+μ(x+y+3z-5)，则由(1)(2)得x=y，代入(4)(5)有解得或代入得d=|z|=5或1．即曲线C距离xOy面最远点为(-5，-5，5)，最远距离为5；曲线C距离xOy面最近点为(1，1，1)．最近距离为1．设向量组(ⅰ)α1 =[1，2，-1] T，α2=[1，3，-1] T，α3=[-1，0，a-2] T；(ⅱ)β1 =[-1，-2，3] T，β2=[-2，-4，5] T，β3=[1，b，-1] T；记A=[α1，α2，α3，B=[β1，β2，β3．SSS_TEXT_QUSTI9.问a，b为何值时，A，B等价；a，b为何值时，A，B不等价；分值: 5.5A，B等价r(A)=r(B)，将A，B合并成一起作初等行变换，得当a≠3，b≠2时，r(A)=r(B)=3，A，B等价；当a=3，b=2时，r(A)=r(B)=2，A，B等价；当a=3，b≠2或a≠3，b=2时，r(A)≠r(B)，A，B不等价．SSS_TEXT_QUSTI10.问a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．分值: 5.5向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价(ⅰ)，(ⅱ)向量组之间可以相互表出．当a≠3，b≠2时，r(A)=r(B)=3，(α1，α2，α3)X=βi，i=1，2，3，(β1，β2，β3)y=αi，i=1，2，3，都有唯一解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；当a=3，b任意时，(α1，α2，α3)X=β1，(或=β2)无解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价；当b=2，a任意时，(β1，β2，β3)y=α2，(或=α3)无解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．设A，B是n阶矩阵，证明：SSS_TEXT_QUSTI11.当A可逆时，AB和BA有相同的特征值；分值: 5.5[证明] 当A可逆时，因A -1 (AB)A=(A -1 A)BA=BA，故AB～BA．相似矩阵有相同的特征值，故AB和BA有相同的特征值．SSS_TEXT_QUSTI12.证明AB和BA有相同的特征值．分值: 5.5[证明] 思路一：若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若AB有特征值λ≠0，并设相应的特征向量为α(≠0)，即(AB)α=λα，(α≠0) (*)(*)式左乘B，得B(AB)α=λBα (BA)(Bα)=λBα，其中Bα≠0，(若Bα=0，则由(*)式(AB)α=A(Bα)=0，这和λ≠0且α≠0矛盾)，故BA也有特征值λ≠0，对应的特征向量为Bα，得证AB和BA有相同的特征值．思路二： AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若λ≠0，则则当λ≠0时，AB和BA有相同的特征值．1。

考研数学真题数二试卷考研数学真题数二试卷是针对中国研究生入学考试数学科目的模拟试题集。

数二通常指的是数学二，是理工科专业考研数学科目的一种类型，涉及的数学内容主要包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计。

试卷结构：数二试卷一般包括选择题、填空题、解答题等题型。

选择题和填空题主要考查考生对基础知识的掌握程度和基本运算能力，而解答题则更侧重于考查考生的逻辑推理和综合解题能力。

内容范围：1. 高等数学：包括微分学、积分学、级数、多元函数微分学、多元函数积分学等内容。

2. 线性代数：涉及矩阵理论、线性空间、线性变换、特征值问题等。

3. 概率论与数理统计：包括随机事件的概率、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律、中心极限定理、统计量的分布、参数估计、假设检验等。

