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第三章函数逼近

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数值分析学习课件

数值分析学习课件

§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。

《数学函数逼近》PPT课件

《数学函数逼近》PPT课件

---------(2)
a0 * 0(x) a1 * 1(x) an * n(x)
使得 * 2 2
m
(S * ( xi ) yi )2
i0
m
min S ( x)
2 2

min
S ( x)
i0
( S ( xi
)

yi
)2
n
其中S(x) a j j (x)为中的任意函数。
j0
---------(3)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY
理学院
n
称满足条件(3)的求函数S *(x) a*j j (x)的方法为 j0
数据拟合的最小二乘法.
n
S *(x) a*j j (x)为最小二乘解. j0 n
S(x) a j j (x)为拟合函数, a j ( j 0,1, , n)为拟合系数. j0 * 2 称为最小二乘解的平方误差. 2
解: 从数据的散点图可以看出
y与x之间具有三角函数关系 cos x y与x之间还具有指数函数关 系ex
y与x之间还具有对数函数关 系ln x 因此假设拟合函数与基函数分别为
设x, y的关系为
y S(x)
其中S(x)来自函数类 如(1)中y(x)来自线性函数类
设函数类 的基函数为 i(x)(i 0,1,,n) 一般要求n m
也称是由i(x)(i 0,1,, n)生成的函数集 ,即
span{0(x),1(x),,n(x)}
n
i0
k 0,1,,n 即
m
m
m
a0 0(xi )k (xi ) a1 1(xi )k (xi ) an n(xi )k (xi )

函数逼近使用多项式和三角函数逼近函数

函数逼近使用多项式和三角函数逼近函数

函数逼近使用多项式和三角函数逼近函数函数逼近是数学中一个重要的概念，它允许我们使用简单的数学模型来近似更加复杂的函数。

在函数逼近中，多项式和三角函数是两种常见的逼近方法。

本文将介绍多项式和三角函数逼近函数的相关概念和应用。

一、多项式逼近函数多项式逼近是将给定的函数用多项式函数来近似的过程。

多项式逼近可通过拉格朗日插值法、牛顿插值法以及最小二乘法等方法实现。

这些方法都是通过在给定的区间内找到合适的多项式函数，使其与待逼近函数之间的误差最小化。

在拉格朗日插值法中，我们通过在给定的数据点上构造拉格朗日多项式，来逼近待求函数。

拉格朗日插值法的优点在于其简单易理解，但是在处理大规模数据时，计算量较大。

因此，牛顿插值法应运而生，它通过使用差商来构造逼近多项式，计算效率更高。

另一种常用的多项式逼近方法是最小二乘法。

最小二乘法通过将待逼近函数的残差平方和最小化来找到最佳的逼近多项式。

最小二乘法的优点在于能够处理一些非线性问题，并且具有较好的稳定性和数值精度。

二、三角函数逼近函数三角函数逼近是使用正弦函数和余弦函数来近似给定函数的过程。

正弦函数和余弦函数是周期性函数，具有良好的周期性特征，因此在一定范围内可以较好地逼近一些周期性函数。

在三角函数逼近中，我们通常使用傅里叶级数来表示待逼近函数。

傅里叶级数是将函数表示为一系列正弦函数和余弦函数的线性组合。

通过调整不同频率的正弦函数和余弦函数的系数，可以逐渐逼近待求函数。

三、多项式逼近与三角函数逼近的比较多项式逼近和三角函数逼近都是函数逼近的有效方法，但适用于不同的函数类型和问题。

在选择逼近方法时，需要根据问题的特点和需求做出明智的选择。

多项式逼近适用于大多数常见的函数类型，不受函数的周期性特征限制。

它可以逼近非周期性函数以及周期性函数，对于一些不规则的散点数据，多项式逼近也有很好的表现。

三角函数逼近更适用于一些周期性函数的逼近问题。

正弦函数和余弦函数作为周期性函数，可以很好地逼近一些展现出明显周期性特征的函数。

函数的数值逼近

函数的数值逼近

即Rn (x) 0 右端,定理成立。
(2) 若 x [a,b], 且 x xi (i 0, 1, ..., n),
Rn (xi) 0 (i 0,1,..., n),
可设 Rn(x) k(x)(x x0 )(x x1)......(x xn )
d dx
[l0 ( x) y0

l1( x) y1

l2 (x) y2 ]

