揭阳市云路中学2013届高三数学 (文科)第六轮测试试题2013.01.12

单元能力检测(六)[考查范围：第六单元 不等式] 时间：120分钟 分值：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合A ＝{x |x (x －1)>0}，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0)∪(1,4] C ．[－4，－1)∪(0,1] D ．[－1,0)∪(1,3]2．已知a ，b 是实数，则“a >1，b >1”是“a ＋b >2且ab >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －24．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．一种产品的年产量第一年为a件，第二年比第一年增长p1%，第三年比第二年增长p2%，且p1>0，p2>0，p1＋p2＝2p，如果年平均增长x%，则有()A．x＝pB．x≤pC．x≥pD．x<p6．下面给出的四个点中，到直线x－y＋1＝0的距离为22，且位于⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－1<0，x－y＋1>0所表示的平面区域内的点是()A．(1,1)B．(－1,1)C．(－1，－1)D．(1，－1)7．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么()A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一8．已知平面区域D由以A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部及边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．49. 已知函数f (x )的定义域为[－3，＋∞)，且f (6)＝2.f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图D6－1所示．若正数a ，b 满足f (2a ＋b )<2，则b ＋3a －2的取值范围是( )图D6－1A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－92，3 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪(3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－32，310．某企业生产A ，B 两种产品，A 产品的利润为60元/件，B 产品的利润为80元/件，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产．每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在加工车间和装配车间都需经过1.6 h ．在一个生产周期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h ，在销路顺畅无障碍的情况下，该企业在一个生产周期内可获得的最大利润是( )A ．12400元B ．12600元C ．12800元D ．13000元二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答题卡相应位置)11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为________．12．关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.13．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q >1，b i >0(i ＝1,2,3，…，n )，若a 2＝b 2，a 2012＝b 2012，则a 1007与b 1007的大小关系是________．14．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋4，且x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥0，1≤x ≤4.则z ＝2x ＋y 的最大值为________．15．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则16x ＋4y 的最小值为________． 16．要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________ m 、宽为________ m.17. 若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0(c ∈R )．19．(14分) 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库顶部面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？20．(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品需要电力、煤、劳动力及产值如下表所示：150 t ，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，才能创造最大的经济效益？21．(15分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后，他们平均每人每年创造利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax (0<a <1)，讨论f (x )的单调性．单元能力检测(六) 参考答案1．B [解析] A ＝{x |x <0或x >1}，B ＝{x |－1≤x ≤4}，∴A ∩B ＝[－1,0)∪(1,4]． 2．A [解析] 根据不等式的性质可得充分性，但当a ＋b >2且ab >1时，取a ＝10，b ＝12，则推不出前者． 3．D [解析] 选项A 中x 的正负未定，选项B 、C 中等号取不到，只有选项D 中的函数的最小值是2.4．B [解析] 若a ＝0，则不等式ax 2＋2ax ＋1>0恒成立，即解集是R ；若a ≠0，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集是R 时，a >0且4a 2－4a <0，即0<a <1，故不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集是R 时，0≤a <1.所以甲是乙的必要不充分条件．5．B [解析] 依题意a (1＋p 1%)(1＋p 2%)＝a (1＋x %)2， ∴(1＋p 1%)(1＋p 2%)＝(1＋x %)2 ≤⎝⎛⎭⎫1＋p 1%＋1＋p 2%22，即(1＋x %)2≤(1＋p %)2，故得x ≤p .6．C [解析] 把(1,1)代入x ＋y －1<0不成立，排除A ；把(－1,1)代入x －y ＋1>0不成立，排除B ；而(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离为322，排除D ，故选C.7．A [解析] ∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4.当且仅当a ＝b ＝2时，取“＝”．又∵c ＋d ≥2cd ＝4，当且仅当c ＝d ＝2时，取“＝”，故选A.8．C [解析] 平行于AB 的直线过C 点时有最小值，仅有点C 使其取得最小值；平行于BC 的直线过A 点时，z 有最小值，仅有一个点A 使其取得最小值；平行于AC 的直线在AC 上任取一点时，z 都有最小值，此时m ＝1，选C.9．A [解析] 根据函数f (x )导数的图象可知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (6)＝2，故a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，2a ＋b <6.作出不等式组所表示的平面区域如图，根据b ＋3a －2的几何意义，其表示区域内的点与点P (2，－3)连线的斜率，根据斜率公式可得其取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(3，＋∞)．10．B [解析] 设在一个生产周期内生产A ，B 两种产品各x ，y 件，则x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0.8x ＋1.6y ≤240，2.4x ＋1.6y ≤288，x ，y ∈N *.在一个生产周期内的利润z ＝60x ＋80y ，根据不等式组所表示的区域和目标函数的几何意义，目标函数在直线0.8x ＋1.6y ＝240与直线2.4x ＋1.6y ＝288的交点(30,135)处取得最大值，故z max ＝60×30＋80×135＝12600.11．(0,2)∪(10，＋∞) [解析] 令2x ＋1>2(x <2)，解得0<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.12．4 [解析] 不等式等价于(x ＋1)(x －a )>0，故a ＝4. 13．a 1007>b 1007 [解析] a 1007＝a 2＋a 20122>a 2·a 2012＝b 2·b 2012＝b 1007. 14．12 [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x －y 2＋5y ≥0，1≤x ≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋y －5)(x －y )≥0，1≤x ≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≥0，x －y ≥0，1≤x ≤4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，x －y ≤0，1≤x ≤4，画出可行域可得z ＝2x ＋y 在点(4,4)取得最大值12.15．8 [解析] 由a ⊥b ，得(x －1)×4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.根据基本不等式，16x ＋4y ≥216x ·4y ＝242x ＋y ＝8.当且仅当2x ＝y ，即x ＝12，y ＝1时，等号成立．16．24 18 [解析] 设鱼池的两边长分别为x ，432x，∴S ＝(x ＋6)⎝⎛⎭⎫432x ＋8＝432＋48＋2592x ＋8x ≥480＋288＝768，当且仅当8x ＝2592x ，即x ＝18，432x＝24时等号成立．17.⎣⎡⎭⎫15，＋∞ [解析] 方法1：由x >0，原不等式等价为0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x ＋3恒成立，所以有1a ≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋3min ＝5，即0<1a ≤5，解得a ≥15. 方法2：问题等价于a ≥⎣⎡⎦⎤xx 2＋3x ＋1max ，而x x 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x≤12＋3＝15，即⎣⎡⎦⎤x x 2＋3x ＋1max ＝15，故a ≥15. 18．[解答] (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.∴当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.19．[解答] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为S ＝xy依题设，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3200，由基本不等式得3200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100， 所以S 的最大允许值是100平方米．(2)取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长是15米．[解答] 设每天生产甲种产品x t ，乙种产品y t ，所创效益z 千元． 由题意：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ≤180，3x ＋6y ≤150，5x ＋3y ≤150，x ，y ≥0，目标函数z ＝7x ＋9y ，作出可行域(如图所示)， 把直线l ：7x ＋9y ＝0平行移动， 当经过P 点时，z ＝7x ＋9y 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ＝150，5x ＋3y ＝150，解得⎩⎨⎧ x ＝1507，y ＝1007，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1507，1007，故每天生产甲种产品1507 t ，乙种产品1007t ，才能创造最大的经济效益． 21．[解答] (1)由题意得：10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000， 即x 2－500x ≤0.又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整出500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x )⎝⎛⎭⎫1＋1500x 万元，则10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x ≤10(1000－x )(1＋0.2x %)， 所以ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2， 所以ax ≤2x 2500＋1000＋x ， 即a ≤2x 500＋1000x＋1恒成立． 因为2500x ＋1000x≥22x 500×1000x ＝4， 当且仅当2x 500＝1000x，即x ＝500时等号成立． 所以a ≤5.又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．22．[解答] f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1. (1)若0<a <12，则x 2>x 1.当0<x <1或者x >1a －1时，f ′(x )<0；当1<x <1a－1时，f ′(x )>0.此时函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1，1a －1；(2)若a ＝12，x 1＝x 2，此时f ′(x )≤0恒成立， 故此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)若12<a <1，则0<x 2<x 1.当0<x <1a －1或者x >1时，f ′(x )<0；当1a－1<x <1时，f ′(x )>0. 故此时函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，1. 综上所述：当0<a <12时，函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1，1a －1；当a ＝12时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当12<a <1时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，1.。

揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|A x y ==，则=A C UA.[0,)+∞B.(,0)-∞C. (0,)+∞D. (,0]-∞ 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi +=A ．12i + BC．2D ．543．已知点A (1,5)-和向量a =（2,3），若3AB a =，则点B 的坐标为 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5，14) 4．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若129m a a a a =+++，则m 的值为A ．37B ．36C ．20D ．19 5．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示，则该几何体的体积为A.7B.223C.476D.233图（1）6．已知函数1()ln(1)f x x x =-+,则()y f x =的图象大致为侧视图正视图7．某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为A.18B.24C.30D.36 8.设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑= A.1()2f B.1()3f C. 1()4f D. 1()5f 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．若点(,1)a -在函数13log y x =的图象上，则4tanaπ的值为 ． 10．过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .11．某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个 图（2）元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．元件2元件112．已知函数()4||21f x a x a =-+．若命题：“0(0,1)x ∃∈，使0()0f x =”是真命题，则实数a 的取值范围为 ． 13．已知点(,)P x y 满足01,0 2.x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线l 过圆C：)4πρθ=-的圆心C ，且与直线OC 垂直，则直线l 的极坐标方程为 ．15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）所示，,C D 是半圆周上的两个三等分点，直径4AB =，CE AB ⊥，垂足为E ，BD 与CE 相交于点F ，则BF 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （1）求函数()f x 的定义域；（2）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值．17. （本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望． 18．（本小题满分14分）数列{}n a 中，13a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （1）求c 的值； （2）求{}n a 的通项公式；（3）求最小的自然数n ，使2013n a ≥．图3BA o19．（本小题满分14分）在图（4）所示的长方形ABCD 中， AD=2AB=2，E 、F 分别为AD 、BC 的中点， M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动，且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C ，如图（5）所示，其中(0,]2πθ∈图（5）图（4）MN FDC B AE（1）当045θ=时，求三棱柱BCF-ADE 的体积；（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN 总与平面BCF 平行；（3）当090θ=且2a =时，求异面直线MN 与AC 所成角余弦值．20. （本小题满分14分）如图（6）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点作倾斜角为3π的直线t ，交l 于点A ，交圆M 于点B,且||||2AO OB ==．（1）求圆M 和抛物线C 的方程；（2）设,G H 是抛物线C 上异于原点O 的两个不同点，且0OG OH ⋅=,求GOH ∆面积的最小值；（3）在抛物线C 上是否存在两点Q P ,关于直线()():10m y k x k =-≠对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a （1,2,n =）．（1）求12,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立．数学(理科)参考答案及评分说明一．选择题：解析：1．由210x-≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ．2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+=选C ． 3．设(,)B x y ，由3AB a =得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111xg x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C .8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故81i i a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-，故选C.二．填空题：9．依题意得3a =，则4tana π=4tan3π= 10．双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43y x =±，所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=．11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12p =，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：2131(1)4P p =--=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >. 13．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-15.依题意知30DBA ∠=,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以3BF =三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠，解得,2x k k Z ππ≠+∈，------------2分即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵1)4()cos x f x xπ-=122)22cos x x x =1cos 2sin 2cos x xx +-=--------6分22cos 2sin cos cos x x xx -= 2(cos sin )x x =--------------------------------------------------8分由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+= ∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=----------------------10分∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-----------------------------------------------------------12分17. 解：（1）设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，------------------------------2分故2232336()()55125P A C =⨯=. ------------------------------------------5分 (2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23C 25＝18100＝950， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13·C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝1550， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 22C 25＝125．-----------------------------10分ξ的分布列为分数学期望为E ξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分 ∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， --------------------------------2分 解得0c =或3c =． --------------------------------3分 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．-------------------------------4分 （2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-，G EBCD FN MN 1M 1EBC DFNM得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．--------------------------------6分 又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=，，．-------------------------8分当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．--------------------------------9分 （3）由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥，即213400n n --≥--------------------------10分 ∵n N ∈*,∴n ≥141813622+⨯>=--------------------------------11分令37n =，得3720012013a =<，令38n =得3821122013a =>----------------------13分 ∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =．--------------------------------14分19．