试题特点：- 试题难度适中，旨在检验考生对数学概念、原理和方法的理解和应用能力。

- 试题设计注重基础与应用相结合，既考查理论知识，也考查实际应用。

- 试题形式多样，既有直接考查计算能力的题目，也有需要考生进行推理和证明的题目。

复习建议：- 系统复习数学基础知识，确保对概念、定理和公式有清晰的理解。

- 通过大量练习，提高解题速度和准确率，尤其是对解答题的解题思路和方法要熟练掌握。

- 注重历年真题的练习，了解考试的出题规律和重点，针对性地进行复习。

- 在复习过程中，注意总结和归纳解题技巧，形成自己的解题体系。

结语：考研数学真题数二试卷是考生备考过程中的重要参考资料。

通过认真分析和练习真题，考生可以更好地掌握考试要求，提高应试能力。

同时，也要注意调整心态，合理安排复习计划，确保在考试中能够发挥出最佳水平。

考研数学（数学二）模拟试卷312(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设{xn)与{yn)均无界，{zn}有界，则( )A．{xn+yn)必无界．B．{xnyn)必无界．C．{xn+zn)必无界．D．{xnzn)必无界．正确答案：C解析：用反证法证明{xn+zn}必无界．设{xn+zn}有界，则存在M>0与M1>0，对一切n，｜x1+zn｜≤M与zn｜≤M1．由不等式｜xn｜=｜xn+zn一zn｜≤｜xn+zn｜+｜zn｜≤M+M1．从而{xn}有界，与题设矛盾．故应选C．2．设其中x≠y，且xy>0．又设则x=0为f(x)的( )A．连续点．B．可去间断点．C．跳跃间断点．D．无穷间断点．正确答案：D解析：当x≠0时，所以x=0为的无穷间断点．3．｜f(x)｜在x=a处可导是f(x)在x=a处可导的( )A．充分条件但非必要条件．B．必要条件但非充分条件．C．既不充分又非必要条件．D．充分必要条件．正确答案：C解析：举例说明既不充分又非必要，例如设｜f(x)｜=1在x=a处可导，但f(x)在x=a处不连续，不可导，又如，设f(x)=x-a,在x=a处f(x)可导，f’(x)=1．但f’(x)｜=｜x-a｜在x=a处形成尖点，｜f(x)｜在x=a处不可导．4．设常数a>0，则( )A．当0B．当0<a<1时，f(x)的最大值是f(0)．C．当a≥1时，f(x)的最小值是D．当a≥1时，f(x)的最小值是f(0)．正确答案：C解析：f’(x)=ax一1，f’’(x)=2ax，当0为闭区间内部的唯一驻点，又因f’’(x)>0，故为极小值，也是最小值．在两端点处，现在要比较与0的大小，可见，当时，,为最大值；当时，故f(0)=0为最大值，所以A，B都小正确．当a≥1时，驻点不在闭区间的内部，故在内f(x)是严格单渊减少的，所以为最小值，选C．5．设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，常数λ≠0．则二重积分的值( )A．恒为正B．恒为负C．恒为零D．当2>0时为正，当λ<0时为负正确答案：C解析：由于区域D关于x与y轮换对称，故于是，再注意到f(y)=一e-λy 为y的奇函数，故故应选C．6．设p(x)，q(x)，f(x)均是x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )A．C1y1+(C2一C1)y2+(1一C2)y3．B．(C1一C2)y1+(C2—1)y2+(1一C1)y3．C．(C1+C2)y1+(C1一C2)y2+(1一C1)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3．正确答案：B解析：将B改写为C1(y1一y3)+C2(y2一y1)+(y3一y2)，因为y1，y2，y3均是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，所以y1-y3，y2一y1是y’’+p(x)y’+q(x,y)=0的解，并且y1-y3．y2一y1线性无关，事实上，若它们线性相关，则存在k1与k2不全为零，使得k1(y1一y3)+k2(y2一y1)=0，即一k1y+k3，y2+(k1-k2)y1=0．由于题设y1，y2，y3线性无关，故k1=0，k2=0，k1－k2=0，与k1，k2不全为零矛盾．于是推知C1(y3一y3)+C2(y2一y1)为对应的齐次方程的通解，而y3一y2也是对应齐次方程的一个解，它包含于C1(y1-y3)+C2(y2-y1)之中，所以C1(y1一y3)+C2(y2一y1)+(y3一y2)，即B也是该非齐方程对应的齐次方程的通解．故应选B．7．设ξ1=[1，一2，3，2]T，ξ2=[2，0，5，一2]T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组Ax=0的解向量的是( ) A．α1=[1，一3，3．3]TB．α2=[0，0，5，一2]T．C．α3=[一1，一6，一1，10]TD．α4=[1，6，1，0]T．正确答案：C解析：Ax0的基础解系为ξ1，ξ2，若αi是Ax=0的解向量αi可由ξ1，ξ2线性表出非齐次线性方程组ξ1x1+ξ2x2=αi有解．逐个αi判别较麻烦，合在一起作初等行变换判别较方便．显然因r(ξ1，ξ2)=，r(ξ1，ξ2，α3)=2，ξ1x1+ξ2x2=α3有解，故α3是Ax=0的解向量，故应选C．而r(ξ1，ξ2)=2≠r(ξ1，ξ2，ai)=3，i=1，2，4．故α1，α2，α4不是Ax=0的解向量．8．设A是3阶矩阵，Ax=0有通解是k1ξ1+k2ξ2+Aξ3=ξ3，则存在可逆阵P，使得其中P是( )A．[ξ1,ξ2，ξ1+ξ3]．B．[ξ2，ξ3，ξ1]．C．[ξ1+ξ2，－ξ2,2ξ3]D．[ξ1+ξ2，ξ2一ξ3，ξ3]．正确答案：C解析：ξ1，ξ2是A的对应于λ1=0的线性无关的特征向量，ξ3是A的对应于λ2=1的特征向量，且注意下列概念：①A的同一个特征值对应的特征向量，如λ=0，ξ1，ξ2是特征向量，则k1ξ1+k2ξ2为非零向量时，仍是A的特征向量．若是λ=1对应的特征向量，则kξ3仍是λ=1的特征向量，k为非零任意常数．②对不同特征值λ1≠λ2，则对应的特征向量之和，如ξ1+ξ3，ξ2一ξ3等不再是A的特征向量．③P中的特征向量排列次序应与对角阵中λ的排列次序一致．由上述三条知应选三条因C中，ξ1+ξ2，一ξ2仍是λ=0的特征向量，2ξ2仍是λ=1的特征向量．且与对角阵中特征值的排列次序一致，故应选C．A中ξ1+ξ3不是特征向量，D中ξ2一ξ3不是特征向量，B中ξ3，ξ1对应的特征值的排列次序不一致，故都是错误的．填空题9．微分方程xy’’一y’=x的通解是_______．正确答案：解析：此为可降价的y’’=f(x，y’)型．令y’=p，y’’=P’，有10．曲线在点处的曲率半径为_______．正确答案：解析：曲率半径11．设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足则f(x)=_______．正确答案：解析：令于是所以f(x)=Cex，由f(0)=a得f(x)=aex．于是解得a=0(舍去)，所以12．=________.正确答案：e解析：所以应填e．【注】注意归并一些因式，并化简．13．=__________.正确答案：解析：的奇函数，故14．设其中abc=一6，A*是A的伴随阵，则A*有非零特征值正确答案：λ=11解析：因abc=一6，故又=6≠0，故，r(A)=2，r(A*)=1．故A*有特征值解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（线性方程组）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D 涉及知识点：线性方程组2．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=B的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B 涉及知识点：线性方程组3．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：B 涉及知识点：线性方程组4．非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A．r=m时，方程组Ax=西有解．B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解．C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解．D．r<n时，方程组Ax=b有无穷多解．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组5．