解析福建省宁德市高中同心顺联盟校高二下学期期中考试数学文试题含解析

宁德市高中同心顺联盟2018-2019学年第二学期期中检测高二数学（理科）试题（时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限2. 一个物体的位移 (米)与时间 (秒)的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是（）A．6米/秒 B．5米/秒 C．4米/秒 D．3米/秒3.曲线在点处的切线斜率为（）A. 4B. 3C. 2D. 14.设的周长为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，则等于( )A. B. C. D.5.函数的单调递增区间为( )A. B. C. D.6. 已知(为虚数单位)，则复数的共轭复数等于( )A． B． C．D．7. 已知函数,则的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．48. 函数在内有极小值，则（）A． B． C． D．9. 用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（）A． B． C． D．10. 由曲线，，围成的封闭图形的面积为( )A. B. C. D.11.直线与曲线相切于点，则的值为（）A．2 B．－1 C．1 D．－212.函数的定义域为，对任意则的解集为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若复数()，则= 。

14． __________。

15．曲线上的任意一点处切线的倾斜角的取值范围是。

16．如图所示的数阵中，第64行第2个数字是________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17. （10分）若复数，，且为纯虚数，求18. （12分）已知函数.（I）求在处的切线方程；（II ）讨论函数的单调性。

19. （12分）(Ⅰ)已知为实数，用分析法证明。

（Ⅱ）用数学归纳法证明；20. （12分）已知函数（为实数）．（I）讨论函数的单调性；（II ）若在上的恒成立，求的范围；21.（12分）某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）。

2020-2021学年福建省宁德市部分一级达标中学高二(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.点的直角坐标是，则点的极坐标为()A. B.C. D.2.设复数，，则在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A. a，b，c都是奇数B. a，b，c中至少有两个是偶数C. a，b，c都是偶数D. a，b，c中至多有一个偶数(x>0)，若x0满足f′(x0)=0，设m∈(0,x0)，n∈(x0,+∞)，则()4.函数f(x)=e x+1xA. f′(m)<0，f′(n)<0B. f′(m)>0，f′(n)>0C. f′(m)<0，f′(n)>0D. f′(m)>0，f′(n)<05.用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为()A. B.C. D.6.曲线y=2x−x3在x=−1处的切线为L，则点P(4,−2)到直线L的距离为()D. 3√2A. √2B. 2√2C. 3√227.已函f()=2x+sinx+3x−1(x∈)，f(x1)+fx2)>0，则列不等确的是()3x+1A. x1>x2B. x1<x2C. x1+x2<0D. x1+x2>08.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”；(2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；(5)乙同学不在高三年级．试问：甲同学所在的社团是()A. 楹联社B. 书法社C. 汉服社D. 条件不足无法判断9.一次函数y=kx+b(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是()A. k>0，b>0B. k<0，b<0C. k<0，b>0D. k>0，b<010.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1(不包括端点)上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值为()A. 2B. √33C. 13D. 4311.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对一切的x∈R都有f′(x)>f(x)成立，对任意正数a，b，若a<b，则有()A. bf(lna)<af(lnb)B. bf(lna)=af(lnb)C. bf(lna)>af(lnb)D. bf(lna)与af(lnb)的大小不确定12.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对x∈R都有f(1+x)=−f(1−x)，当x>1且x≠2时，f′(x)x−2>0，则()A. f(log25)<f(log1,53.5)，且f(log32)+f(log23)<0B. f(log1,53.5)<f(log25)，且f(log32)+f(log23)<0C. f(log25)<f(log1,53.5)，且f(log32)+f(log23)>0D. f(log1,53.5)<f(log25)，且f(log32)+f(log23)>0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 复数3+ii 2的实部等于______．14. 点M 的直角坐标是(√3,−1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是______． 15. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照如图所示排列的规律：(1)第7行从左到右的第3个数为______； (2)第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为______．16. 已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)=1e，对任意实数x 都有f(x)−f′(x)>0，设F(x)=f(x)e x，则F(x)>1e 2的解集为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：ρ2=2ρsinθ+3，直线l ：ρsin(θ+π3)=2 (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为(0,4)，直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，求|PM|2+|PN|2的值．18. 设复数z n =x n +i ⋅y n ，其中x n y n ∈R ，n ∈N ∗，i 为虚数单位，z n+1=(1+i)⋅z n ，z 1=3+4i ，复数z n 在复平面上对应的点为Z n ． (1)求复数z 2，z 3，z 4的值；(2)是否存在正整数n 使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；(3)求数列{x n ⋅y n }的前102项之和．19.(本小题满分14分)已知函数处取得极值．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若当恒成立，求的取值范围；(Ⅲ)对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．20.圆周上两个点所连的弦将圆的内部分成两部分，3个点所连的弦最多把圆的内部分成4部分，4个点所连的弦最多把圆的内部分成8部分，5个点所连的弦最多把圆的内部分成16部分，由此归纳出n个点所连的弦最多把圆的内部分成2n−1部分．这个结论正确吗？21.已知函数f(x)=13x3−12(2a+1)x2+(a2+a)x．(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的值；(Ⅱ)若∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f(x)的切线，求k的取值范围；(Ⅲ)若a>−1，求f(x)在区间[0,1]上的最大值．