解：（1）依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ，DEA ∠=θ-------2分由45θ=得，12sin 4524ADE S DE EA ∆=⋅=, ∴4BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=----------------------------------------------------------------------4分（2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF=== ∴11MM NN =--------------------------------7分 ∴四边形11MNN M 为平行四边形，--------------------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面--------------------10分【法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FGNE MA GE== //NG CF ∴--------------------------------------------------------------6分,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，------------7分同理可证得//MG BCF 面，又MGNG G =, ∴平面MNG//平面BCF-------------9分QEABC DFNM∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面．----------------------------------------------------10分】 （3）法一：取CF 的中点为Q ，连结MQ 、NQ ，则MQ//AC ， ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角，--------11分∵090θ=且a =∴12NQ =,MQ ==MN ∴=---------------------------------------------------------------------12分222cos 2QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC所成角的余弦值为3--------------------------------14分 【法二：∵090θ=且2a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. --------------11分 则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得----12分cos ,3AC MN ∴<>==，……………………………………………13分 所以与AC…………………………………………………14分】 20. 解：(1)∵1cos 602122p OA ==⨯=，即2p =， ∴所求抛物线的方程为24y x = --------------------------------2分 ∴设圆的半径为r ，则122cos60OB r =⋅=，∴圆的方程为22(2)4x y -+=.--------------4分(2) 设()()1122,,,G x y H x y ，由0OG OH ⋅=得02121=+y y x x∵2211224,4y x y x ==，∴1216x x =， --------------------------------6分 ∵12GOH S OG OH ∆=,∴()()222222*********GOHS OG OH x y x y ∆==++=()()2211221444x x x x ++ =()()21212121214164x x x x x x x x ⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x ⎡⎤+⋅⎣⎦=256∴16GOH S ∆≥,当且仅当122x x ==时取等号，∴GOH ∆面积最小值为16.-------------------------------------------9分 (3) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上，∴2233444,4y x y x ==两式相减得：()()()3434344y y y y x x -+=---------------------------------11分∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--，∴02y k =-∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上∴010x =-<，点()00,y x D 在抛物线外--------------------------------13分∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. --------------------------14分 21．解：（1）解法1：∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=----------1分当1n =时，1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴1111()28a f ==， --------------------------------------------------3分 当2n =时，2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴2211()216a f ==---------------------------------------------------5分 【解法2：当1n =时，21()(1)f x x x =-，则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x=---=--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减，∴1111()28a f ==， 当2n =时，222()(1)f x x x =-，则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减，∴2211()216a f ==】（2）令'()0n f x =得1x =或2n x n =+，∵当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >，当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <，-----------------------7分 故()n f x 在2nx n =+处取得最大值，即当3n ≥时，22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)nn n n +=+,------（*）------------------9分 当2n =时（*）仍然成立，综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩ -------------------------------------10分（3）当2n ≥时，要证2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n +≥-------------------11分∵01222(1)()()n n nn n n C C C nn n +=+++2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=∴对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立.--------------------------------14分。

揭阳市云路中学2012届高三第一次测试数学（理科）班级： 姓名： 座位： 评分：第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2、(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r若向量若则的值为 ( )A ．3B ．13-或C ． -1 D. 3-或13、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为 （ ）Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．5 Ｄ．74、设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f x g x +是偶函数 D ．()()f x g x -是奇函数5、已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∨ B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∨⌝D ． ()()p q ⌝∧⌝6、右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A.i>10B.i<10C.i>20D.i<207、函数)2(log log 2x x y x +=的值域是（ ）A ．]1,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,1[-D ．),3[]1,(+∞--∞Y8、若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 （ ）A ．m ≤－1B ．m ≥1C ．－1≤m<0D ．0<m ≤1第二部分 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题，共30分，把答案填写在答题卡相应位置上） 9、若902=⎰dx x a ，则_____=a ；⎰-=-222____________4dx x .10、若 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是11、若不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为∅,则a 的取值范围为_____________.12、已知n m b a b x a x x f ,),)()((1)(<---=是)(x f 的零点，且n m <，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是___________ 。

第6题高三数学（理科）第一次测试试题第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2、(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥若向量若则的值为 ( )A ．3B ．13-或C ． -1 D. 3-或13、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为 （ ）Ａ．６ Ｂ．２Ｃ．Ｄ．4、设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f x g x +是偶函数 D ．()()f x g x -是奇函数5、已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∨ B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∨⌝D ． ()()p q ⌝∧⌝6、右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A.i>10B.i<10C.i>20D.i<207、函数)2(log log 2x x y x +=的值域是（ ）A ．]1,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,1[-D ．),3[]1,(+∞--∞8、若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤－1 B ．m ≥1 C ．－1≤m<0D ．0<m ≤1第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题，共30分，把答案填写在答题卡相应位置上） 9、若902=⎰dx x a ，则_____=a ；⎰-=-222____________4dx x.10、若 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是11、若不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为∅,则a 的取值范围为_____________.12、已知n m b a b x a x x f ,),)()((1)(<---=是)(x f 的零点，且n m <，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是___________ 。