设a1，a2，a3是4元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且秩(A)=3，a1=(1，2，3，4)T ，a2+a3=(0，1，2，3)T ，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组填空题6．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式｜2A ｜=-48，则λ=________.正确答案：-1 涉及知识点：线性方程组7．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：线性方程组8．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：线性方程组9．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：线性方程组10．设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：线性方程组11．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜=_________.正确答案：24 涉及知识点：线性方程组12．设方程有无穷多个解，则a=________.正确答案：-2 涉及知识点：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷21一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 n阶方阵A有n个互不相同特征值是A与对角矩阵相似的（A）充分必要条件．（B）充分而非必要的条件．（C）必要而非充分条件．（D）既非充分也非必要条件．2 设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是（A）r(A)=r(B)．（B）｜A｜=｜B｜．（C）A与B有相同的特征多项式．（D）A、B有相同的特征值λ1，…，λn，且λ1，…，λn互不相同．3 设n阶矩阵A与B相似，则（A）λE-A=λE-B．（B）A与B有相同的特征值和特征向量．（C）A和B都相似于同一个对角矩阵．（D）对任意常数t，tE-A与tE-B都相似．4 与矩阵D=相似的矩阵是二、填空题5 设α1=(1，0，-2)T和α2=(2，3，8)T都是A的属于特征值2的特征向量，又向量β=(0，-3，-10)T，则Aβ=_______.6 设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式｜B-1-E｜=_______．7 设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-A n｜=_______．8 设可逆方阵A有一个特征值为2，则(A2)-1必有一个特征值为_______．9 设可逆方阵A有特征值λ，则(A*)2+E必有一个特征值为_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10 设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．11 设3阶方阵A的特征值为2，-1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B=A3-2A2+4E，试求B-1的特征值与特征向量．12 已知向量α=(1，k，1)T是A=的伴随矩阵A*的一个特征向量，试求k 的值及与α对应的特征值λ．13 设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=，ξ2，ξ3=，又向量β=(1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；(2)求A nβ(n为正整数)．14 设矩阵A=，｜A｜=-1，A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(-1，-1，1)T．求a，b，c和λ0的值．15 已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量．(1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．16 设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．17 设A=有3个线性无关的特征向量，求x与y满足的关系．18 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，1，对应的特征向量分别为α1=(1，-1，1)T，α2=(1，0，-1)T，α3=(1，2，-4)T，求A100．19 设3阶矩阵A与对角阵D=相似，证明：矩阵C=(A-λ1E)(A-λ2E)(A-λ3E)=O．20 设矩阵A=相似．(1)求a，b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．21 设A=，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．22 已知矩阵A=有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵．23 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?24 设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使A m=O，证明：A必不相似于对角矩阵．25 设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα-2A2α-A3α=0，令矩阵P=[α，Aα，A2α]， (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．26 设A为3阶矩阵，｜A｜=6，｜A+E｜=｜A-2E｜=｜A+3E｜=0，试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵，其中(2A)*是(2A)的伴随矩阵．27 设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)； (2)AB=BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．28 设A=已知线性方程组Ax=β有解但解不唯一．试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵Q．使Q T AQ为对角矩阵．29 设矩阵A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．30 设矩阵A=的特征值之和为1，特征值之积为-12(b＞0)．(1)求a、b 的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．31 设矩阵A=可逆，向量α=是矩阵A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值．其中A*是A的伴随矩阵．试求a、b和λ的值．32 设α=(a1，2，…，a n)T是R n中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m．存在常数t．使A m=t m-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．33 设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．34 设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A的属于特征值6的特征向量． (1)求A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵A．35 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3 (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．36 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解，求出矩阵A及(A-E)6．。