22.设函数f k(x)=2x+(k−1)⋅2−x(x∈R,k∈Z)．(1)设不等式f0(x)+mf1(x)≥4在x∈[0,1]上恒成立，求实数m的取值范围；(2)设函数g(x)=λf0(x)−f2(2x)在x∈[1,+∞)上有零点，求实数λ的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是(−1,)后化成极坐标即可．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=−，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为，故选C．考点：极坐标点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得2.答案：D解析：试题分析：，即对应复平面内的坐标为，故在第四象限．考点：复数的运算．3.答案：A解析：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定．“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数，即a，b，c都是奇数，故选：A．本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．4.答案：C解析：本题考查函数导数与函数单调性的关系，关键是计算函数f(x)的导数．根据题意，对f(x)求导可得f′(x)，若f′(x0)=0，则有e x0(x0)2=1，将m、n的值代入计算可得答案．解：根据题意，函数f(x)=e x+1x(x>0)，其导数f′(x)=e x−1x2=e x⋅x2−1x2，若f′(x0)=0，则有e x0(x0)2=1，当m∈(0,x0)，即m<x0，f′(m)=e m⋅m2−1m2<0，n∈(x0,+∞)，即n>x0，f′(n)=e m⋅m2−1m2>0，故选C．5.答案：A解析：6.答案：B解析：解：∵y=2x−x3∴y′=2−3x2又切点的横坐标为−1，故切点的纵坐标是−1，y′=−1故切线的方程是y+1=−(x+1)，即切线的方程是x+y+2=0所以点P(4,−2)到直线l的距离d=2√2故选B．本题要求点到直线的距离，故需要先求出直线的一般式方程，由于曲线y=2x−x3在横坐标为−1的点处的切线为l，将−1代入求得切点的坐标，再求出y=2x−x3的导数，将−1代入求出切线的斜率，由点斜式求出切线的方程，整理成一般式，用公式求距离选出正确选项．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，点到直线的距离公式，解题的关键是求熟练掌握用导数求切线斜率的方法及点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，本题知识性较强，属于知识综合运用题．7.答案：D解析：解：已知函数fx)=2xsin +3x −13x +1p( )=3x −13x +1=1−23x +1x ∈R由于3在R 为调递增函数，进一步得p(x)=1−23x +1也为单调增函． 则：k(x =−cosx >0用数的单调性解：x1>−x2即x 1x 20 以k(x)为增函数． 故f( )为单调增函数．令f( )=(x)+p(x)即k(x =2x +six,)=3x −13x +1∴f(1)>−f(2)f(−x) 故：D断函数的奇偶性，进一判断函的单调性，在判断的调时分两步，最后对知条件进行等变换f(1)+f(2)>0，fx1)>−f(x2)=(2)，进一步利用所求出的结求结果．本考查的知识要点函数的单调和奇偶性的应用导数判断函的单调性，及相的等变换．8.答案：C解析：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，确定乙在高二，加入“书法社”是关键．确定乙在高二，加入“书法社”，根据(1)甲同学没有加入“楹联社”，可得甲同学所在的社团是汉服社．解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与(2)矛盾， 所以乙在高二，根据(3)，可得乙加入“书法社”， 根据(1)甲同学没有加入“楹联社”，可得甲同学所在的社团是汉服社，故选C．9.答案：C解析：解：函数的图象过一，二，四象限，故k<0，b>0，故选：C．根据一次函数的图象和性质判断即可．本题考查了常见函数的性质和图象，考查数形结合思想，是一道常规题．10.答案：C解析：解：过P1作AD的平行线，交BD于点E，连接P2E，由于线段P1P2平行于平面A1ADD1，P1E//AD，且P1E∩P1P2=P1，所以面P1P2E//平面A1ADD1，设AP1的长度为x，则P1E=2−x，所以V P2−P1AB1=13×S△B1P1A×d，d为P2到平面B1P1A的距离，而S△B1P1A=12×2×x=x，d=2−x，所以V P2−P1AB1=13×S△B1P1A×d=13x(2−x)≤13[x+(2−x)2]2=13，当且仅当x=1时取等号，所以四面体P1P2AB1的体积的最大值为13．故选：C．过P1作AD的平行线，交BD于点E，连接P2E，可先证面P1P2E//平面A1ADD1，设AP1的长度为x，表示出V P2−P1AB1=13×S△B1P1A×d，然后利用基本不等式求出最值即可．本题主要考查了四面体的体积，以及基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于中档题．11.答案：A解析：解：由f′(x)>f(x)，即f′(x)−f(x)>0， 设g(x)=f(x)e x，g(x)=f′(x)−f(x)e x>0，∴g(x)在(−∞,+∞)上单调递增，由任意正数a ，b ，且a <b ，则lna <lnb ， ∴g(lna)<g(lnb)，则f(lna)a<f(lnb)b，∴bf(lna)<af(lnb)， 故选A ．由题意可知f′(x)−f(x)>0，构造辅助函数，求导，则g(x)在(−∞,+∞)上单调递增，由lna <lnb ，则g(lna)<g(lnb)，即可求得bf(lna)<af(lnb)．本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．12.答案：A解析：解：当x >1且x ≠2时，f′(x)x−2>0，则x ∈(1,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．∵log 1.53.5>log 1.51.53=3>log 25，∴f(log 25)<f(log 1.53.5)． ∵f(1+x)=−f(1−x)，∴f(log 23)=f(1+log 232)=−f(1−log 232)=−f(log 243).∴f(log 32)+f(log 23)=f(log 32)−f(log 243)<0． 故选：A ．当x >1且x ≠2时，f′(x)x−2>0，对x 分类讨论：x ∈(1,2)时，f′(x)<0；x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0.可得其单调性．比较log 25与log 1.53.5的大小关系．即可得出f(log 25)与f(log 1.53.5)大小关系．根据f(1+x)=−f(1−x)，转化f(log 23)=f(1+log 232)=−f(1−log 232)=−f(log 243).利用单调性可得f(log 32)+f(log 23)=f(log 32)−f(log 243)与0的关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.答案：−3解析：解：∵3+ii2=3+i−1=−3−i，∴复数3+ii2的实部等于−3．故答案为：−3．直接由i2=−1得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14.答案：(2,11π6)解析：解：∵x=√3，y=−1，∴ρ2=x2+y2=3+1=4，∴ρ=2，∵tanθ=yx =−√33，且M在第四象限，∴θ=11π6，故答案为：(2,11π6).根据ρ2=x2+y2，tanθ=yx可得．本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，属基础题．15.答案：(1)24；(2)n2−n+62．解析：本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用，考查归纳推理，属基础题．先找到数的分布规律，求出第n−1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第3个数，代入n=7可得．