文科数学参考答案·第1页（共8页）图1云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|1}{|0}A x x B y y ==>≤，，故(01]A B = ，． 2．由题可得i i 1i z -=+，12i2i iz +∴==-，则复数z 的共轭复数是2i +． 3．A 、C 、D 选项都是正确的，选项B 的逆命题是“若a b <，则22am bm <”，它是错误的，因为当0m =时，22am bm =．4．由题可得点G 是ABC△的重心，设BC 边的中点为D，则221()332AG AD AB AC ==⨯+2()3AE AF =+，23x y∴==，4.3x y ∴+= 5．只有②③是正确的．6．直线l 的斜率211k m =-≤，tan 1α∴≤，∴ππ0π.42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，7．设正四面体的棱长为a ，则体积31132V a =⨯⨯==2a ∴=，而正四面体的左视图为一个等腰三角形，如图1所示， 122S ∴=⨯=8．73ππ()sin πcos πsin cos 4444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭文科数学参考答案·第2页（共8页）ππππsin coscos sin cos cos sin sin cos )4444x x x x x x =--+=- π2sin 4x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故最小正周期是2π．令πππ42x k -=+，则3ππ4x k =+为函数()y f x =的对称轴方程．当1k =-时，π.4x =- 9．根据约束条件作出可行域，当a <0时，不满足题意，故a >0，此时得到的可行域是一个三角形，2124 2.2S a a a a =⋅⋅==∴=，10．由题意得2log a x x <在102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立，故在102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上2=log a y x y x =的图象在的下方．由图象知0<<1a ，当=log a y x 的图象过点1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，1=16a ，故1116a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时满足题意．11．()||0f x x =-||x =，函数()f x 没有零点，则y =||y x =的图象没有交点．22(0)y x y a y =+=≥，它表示以(00)，||y x =的图象是端点为(0的一条折线，如图2，当上半圆与||y x =相切时，1a =；当上半圆经过点(02a =∴=. 若两图象没有交点，则012a a <<>或．12．设00()M x y ，，则100200()()MF c x y MF c x y =---=--，，，，2222222222222220120000022211.x b c MF MF x c y x c b x c b x c b a a a ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=-+-=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0[]x a a ∈- ，，∴当0x a =±时，12MF MF ⋅有最大值2b ，2222c b c ∴≤≤，2222222223c a c c c a c ∴-∴≤≤，≤≤，221132c a ∴≤≤，图2文科数学参考答案·第3页（共8页）e ∴∈⎣⎦．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．i 从1开始，依次取3，5，7，9，故输出27317.S =⨯+=14．区域D 表示一个以原点为圆心，半径为1的圆；区域E则2πE D S P S ===． 15．1201320121()1n n na f a a a a +===+ ，， 2013201220122012101n a a a a a ∴==>∴+，又，201220112011201021201111a a a a a a a ∴==∴=====+1234566 3.a a a a a a ∴+++++= 16．如图3所示，圆的方程可化为22(2)1x y -+=，抛物线的焦点(20)F ，，准线 2.x =- 由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=， 设直线与抛物线交于()()A A D D A x y Dx y ，，，， 则12A D x x +=，()()(1)(1)2AB CD AF BF DF CF AF DF AF DF +=-+-=-+-=+-，图3文科数学参考答案·第4页（共8页）由抛物线的定义得22A D AF x DF x =+=+，， ()2214.A D AB CD AF DF x x +=+-=++=故三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）311π3πππ41264T T =-=∴= ，，2π2T ω∴==，图象过点π6A ⎛⎫⎪⎝⎭，，ππ22π62k ϕ∴⨯+=+，ππ026ϕϕ<<∴= 又，，π()sin 26f x A x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又图象过点(01)，，πsin126A A ∴=∴=，， π()2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）πππ()2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．由πππ2π22π232k x k --+≤≤得π5πππ1212k x k -+≤≤， ∴()y g x =的单调递增区间是π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，．…………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）8889909192905x ++++==甲，838387989990.5x ++++==乙2222221[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s =-+-+-+-+-=甲；文科数学参考答案·第5页（共8页）2222221[(8390)(8390)(8790)(9890)(9990)]50.45s =-+-+-+-+-=乙，22x x s s =< 乙乙甲甲，，∴甲的成绩更稳定．……………………………………………（6分）（Ⅱ）x 所有可能的取值有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10种，其中满足甲的平均成绩超过乙的平均成绩的x 可能的取值有0，1，2，3，4，5，6，7共8种， 故P （甲的平均成绩超过乙的平均成绩）84105==．………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，取A B '的中点G ，连接FG ，EG ．F 、G 分别是A C A B ''、的中点，FG∴12BC ，又DE 12BC ， FG∴DE ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF EG ∥，又DF A BE EG A BE ''⊄⊂平面，平面，∴DF A BE '∥平面．…………………………（6分） （Ⅱ）解：取BE 的中点H ，连接A H HC '，，则A H BE '⊥，A BE BCDE A BE BCDE BE A H BCDE '''⊥=∴⊥ 又平面平面，平面平面，平面， A CH A C BCDE ''∴∠为与平面所成角，在△BCH中，由余弦定理得22252222CH =+-=⎝⎭，CH =得2A H '=又tan A H A CH CH ''∴∠=……………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：2p p -=∴∴抛物线22(0)y px p =>的焦点为0⎫⎪⎪⎝⎭， 图4文科数学参考答案·第6页（共8页）2a ∴=又双曲线的一条渐近线过点1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1b b a ∴=∴=， 故双曲线的标准方程为222 1.x y -=…………………………………………………（4分） （Ⅱ）证明：设直线l ：y kx b =+，直线l与圆相切，2211b k =∴=+，，由2221y kx b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得222(2)210k x kbx b ----=， 设1122()()P x y Q x y ，，，， 21212222122kb b x x x x k k --+==--则，，22121212121212()()(1)()OP OQ x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b ∴⋅=+=+++=++++2222222222(1)(1)21222k b k b b k b k k k +---+-=++=---，221b k =+ ，0.OP OQ OP OQ ∴⋅=∴⊥，…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）().x f x e a '=+当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴R 在上是增函数； 当<0a 时，令()0ln()x f x e a x a '=+==-，则，则()(ln())(ln()).f x a a -∞--+∞在，上是减函数，在，上是增函数…………………（6分）（Ⅱ）()0(0)(0)x xe f x e ax x a x x=+>∈+∞⇒>-∈+∞在，上恒成立在，上恒成立，令22(1)()=()==.x x x x e e x e e x k x k x x x x --'-∴-，文科数学参考答案·第7页（共8页）当1x >时，()0k x '<；当01x <<时，()0k x '>，()(01)(1)k x ∴+∞在，上是增函数，在，上是减函数，max ()(1)k x k e ∴==-，.a e ∴>-………………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图5，连接OD ，AD ，AC 为圆O 的直径，AD BC ∴⊥，又AB AC = ， CAD BAD ∴∠=∠. OA OD = ， CAD ODA ∴∠=∠， BAD ODA ∴∠=∠，OD AB ∴∥.……………………………………………………………………………（4分）DE AB ⊥，DE OD ∴⊥，DE ∴为圆O 的切线．……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）Rt ADB DE AB ⊥ 在中，，△2DE AE BE ∴=⋅，………………………………………………………………………（8分）DE 为圆O 的切线，2DE EF CE ∴=⋅，∴.AE BE EF CE ⋅=⋅…………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】图5文科数学参考答案·第8页（共8页）解：（Ⅰ）圆1O 可化为：224x y +=；圆2O可化为：2ππcos cos sin sin 244ρθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，222220x y x y ∴+---=．………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）联立222242220x y x y x y ⎧+=⎪⎨+---=⎪⎩，，两式相减得10x y +-=，即为公共弦所在的直线方程， ∴圆心1(00)O ，到直线10x y +-=的距离为2d =，又圆1O 的半径2r =，故两圆公共弦的长为=……………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）31()211232x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩，，，≤≤，，，其图象如图6所示，由图可知当x =1时，y =1，故=1a ．……………（5分） （Ⅱ）由题意得()0f x m +≠在R 上恒成立，即()0f x m +=在R 上无实数解，即()y f x y m ==-的图象与无交点，<3>3m m ∴---或，∴3m >或3m <-．……………………………………………………………………（10分）图 6。

【全程复习方略】某某省2013版高中数学 阶段滚动检测(六)理 新人教A 版（第一～十一章）（120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)设全集U ＝R ，集合A ＝{x|2x(x －2)<1}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合 为( )(A){x|x≥1}(B){x|x≤1} (C){x|0<x≤1}(D){x|1≤x<2}2.(2011·某某模拟)设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )(A)12 (B)1 (C)32 (D)2 3.(滚动交汇考查)下列说法错误的是( )(A)命题：“已知f(x)是R 上的增函数，若a ＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题(B)“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件 (C)若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题(D)命题p ：“∃x∈R，使得x 2＋x ＋1＜0”，则⌝p ：“∀x∈R，均有x 2＋x ＋1≥0”4.(滚动单独考查)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x≥0x 2＋4x ＋3，x<0，则方程f(x)＝2的实数根的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(滚动单独考查)一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是( )(A)73 (B)143(C)7 (D)14 6.(2012·某某模拟)为了得到函数y ＝sin(2x ＋2π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象( )(A)向左平移π2个单位长度(B)向右平移π2个单位长度(C)向左平移π4个单位长度(D)向右平移π4个单位长度7.(滚动单独考查)(2012·某某模拟)若过点A(0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的倾斜角的取值X 围是( )(A)[π6，5π6] (B)[π3，2π3](C)[0，π6]∪[5π6，＋∞) (D)[0，π3]∪[2π3，＋∞)8.(2012·某某模拟)圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋2，直线l 与圆C 交于A 、B ，若|OA ＋OB |＜|OA－OB |(其中O 为坐标原点)，则k 的取值X 围是( ) (A)(0，7) (B)(－7，7)(C)(7，＋∞) (D)(－∞，－7)∪(7，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上) 9.(滚动单独考查)如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1，目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为.10.(滚动单独考查)(2012·某某模拟)已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m ＋1对x∈(0，＋∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值X 围是.11.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若 ∫1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝.12.(2012·某某模拟)如图是一个算法的程序框图，最后输出的W ＝.13.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是.14.(2012·某某模拟)下面给出一个“直角三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 …满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i≥j，i ，j∈N *)，则a 83＝.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)已知函数f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx －12.(1)若x∈[0，π2]，求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x 的值；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若f(A2)＝1，b ＝1，c ＝4，求a 的值.16.(13分)(滚动单独考查)已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，AB ＝1，AD ＝2，(1)证明：直线AM∥平面NEC ； (2)求二面角N —CE —D 的余弦值.17.(13分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小X 只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示小X 选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)求学生小X 选修甲的概率；(2)记“函数f(x)＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (3)求ξ的分布列和数学期望.18.(14分)(2012·某某模拟)已知数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n－1(n∈N *且n≥2). (1)求a 2、a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19.(14分)(滚动单独考查)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM ⊥ON ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20.(14分)(2012·某某模拟)已知函数f(x)＝mx －mx，g(x)＝2lnx.(1)当m ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当m ＝1时，证明方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根；(3)若x∈(1，e]时，不等式f(x)－g(x)<2恒成立，某某数m 的取值X 围.答案解析1.【解析】选D.由2x(x －2)＜1得x(x －2)＜0，故集合A ＝{x|0＜x ＜2}，由1－x ＞0得x ＜1，故B ＝{x|x ＜1}，所以A ∩B ＝{x|0＜x ＜1}，所以(A ∩B)＝{x|1≤x ＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x ＜2}. 2.【解析】选B.∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a(1－i)2＋1＋i 2＝1＋a 2＋1－a 2i ∈R ，∵a ∈R ，∴1－a2＝0，解得a ＝1，故选B.3.【解析】选C.A 中，∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b. 又函数f(x)是R 上的增函数，∴f(a)≥f(－b)，① 同理可得，f(b)≥f(－a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题. 又原命题与其逆否命题是等价命题， ∴逆否命题为真.B 中若x>1，则|x|>1成立；若|x|>1，则x>1或x<－1，故B 正确. 若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题， 所以C 错误.D 正确. 4.【解析】选D.令31－x＝2，∴1－x ＝log 32.∴x ＝1－log 32.又∵log 32<log 33＝1，∴x ＝1－log 32>0.∴这个实根符合题意.令x 2＋4x ＋3＝2，则x 2＋4x ＋1＝0.解得两根x 1＝－2－3，x 2＝－2＋3，x 1和x 2均小于0，符合题意.5.【解题指南】三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积.【解析】选B.三视图复原几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形，边长为1.它的体积是：13×2×(22＋12＋4×1)＝143.故选B.6.【解析】选C.由2x ＋2π3＝0得x 2＝－π3，由2x ＋π6＝0，得x 1＝－π12，平移方向为x 1→x 2，如图所示平移大小为|x 2－x 1|＝π4，∴左移π4个单位.7.【解析】选A.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，符合题意，此时倾斜角为π2，当直线l的斜率存在时，设过点A(0，－1)的直线l 方程为：y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0，当直线l 与圆相切时，有|k ×0－3－1|k 2＋1＝23，k ＝±33，数形结合，得直线l 的倾斜角的取值X 围是[π6，π2)∪(π2，56π]，综上得，直线l 的倾斜角的取值X 围是[π6，56π].8.【解题指南】利用|OA ＋OB |＜|OA －OB |(OA ＋OB )2＜(OA －OB )2进行转化.【解析】选D.由|OA ＋OB |＜|OA －OB |两边平方化简得OA ·OB ＜0， ∴∠AOB 是钝角，所以O(0,0)到kx －y ＋2＝0的距离小于22， ∴2k 2＋1＜22， ∴k ＜－7或k ＞7，故选D. 9.【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1所表示的平面区域如图，由直线方程联立方程组易得A(1，225)，B(1,1)，C(5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k<－35，即k>35.将k ＝2代入，过B 的截距z ＝2×1＋1＝3，过C 的截距z ＝2×5＋2＝12，符合题意，故k ＝2.答案：210.【解题指南】令t ＝3x，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.【解析】方法一：令t ＝3x，则问题转化为函数f(t)＝t 2－mt ＋m ＋1对t ∈(1，＋∞)的图象恒在t 轴的上方，即Δ＝(－m)2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0m2<11－m ＋1＋m ≥0，解得m<2＋2 2.方法二：令t ＝3x，问题转化为m<t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)，即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小，又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2≥2(t －1)2t －1＋2＝2＋22， 所以m<2＋2 2. 答案：m<2＋2 2【方法技巧】不等式恒成立的三种解法(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值.则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a. 不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a. (2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧). (3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法.11.【解析】∫1－1(3x 2＋2x ＋1)dx ＝(x 3＋x 2＋x)|－11＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13.答案：－1或1312.【解析】第一次：T ＝1，S ＝12－0＝1； 第二次：T ＝3，S ＝32－1＝8； 第三次：T ＝5，S ＝52－8＝17， 此时满足S ≥10.所以W ＝S ＋T ＝17＋5＝22. 答案：2213.【解析】底部周长小于110 cm 的频率： 10×0.01＋10×0.02＋10×0.04＝0.7.∴底部周长小于110 cm 的株数为：100×0.7＝70. 答案：7014.【解题指南】先根据第1列成等差数列求出第8行第1个数，再根据第8行成等比数列求出a 83. 【解析】由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12.答案：12【变式备选】把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)试求从上到下的第m 行，从左至右的第n 列上的数( 其中m ≥n )； (3)求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式 .【解析】把表中的各数按下列方式分组：( 1 )，( 2， 3， 4 )，(5， 6，7， 8， 9 )，…， (1)由于第n 组含有2n －1个数，所以第n 组最后一个数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.因为不等式n 2≥200的最小整数解为n ＝15 ，这就是说，200在第15组中，由于142＝196 ，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数，所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上. (2)因为m ≥n ，所以第m 行上的数从左至右排成的数列是以 －1为公差的等差数列，这个数列的首项是第m 行的第1个数，即分组数列的第m 组最后一个数为1＋3＋5＋…＋(2m －1)＝m 2.即从上至下的第m 行，从左至右的第n 列的数为a mn ＝m 2＋(n －1)(－1)＝m 2－n ＋1.(3)设主对角线上的数列为{a n }，则易知a n 为表中从上至下的第n 行，从左至右的第n 列的数，故a n ＝a nn ＝n 2＋(n －1)(－1)＝n 2－n ＋1.15.【解析】(1)f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx －12＝1＋cos2x 2＋32sin2x －12＝sin(2x ＋π6). ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，即－12≤f(x)≤1.∴f(x)max ＝1，此时2x ＋π6＝π2，∴x ＝π6.