解：由排列的规律可得，第n−1行结束的时候共排了1+2+3+⋯+(n−1)=(n−1)n2个数，∴第n行从左向右的第3个数为(n−1)n2+3=n2−n+62，把n=7代入可得第7行从左向右的第3个数为24，故答案为：24，n2−n+62．16.答案：(−∞,1)解析：解：根据题意，F(x)=f(x)e x，其导数F′(x)=e x f′(x)−e x f(x)(e )=f(x)−f′(x)e ，又由f(x)对任意实数都满足f(x)−f′(x)>0， 则F′(x)<0，则函数F(x)在R 上为减函数， 又由f(1)=e −1，则F(1)=f(1)e=1e 2，F(x)>1e 2⇒F(x)>F(1)， 又由函数F(x)在R 上为减函数， 则⇒x <1，即不等式的解集为(−∞,1)； 故答案为：(−∞,1)． 根据题意，设g(x)=f(x)e x，对其求导分析可得g′(x)<0，则函数g(x)在R 上为减函数，由f(1)=e −1计算可得g(1)=1e 2，则不等式f(x)<e x−2可以变形为g(x)<g(1)，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造函数，利用导数分析函数的单调性．17.答案：解：(1)由ρ2=2ρsinθ+3，得x 2+y 2−2y −3=0，∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2−2y −3=0； 由ρsin(θ+π3)=2，得12ρsinθ+√32ρcosθ=2，即√3x +y −4=0，∴直线l 的直角坐标方程为√3x +y −4=0； (2)直线l 的斜率为−√3，倾斜角为120°， 又直线l 过点P(0,4)，∴直线l 的参数方程为{x =−12ty =4+√32t． 把{x =−12ty =4+√32t代入x 2+y 2−2y −3=0， 得t 2+3√3t +5=0．∴t M +t N =−3√3，t M ⋅t N =5．∴|PM|2+|PN|2=t M 2+t N 2=(t M +t N )2−2t M ⋅t N=(−3√3)2−10=17．解析：(1)把ρsin(θ+π3)=2展开两角和的正弦，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)写出直线l 的参数方程的标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系及参数t 的几何意义求解|PM|2+|PN|2的值．本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义的应用，属中档题．18.答案：本题(18分)，第1小题(4分)，第2小题(6分)，第3小题(8分)．解：(1)z 2=(1+i)(3+4i)=−1+7i ，z 3=−8+6i ，z 4=−14−2i.…(4分) (算错一个扣(1分)，即算对一个得(2分)，算对两个得3分) (2)若OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则存在实数λ，使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故z n =λ⋅z 1， 即(x n ,y n )=λ(x 1,y 1)，…(3分)又z n+1=(1+i)z n ，故z n =(1+i)n−1z 1，即(1+i)n−1=λ为实数，…(5分) 故n −1为4的倍数，即n −1=4k ，n =4k +1，k ∈N. …(6分) (3)因为z n+4=(1+i)4z n =−4z n ，故x n+4=−4x n ，y n+4=−4y n ，…(2分) 所以x n+4y n+4=16x n y n ，…(3分)又x 1y 1=12，x 2y 2=−7，x 3y 3=−48，x 4y 4=28， x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3+⋯+x 100y 100=(x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3+x 4y 4)+(x 5y 5+x 6y 6+x 7y 7+x 8y 8)+⋯+(x 97y 97+x 98y 98+x 99y 99+x 100y 100)=(12−7−48+28)⋅1−16251−16=1−2100，…(6分)而x 101y 101=1625x 1y 1=12×2100，x 102y 102=1625x 2y 2=−7×2100，…(7分) 所以数列{x n y n }的前102项之和为1−2100+12×2100−7×2100=1+2102.…(8分)解析：(1)利用已知条件之间求解z 2，z 3，z 4．(2)求出z n =(1+i)n−1z 1，利用复数的幂运算，求解即可．(3)通过z n+4=(1+i)4z n =−4z n ，推出x n+4=−4x n ，y n+4=−4y n ，得到x n+4y n+4=16x n y n ，然后求解数列的和即可．本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．19.答案：(Ⅰ)b=−2.(Ⅱ)c<−1或c>2.(Ⅲ)恒成立．解析：试题分析：(Ⅰ)∵f(x)=x3−x2+bx+c，∴f′(x)=3x2−x+b.……2分∵f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=3−1+b=0．∴b=−2.……3分经检验，符合题意.……4分(Ⅱ)f(x)=x3−x2−2x+c．∵f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，…5分x1(1,2)2f′(x)+0−0+f(x)……7分∴当x=−时，f(x)有极大值+c.又∴x∈[−1,2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c.……8分∴c2>2+c.∴c<−1或c>2.…………10分(Ⅲ)对任意的恒成立．由(Ⅱ)可知，当x=1时，f(x)有极小值．又 …12分∴x ∈[−1,2]时，f(x)最小值为．，故结论成立. ……14分考点：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立。

福建省宁德市一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷（理科）有解析注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角3．函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4）C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）4．若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45． cosxdx=dx（a＞1），则a的值为（）A．B．2 C．e D．36．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．57．下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R 上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．48．有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．9．一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A．h2B． h2C． h2 D．2h210．已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．（，+∞）11．设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．12012．若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5）B．f（1）＜f（5）＜f（3）C．f（3）＜f（1）＜f（5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．复数在复平面内对应的点位于第象限．14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．15．已知表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．18．已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在上的最大值和最小值．19．用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（n∈N*）．20．已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．21．现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？22．已知函数f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】A2：复数的基本概念．【分析】①③两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小；②利用复数的运算法则即可判断出结论；④利用复数的模的计算公式即可判断出结论．【解答】解：①两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此3＞3i不正确；②∵（4i）2=﹣16，因此正确；③道理同①，不正确；④|2+3i|==，|2+i|=，因此|2+3i|＞|2+i|正确．其中正确的个数为2．故选：B．2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4）C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣4，令f′（x）＜0，解得：x＜ln4，故函数在（﹣∞，ln4）递减；故选：C．4．若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率，设出切点坐标，列出方程求解即可．【解答】解：设切点坐标为：（m，4m），∵f′（x）=4x3，∴f′（m）=4m3=4，解得m=1，∴14+a=4，解得a=3．故选：C．5． cosxdx=dx（a＞1），则a的值为（）A．B．2 C．e D．3【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解： cosxdx=sinx|=，dx=lnx|=lna，∴lna=，∴a=故选：A6．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】3O：函数的图象．【分析】根据极值点的定义和f′（x）的图象得出结论．【解答】解：若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0，且f′（x）在x0两侧异号，由f′（x）的图象可知f′（x）=0共有4解，其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，故f（x）有2个极值点．故选A．7．下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R 上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据类比推理的一般步骤是：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），判断命题是否正确．【解答】解：对于（1），若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数，命题正确；对于（2），若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2；将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为，命题正确；对于（3），若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为；将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1，命题正确；对于（4），在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8，命题正确．综上，正确的命题有4个．故选：D．8．有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．【考点】82：数列的函数特性．【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出．【解答】解：，，，，（），，，，，…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，故选：B9．一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A．h2B． h2C． h2 D．2h2【考点】K8：抛物线的简单性质；69：定积分的简单应用．【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，将点代入抛物线方程，即可求得抛物线方程，根据定积分的几何意义，即可求得S．【解答】解：以抛物线的最高点为坐标原点，以抛物线的拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程y=ax2，a＜0，由抛物线经过点（，﹣h），代入抛物线方程：﹣h=a（）2，解得：a=﹣，S=h×3h﹣（﹣2ax2dx），=3h2﹣2××x3=2h2，故选D．10．已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．（，+∞）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数的模，把|z|＞|+i|，转化为a＜x（1＜x＜2）恒成立，再求出x﹣的范围得答案．【解答】解：∵z=x+（x﹣a）i，且|z|＞|+i|恒成立，∴＞，两边平方并整理得：a＜x﹣．∵x∈（1，2），∴x﹣∈（，）．则a．∴实数a的取值范围为（﹣∞，]．故选：A．11．设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．120【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，运用数列的递推式可得a1=1，a2=3，a3=5，进而得到a n=2n﹣1，，即可得到所求值．【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，∴a2=3a1，a3=5a1，从而4×9a1=3（5a1+7），即a1=1，∴a2=3，a3=5，∴4S4=4（a4+a5），∴a5=9，同理得a7=13，a8=15，…，a n=2n﹣1，∴，经验证4S n=n（a n+a n+1）成立，∴S10=100．故选：B．12．若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5）B．f（1）＜f（5）＜f（3）C．f（3）＜f（1）＜f（5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】首先由已知的等式构造′=0，由题意求出c，得到f（x）的解析式，从而得到答案．【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x）=e x，得到'=0，设x3f（x）﹣e x=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时，f（x）=，f′（x）=，所以f（3）＜f（5）＜f（1）．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．复数在复平面内对应的点位于第四象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： ===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5 ℃/h．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣515．已知表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=9 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据前3个结论，找到规律，即可得出结论．【解答】解：结论1：当1＜x＜2时，即20＜x＜21，f（x）=1﹣1=0；结论2：当2＜x＜4时，即21＜x＜22，f（x）=2﹣1=1；结论3：当4＜x＜8时，即22＜x＜23，f（x）=3﹣1=2，通过规律，不难得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=10﹣1=9，故答案为：当29＜x＜210时，f（x）=9．