(2)∵f(A 2)＝sin(A ＋π6)＝1，在△ABC 中，∵0<A<π，π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3，又b ＝1，c ＝4，由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos60°＝13， 故a ＝13.16.【解析】以N 为坐标原点，NE ，ND 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，－1,0)，B(0，－1,1)，D(0,1,0)，N(0,0,0)，E(3，0,0)，C(0,1,1)，M(32，－12，12). (1)设平面NEC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 因为NC ＝(0,1,1)，NE ＝(3，0,0)，所以n ·NC ＝y ＋1＝0，n ·NE ＝3x ＝0；所以n ＝(0，－1,1)， 因为AM ＝(32，12，12)，n ·AM ＝0，所以n ⊥AM ， 因为AM ⊄平面NEC ， 所以直线AM ∥平面NEC.(2)设平面DEC 的一个法向量为m ＝(1，y ，z)， 因为DC ＝(0,0,1)，DE ＝(3，－1,0)， 所以m ·DC ＝z ＝0，m ·DE ＝3－y ＝0； 所以m ＝(1，3，0). cos 〈n ，m 〉＝||||n m n m ＝－32×2＝－64.因为二面角N —CE —D 的大小为锐角， 所以二面角N —CE —D 的余弦值为64. 17.【解析】(1)设学生小X 选修甲、乙、丙的概率分别为x ，y ，z ； 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x(1－y)(1－z)＝0.08，xy(1－z)＝0.12，1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4y ＝0.6z ＝0.5，所以学生小X 选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，则ξ＝0，∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz ＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24， ∴事件A 的概率为0.24. (3)依题意知ξ＝0,2， 则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E(ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.18.【解析】(1)依题意，有a 2＝2a 1＋22－1＝10＋4－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝26＋8－1＝33.(2)存在.因为a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *且n ≥2)，所以a n ＋λ2n ＝n n 1n2a 212-+-+λ ＝n 1n 1a 2--+λ＋1－1＋λ2n ， 显然，当且仅当1＋λ2n ＝0， 即λ＝－1时，数列{a n ＋λ2n }为等差数列. 19.【解题指南】(1)先设出抛物线方程，代入已知点检验，求出C 2的方程，再利用待定系数法求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程为x －1＝my ，再根据OM ON ⊥构造含有m 的方程，最后转化为方程解的问题.【解析】(1)设抛物线C 2：y 2＝2px(p ≠0)，则有y 2x＝2p(x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)、(4，－4)在抛物线上，易求C 2的标准方程为y 2＝4x ， 设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)， 把点(－2,0)，(2，22)代入得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝12a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4b 2＝1，∴C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)存在.假设存在这样的直线l ，过抛物线焦点F(1,0)，设直线l 的方程为x －1＝my ，两交点坐标为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝my x 24＋y 2＝1消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， ① x 1x 2＝(1＋my 1)(1＋my 2)＝1＋m(y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2， ② 由OM ON ，得OM ON ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0(*)将①②代入(*)式，得4－4m 2m 2＋4＋－3m 2＋4＝0， 解得m ＝±12. 所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.20.【解析】(1)m ＝2时，f(x)＝2x －2x， f ′(x)＝2＋2x 2，f ′(1)＝4， 切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y ＝4x －4.(2)m ＝1时，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x －1x－2lnx ， 则h ′(x)＝1＋1x 2－2x ＝(x －1)2x 2≥0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0， ∴方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根；(3)由题意知，当x ∈(1，e]时，mx －m x－2lnx<2恒成立， 即当x ∈(1，e]时，m(x 2－1)<2x ＋2xlnx 恒成立，∵x 2－1>0，则当x ∈(1，e]时，m<2x ＋2xlnx x 2－1恒成立， 令G(x)＝2x ＋2xlnx x 2－1，当x ∈(1，e]时， G ′(x)＝－2(x 2＋1)·lnx －4(x 2－1)2<0， 则G(x)在(1，e]上递减，∴G(x)在(1，e]上的最小值为G(e)＝4e e 2－1， 则m 的取值X 围是(－∞，4e e 2－1).。

主视图绝密★启用前揭阳市2013年高中毕业班第一次高考模拟考试试题数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L 的回归方程为：y bx a ∧=+其中1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---==--∑∑∑∑， 1212,n nx x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，a y bx =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21z z = A ．13i -+ B ．3i-- C ．3i + D ．3i -2．已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2xB y y x ==>，则A B I = A ．(1,)+∞ B ．(1,1)-C ．(0,)+∞D ．(0,1) 3．在四边形ABCD 中，“AB DC =uu u r uuu r ，且0AC BD ⋅=u u u r”是“四边形ABCD 是菱形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=- A ．是奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．是奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称5．一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ） 则该组合体的体积为．俯视图A. 720003cmB. 640003cmC. 560003cm D. 440003cm 1） 6．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为A.20B.21C.22D.237．在图（2）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤， 则能输出数对(,)x y 的概率为 A ．14 B ．13 C ．34 D ． 238．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是： A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+ C ．1tan()41πβββ++=- D ．1tan()41πβββ-+=+ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．计算：1122log sin15log cos15+o o = ．10．若二项式(n x 的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数为 ．(用数字作答)11．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：101()()577.5iii x x y y =--=∑，1021()82.5i i x x =-=∑；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5cm ，则估计案发嫌疑人的身高为 cm ．12．已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点，且经过抛物线28y x =的焦点，则圆C 的方程为 ．13．函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D上为“非减函数”．设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）(0)0g =；（2）1()()32xg g x =；（3）(1)1()g x g x -=-,则(1)g = 、5()12g = ．D C B A EFMNPFEA BCD图（3）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：ρ=2C ：cos(ρθ2C 的距离等的点的个数为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .若CB =2， CE =4，则AD 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =． （1）求角C 的大小； （2sin()2A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17. （本小题满分12分）根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望； （2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率.18．（本小题满分14分）如图（4），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（5）示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点．（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求证： AP ⊥DE ； （3）当AD 多长时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60？ 图（4） 图（5）19．（本小题满分14分）如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是 否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标； 若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数()(0,1xf x x x ααα=>+为常数)，数列{}n a 满足：112a =，1()n n a f a +=，*n N ∈． （1）当1α=时，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，证明对*n N ∀∈有：12323412(5)12(2)(3)n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++L ；（3）若2α=，且对*n N ∀∈，有01n a <<，证明：118n n a a +-<． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i =-+>∑成立．揭阳市2013年高中毕业班高考第一次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：CDCC BBDC 解析： 4．依题意可得3()sin 4y f x A x π=-=-，故选C. 5．由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积360401020405064000()V cm =⨯⨯+⨯⨯=，故选B.6．