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，则f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，故f（x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f（x）极小值=f（1）=3﹣a，而f（﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，故或，解得：a∈，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），可得=a﹣bi，利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．（2）利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，∴，∴a=3．∴⇒b=±4，即复数z的虚部为±4．（2）当b=4时， ==，其实部为．当b=﹣4时， ==，其实部为．18．已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在上的最大值和最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）f′（x）=2e2x﹣1﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，故f（x）在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min=f（）=0，无极大值；（2）g（x）==﹣，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，故g（x）在递减，在（e，e2]递增，故g（x）min=g（e）=﹣，∵g（1）=0，g（e2）=﹣，∴g（x）max=0．19．用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（n∈N*）．【考点】RG：数学归纳法．【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．【解答】证明：①n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；②假设n=k时等式成立，即22+42+62+…+（2k）2=k（k+1）（2k+1）那么，当n=k+1时，22+42+62+…+（2k）2+2，=k（k+1）（2k+1）+2，=（k+1）（2k2+k+6k+6），=（k+1）（k+2）（2k+3），=（k+1），等式成立．由①②可知，等式对任何正整数n都成立．20．已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程，求出三角形的面积即可；（3）问题转化为2a≤（3x+）min，根据不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，g′（x）=3（x+1）（x﹣1），令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=3x2+1，f（1）=2，f′（1）=4，故切线方程是：y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2，令x=0，解得：y=﹣2，令y=0，解得：x=，故S△=×2×=；（3）由题意得F′（x）=3x2+1﹣2ax≥0在（0，3]恒成立，故2a≤（3x+）min，∵3x+≥2，∴2a≤2，a≤．21．现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）推导出OD=OC，DE⊥OB，CF⊥OA，从而Rt△ODE≌Rt△OCF，进而∠DOE=∠COF=，由此得到S区域Ⅱ=（0＜θ＜），从而能求出θ．（2）由S区域Ⅰ=，求出S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．由此利用导数性质求出当θ=时，年总收入最大．【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF•cos∠COF∴S△COF=•OC•OF•sin∠COF=cosθ∴S区域Ⅱ=（0＜θ＜）．由，得cosθ=，∵0＜θ＜，∴θ=．（2）∵S区域Ⅰ=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0．故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．22．已知函数f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，求出导数，讨论当≥6即9≤m＜20时，当2＜＜6，即为3＜m＜9时，当≤2，即0＜m≤3时，可得f（x）的单调性；（2）求出f（x）的导数，可得A，B处的切线方程，代入点（2，﹣lga），可得x1，x2为方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx ﹣m+lga，求出导数和极值点，由题意可得g（x）必有一个极值为0，对m讨论，结合a≥1，解不等式即可得到所求m 的范围．【解答】解：（1）函数f（）=﹣x3+x2﹣m，可得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，f′（x）=﹣3x2+2mx=﹣x（3x﹣2m），当≥6即9≤m＜20时，函数f（x）在区间上的单调递增；当2＜＜6，即为3＜m＜9时，f（x）在递减；当≤2，即0＜m≤3时，函数f（x）在区间上的单调递减；（2）f′（x）=﹣3x2+2mx，可得A处的切线方程：y﹣（﹣x13+mx12﹣m）=（﹣3x12+2mx）（x﹣x1），同理可得B处的切线方程：y﹣（﹣x23+mx22﹣m）=（﹣3x22+2mx）（x﹣x2），代入点（2，﹣lga），可得x1，x2为方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga，g′（x）=6x2﹣2（m+6）x+4m=2（3x﹣m）（x﹣2），由0＜m＜20，可得g′（x）=0，可得x=2或x=．g（2）=3m﹣8+lga，g（）=﹣m3+m2﹣m+lga，由题意可得g（x）必有一个极值为0，（Ⅰ）若m＜2，即0＜m＜6，由g（2）=0，g（）＞0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，则g（）=﹣m3+m2﹣m+8﹣3m=﹣（m﹣6）3＞0成立，即有0＜m≤；①由g（2）＜0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＜0，﹣ m3+m2﹣m+lga=0，由lga≥0，可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3，由g（2）=m3﹣m2+m﹣8+3m=（m﹣6）3＜0，解得m＜6，即有0＜m≤9﹣3；②（Ⅱ）若m＞2，即6＜m＜20，由g（2）=0，g（）＜0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，则m无解；③由g（2）＞0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＞0，﹣ m3+m2﹣m+lga=0，由lga≥0，可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3，由g（2）=m3﹣m2+m﹣8+3m=（m﹣6）3＞0，解得m＞6，即有9+3≤m＜20，④综上可得，0＜m≤或9+3≤m＜20．。

福建省宁德市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·安徽月考) 已知，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·宁波期中) 设，，则A,B 的大小关系是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高三上·安庆期末) 已知函数y=eax+3x有平行于x轴的切线且切点在y轴右侧，则a的范围为（）A . （﹣∞，﹣3）B . （﹣∞，3）C . （3，+∞）D . （﹣3，+∞）4. （2分） (2018高一下·应县期末) 下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知，则= （）A . 3B . 4C . 3.5D . 4.56. （2分）函数有极值点，则（）A .B .C .D .7. （2分）若函数f(x)的导函数f'(x)=x2-4x+3，则函数f(x+1)的单调递减区间是（）A . (-3,-1)B . (0,2)C . (1,3)D . (2,4)8. （2分） (2020高二下·宁波期中) 函数的图象可能是（）A .B .C .D .9. （2分）用数学归纳法证明不等式(,且n>1)时，不等式在n=k+1时的形式是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高三上·平阳月考) 若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，则这个正三棱锥体积的最大值为（）A . 8B .C . 18D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高二下·周口期末) 若复数是纯虚数，则实数的值为________．12. （1分） (2015高二下·宜春期中) 已知函数f（x）= ﹣2ax﹣alnx在（1，2）上单调递减，则a的取值范围是________．13. （1分） (2019高二上·石河子月考) 设数列中，，，则 ________．14. （1分） (2018高一上·河北月考) 以下说法中正确的是________．①函数在区间上单调递减；②函数的图象过定点；③若是函数的零点，且，则；④方程的解是15. （1分） (2020高一上·温州期末) 当时，恒成立，则的取值范围是________．三、解答题： (共5题；共50分)16. （5分） (2015高二下·郑州期中) 已知函数g（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调增区间；（Ⅱ）求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x﹣x2﹣2lnx，证明：＞（n≥2）．（参考数据：ln2≈0.6931）17. （10分）(2019·长宁模拟) 已知△ 的三个内角、、所对应的边分别为、、，复数，，（其中是虚数单位），且 .（1）求证：，并求边长的值；（2）判断△ 的形状，并求当时，角的大小.18. （15分） (2017高三上·太原期末) 已知函数f（x）= ﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明： + ＜2（m+n）．19. （10分） (2017高二下·如皋期末) 已知函数f（x）满足f（log3x）=x﹣log3（x2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当n∈N*时，试比较f（n）与n3的大小，并用数学归纳法证明你的结论．20. （10分） (2018高一上·荆州月考) 已知函数（1）求证：函数f(x)-g(x)必有零点；（2）设函数G(x)=f(x)-g(x)-1①若函数G(x)有两相异零点且在上是减函数，求实数m的取值范围。

2024年福建省宁德市中考数学二检试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列实数中最小的是()A. B.0 C. D.72.如图，该几何体的主视图为()A. B. C. D.3.下列图案是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.计算的结果是()A. B. C. D.5.如图，在▱ABCD中，，则的度数是()A.B.C.D.6.如图是某地未来一周内每天的最高气温变化图象，下列关于该地气温描述正确的是()A.中位数是B.平均数是C.众数是D.方差是317.在中，，若，，则AB的长为()A.5B.12C.13D.158.如图，点A，B，C在上，，则的度数是()A.B.C.D.9.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点.已知点A的横坐标是，则点B的坐标是()A.B.C.D.10.如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B的对应点D落在AC边上，且B，D，E三点共线，则下列结论错误的是()A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.若，则______.12.如图，直线AB，CD交于点O，，则______13.为提高学生护眼意识，某社区开展“护眼活动”.该社区有985名学生，如表是该社区随机抽取的100名学生左眼视力的检查结果，该调查方式是______填“普查”或“抽样调查”视力人数9151111视力人数131715914.一个多边形的每一个外角都是，这个多边形是______边形.15.如图，在等边三角形ABC中，D为AB的中点，于点E，，则AB的长是______.16.已知点，，在抛物线上.若点A在对称轴左侧，则，，的大小关系是______用“>”，“<”或“=”连接三、解答题：本题共9小题，共86分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题8分计算：18.本小题8分解方程组：19.本小题8分如图，点A，B，D在同一条直线上，，，求证：20.本小题8分先化简，再求值：，其中21.本小题8分概率课上，王老师拟用摸球游戏的方式，将一件礼品送给甲、乙两位同学中的一位.规则如下：在不透明的袋子中装有三个小球，其中一个红球，两个白球，这些小球除颜色外完全相同，摸到红球的同学获得礼品.现由甲、乙同学先后进行摸球摸出的球不放回，求甲、乙两位同学获得礼品的概率分别是多少？22.本小题10分为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动.比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内含3分线投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分.班球队在某场比赛中，上半场共投中12个球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？班球队预想在下半场比赛中投中12个球，若在没有罚球的情况下，且下半场所得总分不少于29分，则该班级下半场比赛中至少投中多少个3分球？23.本小题10分综合与实践：活动主题扇面制作活动情景如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格.为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动.如图2，扇面形状为扇环，且，，活动小组甲组乙组制作工具直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀制作材料任务一：确定弦的长度.如图2，求所对弦AB 的长度.任务二：设计甲组扇面.如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据.任务三：确定卡纸大小.如图4，乙组利用矩形卡纸EFGH ，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格即矩形的边长24.本小题13分蹦床是一项运动员利用蹦床的反弹在空中表现杂技技巧的竞技运动，有“空中芭蕾”之美称.甲、乙两位蹦床运动员在某次训练过程中同时起跳，甲运动员着落蹦床后便停止运动，乙运动员着落蹦床后继续做放松运动，每次蹦床运动间隔停留时间忽略不计.图1是甲、乙两位运动员的运动高度与运动时间的二次函数图象，点A 的坐标为，点B 的坐标为，点D 的坐标为，且所有二次函数图象开口大小相同.求甲运动员在这次训练中运动的最大高度；图2是教练员观测到乙运动员在这次训练中，每次运动的最高点都在同一视线DE上，教练员的视线与水平线的夹角为①若甲、乙运动员在时运动高度相同，求直线DE的表达式；②当时，求乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范围25.本小题13分如图，在四边形ABCD中，，，点E在CD上，连接AE，过点D作于点F，连接将沿DF折叠使得点C的对应点H落在AB上，连接求证：；求的度数；若，试探究EG与AG的数量关系，并予以证明.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，所给的实数中最小的是故选：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.