由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+1361d a ⇒=-，由1(1)n a a n d =+- 113(1)()061a n a =+--≥6412133n ⇒≤=,所以数列{}n a 前21项都是正数，以后各项都是负数，故n S 取最大值时，n 的值为21，选B.7．依题意结合右图易得所求的概率为：120121133x dx -=-=⎰，选D.8．解析：sin |sin |x k x kx x =⇒=，要使方程sin (0)xk k x=>在(0,)+∞有两个不同的解，则|sin |y x =的图像与直线(0)y kx k =>有且仅有三个公共点，所以直线y kx =与|sin |y x =在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内相切，且切于点(,sin )ββ-，由sin cos tan βββββ--=⇒=，1tan()41πβββ+∴+=-，选C二．填空题：9.2；10.9； 11.185.5；12. 22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=]；13.1（2分）、12（3分）；14.3；15. 245. 解析：10.根据已知条件可得：36369n n C C n =⇒=+=， 所以(n x +的展开式的通项为39921991()2rr rrr r r T C xC x --+==，令39622r r -=⇒=，所以所求系数为2291()92C =.11.回归方程的斜率1011021()()577.5782.5()iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑，24.5x =，171.5y =，截距0a y bx =-=，即回归方程为7y x ∧=，当26.5x =，185.5y ∧=， 12．易得圆心坐标为11(,)22，半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】13．在（3）中令x=0得(0)1(1)0g g =-=，所以(1)1g =，在（1）中令1x =得111()(1)322g g ==，在（3）中令12x =得11()1()22g g =-，故11()22g =，因1513122<<，所以151()()()3122g g g ≤≤，故51()122g=． 14．将方程ρ=cos()4πρθ+化为直角坐标方程得222x y +=与20x y --=，知1C 为圆心在坐标原点，半径为 2C 为直线，因圆心到直线20xy --=3n =15．设r 是⊙O 的半径．由2CE CA CB =⋅，解得r =3.由CO OE CA AD =解得245AD =. 三．解答题：16．解：（1）由sin cos c A C =结合正弦定理得，sin sin a cA C==----2分从而sin C C =，tan C =-----------------------------------------------4分 ∵0C π<<，∴3C π=；--------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知23B A π=--------------------------------------------------------------7分sin()cos 2A B A B π-+=----------------------------------------8分 2cos()3A A π=--22cos cos sin sin 33A A A ππ=--------9分1cos 2A A =+sin()6A π=+--------------10分∵203A π<<，∴5666A πππ<+<当62A ππ+=sin()2A B π-+取得最大值1，------------------------------11分此时,33A B ππ==．-----------------------------------------------------------------------12分17.解. (1) ξ的取值为1,2,3,4，5. -------------------------------1分 (1)0.5P ξ==,(2)(10.5)0.60.3P ξ==-⨯=(3)(10.5)(10.6)0.70.14P ξ==-⨯-⨯=(4)(10.5)(10.6)(10.7)0.80.048P ξ==-⨯-⨯-⨯=(5)(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)0.012P ξ==-⨯-⨯-⨯-=--------------------6分【或(5)1(1)(2)(3)(4)0.012P P P P P ξξξξξ==-=-=-=-==】∴ξ的分布列为：∴10.520.330.1440.04850.012E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.772--------10分FMNPFEABCD（2）李先生在三年内领到驾照的概率为：1(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.9988P =--⨯-⨯-⨯-⨯-=-----------------12分18．（1）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点，--------------------------------------------------------------1分 在ACF ∆中，M 为AF 中点，故//MN CF --------------------------3分 ∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF ；---4分（其它证法，请参照给分） （2）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I ∴AD ⊥平面ABFE∵AP ⊂平面ABFE ，∴AP AD ⊥，------------------5分 ∵P 为EF中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形∴//AP BF ，2AP BF ==----------------------------------------------------7分而2,AE PE ==222AP AE PE += ∴90EAP ∠=，即AP AE ⊥-----8分又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE ，∵DE ⊂平面ADE ， ∴AP ⊥DE .------------------------------------------------9分 （3）解法一：如图，分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 设(0)AD m m =>，则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),(2,0,0)A D m E P易知平面ADE 的一个法向量为(2,0,0)AP =u u u r，-----------10分设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0n PE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uur r uuu r故22020x y y mz -+=⎧⎨-=⎩，即020x y y mz -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，则21,y z m ==，故2(1,1,)n m =r ----------------------------------------11分∴cos ,||||AP n AP n AP n ⋅<>==uu u r ruu u r r uu u r r ，12=，m =，-------------------------------------------------------13分即AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60．------------------------14分 【解法二：过点A 作AM DE ⊥交DE 于M 点，连结PM ，则,DE PM ⊥∴AMP ∠为二面角A-DE-F 的平面角，---------------------------------------------------------11分由AMP ∠=600，AP=BF=2得AM tan 60AP ==o，-------------------------------------12分 又AD AE AM DE ⋅=⋅得2AD =，解得AD =AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60．----14分】 19.解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x P F +=，),(2y c x P F -=-------------1分[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ -----------------2分 由12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ，-------------------3分∴椭圆C 的方程为1222=+y x ．---------------------------------------------4分 （2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简得2212m k =+-------------------------------------------------------------------------------------7分同理，2212n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分 设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则1=，即2222||1k t m k -=+，--------------------------------------10分 把2212k m +=代入并去绝对值整理，22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分②当直线12,l l斜率不存在时，其方程为x =x =---------------------------13分定点(1,0)-到直线12,l l的距离之积为1)1=； 定点(1,0)到直线12,l l的距离之积为1)1=；综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分 20．解：（1）当1α=时，1()1n n n na a f a a +==+，两边取倒数，得1111n n a a +-=，----2分 故数列1{}n a 是以112a =为首项，1为公差的等差数列， 11nn a =+，11n a n =+，*n N ∈．------------------------------------------------------------4分（2）证法1：由（1）知11n a n =+，故对1,2,3...k = 121(1)(2)(3)k k k a a a k k k ++=+++111[]2(1)(2)(2)(3)k k k k =-++++-------------6分∴12323412......n n n a a a a a a a a a +++++1111111[()()...]223343445(1)(2)(2)(3)n n n n =-+-++-⨯⨯⨯⨯+⨯+++ 111[]223(2)(3)n n =-⨯++(5)12(2)(3)n n n n +=++．----------------------------------------9分． [证法2：①当n=1时，等式左边1123424==⨯⨯，等式右边1(15)112(12)(13)24⨯+==⨯+⨯+，左边=右边，等式成立；-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即12323412(5)......12(2)(3)k k k k k a a a a a a a a a k k ++++++=++，则当1n k =+时12323412123(5)1......12(2)(3)(2)(3)(4)k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a k k k k k ++++++++++=++++++32(5)(4)129201212(2)(3)(4)12(2)(3)(4)k k k k k k k k k k k k ++++++==++++++2(1)4(1)(23)(1)(2)(6)(1)[(1)5]12(2)(3)(4)12(2)(3)(4)12[(1)2][(1)3]k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++===++++++++++ 这就是说当1n k =+时，等式成立，-------------------------------------------------------8分 综①②知对于*n N ∀∈有：12323412(5)......12(2)(3)n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++．