【答案】B【解析】解：从正面看易得，该几何体的视图为B，故选：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中，看不到的棱需要用虚线来表示．本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，掌握主视图的概念是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4.【答案】A【解析】解：原式故选：根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．本题考查了同底数幂的乘法，注意底数不变指数相加．5.【答案】B【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，故选：根据平行四边形的对角相等解答即可．此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角相等解答．6.【答案】C【解析】解：根据折线图可知，每天的气温为：、、、、、、，A.将这组数由小到大排列为：29、30、31、31、31、32、32，中位数是31，故选项错误，不符合题意；B.平均数是，故选项错误，不符合题意；C.这组数的众数是，故选项正确，符合题意；D.这组方差为：，故选项错误，不符合题意；故选：根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．本题考查了折线图，平均数、众数、中位数、方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数、方差的计算方法是关键．7.【答案】C【解析】解：在中，，，，由勾股定理得：；故选：在中，根据勾股定理求出AB即可．本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．8.【答案】D【解析】解：，，故选：利用圆周角定理进行计算，即可解答．本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，当时，，，点A、B关于原点的中心对称图形，点B坐标为故选：根据点点A的横坐标是，通过可以求出A点坐标，再根据反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，从而得出B点坐标．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象是中心对称图形是解答本题的关键．10.【答案】A【解析】解：绕着点A顺时针旋转得到，，点A、E、C、B四点，，所以C选项不符合题意；，所以D选项不符合题意，绕着点A顺时针旋转得到，，，，所以B选项不符合题意，平分，只有时，即，，所以A选项符合题意．故选：先根据旋转的性质得到，则可判断点A、E、C、B四点，再根据圆内接四边形的性质可对C选项进行判断；根据圆周角定理可对D选项进行判断；接着根据旋转的性质得到，，利用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系可对B选项进行判断；由于AD平分，利用等腰三角形的三线合一，只有时，即，，从而可对A选项进行判断．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了四点共圆的判定与性质、圆周角定理．11.【答案】【解析】解：，故答案为：先把要求的式子化成，再代值计算即可．此题考查了比例的性质，解题的关键是把化成12.【答案】51【解析】解：，，故答案为：根据对顶角的定义即可作答．本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键．13.【答案】抽样调查【解析】解：该社区有985名学生，如表是该社区随机抽取的100名学生左眼视力的检查结果，该调查方式是抽样调查．故答案为：抽样调查．根据全面调查与抽样调查的特点进行判断．本题考查了全面调查与抽样调查：全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．14.【答案】十二【解析】解：一个多边形的每一个外角都是，它的边数是，即这个多边形是十二边形，故答案为：十二．根据多边形的外角和进行计算即可．本题考查多边形的外角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．15.【答案】20【解析】解：是等边三角形，，，，，，为AB的中点，，的长是20，故答案为：先利用等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的中点定义可得，即可解答．本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及等边三角形的性质是解题的关键．16.【答案】【解析】解：由题意，抛物线为，抛物线为，且抛物线开口向下．当时，y取得最大值为又A在对称轴左侧，又，，且，根据抛物线开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，综上，故答案为：依据题意，由抛物线为，从而可得抛物线为，且抛物线开口向下，故当时，y取得最大值为，又A在对称轴左侧，则，可得，进而可得，又，，且，再根据抛物线开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．17.【答案】解：【解析】首先计算负整数指数幂、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18.【答案】解：，①-②得：，，把代入②得：，方程组的解为：【解析】先把两个方程相减，消去x，求出y，再把y的值代入方程②，求出x即可．本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．19.【答案】证明：在与中，，≌，，【解析】根据SAS证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明与全等解答．20.【答案】解：原式；当时，原式【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分后将a的值代入计算即可．本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．21.【答案】解：列表如下：*红白白红*红，白红，白白白，红*白，白白白，红白，白*共有6种等可能的情况数，其中甲获得礼品的情况数有2种，乙获得礼品的情况数有2种，则甲同学获得礼品的概率是，乙同学获得礼品的概率是【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查了列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：设该球队上半场比赛罚球得分是x分，则投中3分球的得分是分，根据题意得：，解得：答：该球队上半场比赛罚球得分是4分；设该班级下半场比赛中投中y个3分球，则投中个2分球，根据题意得：，解得：，的最小值为答：该班级下半场比赛中至少投中5个3分球．【解析】设该球队上半场比赛罚球得分是x分，则投中3分球的得分是分，根据该球队上半场共投中12个球，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；设该班级下半场比赛中投中y个3分球，则投中个2分球，根据该球队预想在下半场所得总分不少于29分，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】解：任务一：过点O作，交AB于点H，，，，，，，任务二：如图，是以直径为底边，底角为30度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以OA、OC为半径画弧，即可得到扇面．任务三：如图所示：当与矩形两边相切时，过点A作，则矩形FGNM为最小规格矩形，，，，，，，当与矩形两边相切，最小规格矩形的边长为45cm、30cm，【解析】任务一：由弧AB所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出AH，即可求解；任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形OAB，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取C点，再以O为圆心，分别以OA、OC为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同；任务三：在HG上取一点O使，以O为圆心，OG为半径的圆与EF相切，此时B点与G点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点A作，则矩形FGNM为最小规格矩形，本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，矩形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．24.【答案】解：乙运动员的第一次的运动高度与运动时间的二次函数图象经过点，点，点，设其解析式为：，，解得：，即乙运动员的第一次的运动高度与运动时间的二次函数解析式为：，所有二次函数图象开口大小相同．设，把点代入得：，解得：，，即，故甲运动员在这次训练中运动的最大高度是米，时间是秒；①当秒时，，即乙二次起跳中，当秒时，其高度，设乙二次起跳中的解析式为，将点和代入得：，解得：，即，，点，设直线DE解析式为，得：，解得：，设直线DE解析式为；②延长DE交x轴于K，过点D作轴；点D的坐标为，，，当时，，，点K的坐标为，直线，设乙二次起跳中的解析式为，把点代入得：，，，当时，，，当时，，，，整理得：，不合题意，舍去，，当，，，故，随n增大而增大；故乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范围大于或等于，小于【解析】根据点A的坐标为，点D的坐标为，可求出乙运动员的函数图象解析式；根据开口相同求出甲的解析式，进而求出最高点；①根据点At和甲、乙运动员在时运动高度相同，求出乙运动员的高度，再用待定系数法求出乙二次起跳中的解析式，即可得出顶点坐标；由点，点求出直线解析式；②先求出时直线DE的表达式，根据设乙二次起跳中的解析式为，乙在第二次蹦床运动中的抛物线经过点A的坐标为，得出解析式为，由顶点高于直线得出，得出最大运动高度的取值范围大于或等于，小于本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，解题关键是根据点的位置正确求出函数解析式，利用顶点坐标的位置求出直线解析式．25.【答案】解：延长DF交CH于点K，由折叠性质可知：点C与点H是关于DF的对称，，即：又，即：，，；由折叠性质可知：，又，，，，，，即：，，，过点A作，垂足为Q，过D点作，垂足为N，交EA于M，连接HM，，，四边形AQCD是矩形，，矩形AQCD是正方形，，，即，，，，，，，，，，，设，，，，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，≌，，，，【解析】由折叠的性质可知，进而即可判定；由折叠性质可知，又有，所以，，再由，即可计算，即得的度数；过点A作，垂足为Q，过D点作，垂足为N，交EA于M，连接HM，可得，再证明，和均是等腰直角三角形，设，可得，，，由，可求，从而解题．本题主要考查了四边形综合，正方形的判定与性质，折叠问题和解三角形，全等三角形的判定，.解题关键是利用构造直角三角形；由等角转换线段比表示线段长．。

福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.有下列四个命题：其中真命题为（）Ａ． B．Ｃ．若，则Ｄ．若，则2.设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝（）A．B．C．D．3.设,则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．4.在△ABC中，若，则等于（）A．B．C．D．5.在△ABC中，若，则其面积等于（）A．B．C．D．6.（）A．64B．128C．256D．5127.等差数列中，前项和，若，则当取得最大值时，为（）A．26或27B．26C．25或26D．258.已知条件，条件，则是的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.二次方程,有一个根比大,另一个根比小，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.数列的通项公式为，数列的前和，则（）A．B．C．D．二、填空题1.与，这两数的等差中项是2.已知命题，，则：3.设且,则的最小值为__4.5.数列为等差数列，，则6.在△ABC中，，则的最大值是_____________7.命题“m∈Z，∀x∈R，m2－m＜x2＋x＋1”是真命题，写出满足要求的所有整数8.数列中，是数列的前项和，，则三、解答题1.解不等式2.在中，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积，求的长．3.在中，角所对的边分别为，设为的面积，满足（I）求角的大小；（II）若边长，求的周长的最大值．4.设命题成立；命题：成立，如果命题或为真命题，命题且为假命题，求的取值范围。

5.某新设备M在第1年可以生产价值120万元的产品，在使用过程中，由于设备老化及维修原因使得M的生产能力逐年减少，从第2年到第6年，每年M生产的产品价值比上年减少10万元；从第7年开始，每年M生产的产品价值为上年的75%．（I）求第n年M生产的产品价值的表达式；（II）该设备M从购买回来后马上使用，则连续正常使用10年可以生产多少价值的产品？6.已知数列满足：，点在直线上，数列满足：且.（I）求的通项公式；（II）求证：数列为等比数列；（3）求的通项公式；并探求数列的前和的最小值福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.有下列四个命题：其中真命题为（）Ａ． B．Ｃ．若，则Ｄ．若，则【答案】A【解析】故A对B错，当x=-2时x也等于4故C错，x＜0＜2时D错所以选A.2.设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图：是直径，则在直角三角形中，故选D3.设,则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略4.在△ABC中，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：故选C5.在△ABC中，若，则其面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略6.（）A．64B．128C．256D．512【答案】B【解析】故选B7.等差数列中，前项和，若，则当取得最大值时，为（）A．26或27B．26C．25或26D．25【答案】D【解析】设由知公差小于零，所以所对应二次函数对称轴为所以最大.故选D8.已知条件，条件，则是的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】不等式化为，解得：不等式化为解得故选A9.二次方程,有一个根比大,另一个根比小，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略10.数列的通项公式为，数列的前和，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故选C二、填空题1.与，这两数的等差中项是【答案】【解析】略2.已知命题，，则：【答案】，【解析】略3.设且,则的最小值为__【答案】16【解析】略4.【答案】7【解析】略5.数列为等差数列，，则【答案】【解析】略6.在△ABC中，，则的最大值是_____________【答案】【解析】略7.命题“m∈Z，∀x∈R，m2－m＜x2＋x＋1”是真命题，写出满足要求的所有整数【答案】0和1【解析】略8.数列中，是数列的前项和，，则【答案】【解析】略三、解答题1.解不等式【答案】3分（1）时，化为，原不等式无解 5分（2），原不等式的解为 7分（3），原不等式的解为 9分综述【解析】略2.在中，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积，求的长．【答案】（Ⅰ）由，得， 1分由得 2分所以，由，得 4分所以 6分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故， 8分又， 10分故，．所以【解析】略3.在中，角所对的边分别为，设为的面积，满足（I）求角的大小；（II）若边长，求的周长的最大值．【答案】(1)由题意可知， 2分ab sin C＝·2ab cos C，所以tan C＝. 5分因为0<C<π，所以C＝. 6分（2）由上知，C＝，所以，所以 7分所以，， 8分由于，所以 10分解得取等号，所以△ABC的周长的最大值为6 12分另法：由正弦定理得到：所以，所以，当时，最大值为4，所以△ABC的周长的最大值为6【解析】略4.设命题成立；命题：成立，如果命题或为真命题，命题且为假命题，求的取值范围。