----9分]（3）当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+ 则12221(1)11n nn n n n n n na a a a a a a a a ++-=-=-++，---------------------------------------------10分 ∵01n a <<， ∴2122111(1)()121n n n nn n n n n na a a a a a a a a a +++-+-=-≤⋅++--------------------------------11分 2114(1)2(1)2n n n a a a +=⋅+-++1124121nn a a =⋅++-+14≤=--------------------13分 ∵1n n a a =-与211n n a a +=+不能同时成立，∴上式“=”不成立， 即对*n N ∀∈，118n n a a +-<．-----------------------------------------------------------14分 【证法二：当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+， 则3122211n n nn n n n na a a a a a a a +--=-=++----------------------------------------------------10分 又122(0,1),1,1n n n n a a a a +∈∴=>+Q *11,[,1),2n n n a a a n N +∴>∴∈∈------------------------------------------------------------------11分令321(),[,1),12x x g x x x -=∈+则422241(),(1)x x g x x --+'=+------------------------------------12分 当1[,1),()0,2x g x '∈<所以函数()g x 在1[,1)2单调递减，故当3211()1322[,1),()12101()2x g x -∈≤=<+所以命题得证----------- ks5u ------------------14分】 【证法三：当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+，*11221(0,1),1,,[,1),12n n n n n n n a a a a a n N a a ++∈∴=>∴>∴∈∈+Q -------------------------11分 11112222112212()11(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --+-----=-=⋅-++++ 1112211124222()()1125(1)(1)22n n n n n n a a a a a a ----⋅<⋅-=-<-++∴数列1{}n n a a +-单调递减，1212121312121081()2n n a a a a +⋅∴-≤-=-=<+， 所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】21．解：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =---------------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x-++=(21)(1)ax x x --=----------------------4分∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；-------------------------------5分当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a =， 若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减；-----------------6分 若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a单调递减；------------7分 若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，------------------------------------------------------------------8分综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增； 当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增． -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分 令*11,x n N n =+∈，则2111ln(1)n n n+>-，-------------------------------------12分2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++- 2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++- 即()211ln 1n i i n i =-+>∑---------------------------------------------- ks5u -----------------------------14分【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+，则当2n ≥时，111ln()ln(1)n n n n a T T n n -+=-==+，------ks5u-----------------------11分 显然1ln 2a =也满足该式， 故只需证221111ln(1)n n n n n -+>=---------------------------------------------------------12分 令1x n=，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2()ln(1)h x x x x =+-+，0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x+=-+=-+=>+++， ()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=， ∴221111ln(1)n n n n n-+>=-成立，2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++- 即()211ln 1n i i n i =-+>∑．----------------------------------------------------------------------------14分】 【证法三：令211()ln(1)i n i i n n i ϕ==-=+-∑， 则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++----10分 令11,1x n =++则(1,2]x ∈，*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+-----------------------12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增， 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->，∴数列()n ϕ单调递增，又(1)ln 20ϕ=>，∴()211ln 1n i i n i =-+>∑----------------------14分】。

第6题广东省揭阳市云路中学2018届高三数学（理科）第二次测试试题2018.9.5班级： 姓名： 评分：第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2、(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥若向量若则的值为 ( )A ．3B ．13-或C ． -1D ．31-或3、若21()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）A. －84B. 84C. －36D. 364、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m = （ ） A ．1- B ．1 C． D5、下列各组命题中，满足“‘p 或q ’为真、‘p 且q ’为假、‘非p ’为真”的是 ( )A . p ：φ=0； q ：φ∈0.B . p ：在△ABC 中，若B A 2cos 2cos =，则B A =；q ：x y sin =在第一象限是增函数. C . p ：),(2R b a ab b a ∈≥+；q ：不等式x x >||的解集是)0,(-∞.D . p ：圆1)2()1(22=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是4=x . 6、右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A.i>10B.i<10C.i>20D.i<20 7、函数)2(log log 2x x y x +=的值域是（ ）A ．]1,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,1[-D ．),3[]1,(+∞--∞8、若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤1第二部分 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题，共30分，把答案填写在答题卡相应位置上） 9、若902=⎰dx x a ，则_____=a ；⎰-=-222____________4dx x .10、若 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是11、若不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为∅,则a 的取值范围为_____________.12、已知n m b a b x a x x f ,),)()((1)(<---=是)(x f 的零点，且n m <，则实数a 、b 、m 、n的大小关系是___________ 。

广东省10大市2013届高三数学（文）一模试题分类汇编 数列一、选择、填空题1、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则218a a +=A.36B.35C.34D.33答案：C2、（梅州市2013届高三3月总复习质检）设等比数列{n a }的公比q ＝2，前n 项和为n S ，则42S a ＝＿＿＿ 答案：152 3、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）在等差数列{a n }中，首项a 1=0，公差d≠0，若 a k =a 1+a 2+a 3+…+a 10，则k=( )A. 45B. 46C. 47D. 48答案：B4、（深圳市2013届高三2月第一次调研）等差数列{a n }中，已知a 5> 0，a 4 + a 7 < 0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为 A. S 7 B. S 6C. S 5D. S 4答案：C 5、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟）已知等差数列{n a }，满足398a a +=，则此数列的前11项的和11S =A ．44B ．33C ．22D ．11答案：A6、（湛江市2013届高三高考测试（一））在等比数列{n a }中，已知1j a a ⋅＝25，则j a ＝A 、5B 、5或－5C 、－5D 、25答案：B二、解答题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n T 学科网；（3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值.（1） 解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-.……………1分 ∴14n n a a +=.……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =.……………3分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=.……………4分 （2） 解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-，……………5分 ∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++-……………6分 ()1212n n +-=……………7分 2n = .……………8分 （3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分222222222131411234n n ----=⋅⋅⋅⋅()()222213243511234n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分 令12n n +10102013>，解得：42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）数列{}n a ，若存在常数0>M ，*∈∀N n ，都有M a n <，则称数列{}n a 有上界。