0
l0 (x)

2x (x1 (x0 x1)(x0
x2 ) x2
)
,
l1( x)

2x (x0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2
)
,
l2 (x)

2x (x0 (x2 x0 )(x2

a0 a1xn
an x0n y0 an x1n y1
an xnn yn
(2)
8
其系数行列式 ：
1 x0 | A | 1 x1
1 xn
x0n x1n (xi x j ) 0
ni j0
xnn
点是互异的
为范德蒙行列式。只要插值节点互不相同，则系数矩阵非 奇异。故方程组解存在且唯一。
x1 ) x1)
极值点近似计算公式
x* 1 (x22 x12 ) y0 (x22 x02 ) y1 (x12 x02 ) y2 2 (x2 x1) y0 (x2 x0 ) y1 (x1 x0 ) y2
16
二、Lagrange 多项式插值(n次)
求通过n & 0,1, , n
(1)
成立，则称
P( x )为 f (x) 的插值函数 点 x0 , x1, ⋯, xn 为插值节点 (1)式为插值条件 f ( x ) 为被插函数 [a , b] 为插值区间

3.2 正交多项式

3.2 正交多项式
试用三项递推公式求关于该点集的正交多项式第三章函数逼近由此得050125xp050125025050751上的正交多项式序列第三章函数逼近连续区间上正交多项式连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式概念相似只要将内积的定义作相应的改变定义32函数fx的正交多项式序列
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)

(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m


2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。

§3.2最佳一致逼近多项式

§3.2最佳一致逼近多项式
© §2 2009, Henan Polytechnic University 最佳一致逼近多项式
5 5
第三章 函数逼近与计算
5、最佳逼近多项式
假定 f ( x ) C[a, b]，若存在 Pn* ( x ) H n使
( f , Pn* ) E n
则称Pn*(x)是f(x)在[a, b]上的最佳一致逼近多项式 或最小偏差逼近多项式。
定理3.3
f x 是区间 a, b 上的连续函数，Pn* x 是 设
* f x 的n次最佳一致逼近多项式， f x Pn x 必同时 则
存在正负偏差点。
y
y f x En
y Pn* ( x )
y f x En
O
a
1313
第三章 函数逼近与计算
几何意义
y
N
y P x 1
M
D
Q
O
a
x2
b
x
© §2 2009, Henan Polytechnic University 最佳一致逼近多项式
1414
第三章 函数逼近与计算
例3.1
求函数 f ( x) 1 x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 f (b) f (a ) 解 a1 2 1 0.414 ba x2 由 f ' ( x2 ) 2 1 0.414 2 1 x2 2 2 1 x2 2 2 x2 ( 2 1) 即 得 2 2 1 x2
第二节 最佳一致逼近多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.2.1 最佳一致（Chebyshev）逼近多项式的存在性 H n span 1, x,, x n } { 令

数值分析第8讲正交多项式 56页PPT文档

数值分析第8讲正交多项式 56页PPT文档

b
(k,Q k1)a (x)kQ k1d x0
(k1,2,...)
特 别 Q k 1(x )取 j(x )： (k,j)a b(x )k(x )j(x )d x 0 (j1 ,2 ,.k . .1 )
又 (k ,k ) 2 k ( x ) 0 a b( x )2 k ( x ) d 0 x
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
Heut-lcf163
内积空间常用的范数为： u (u,u)
C[a, b]上的内积定义为：
b
(f(x )g ,(x ) ) a (x )f(x )g (x )dx
范数定义为：
f(x)
(
b
1
f2(x)dx)2
Heut-lcf163
定理3 Gram矩阵
设X为一内积空间，u1 , u2 ,...un X ,
(u1 , u1 ) (u1 , u2 ) ... (u1 , un )
G

(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)


(un , u1 ) (un , u2 )
2
a
Heut-lcf163
内积空间的重要结论 定理2 Cauchy-Schwarz不等式
设X是一内积空间 u,v,， X对 ,有 (u,v)2 (u,u)(v,v)
特别地
( x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ) 2 ( x 1 2 x 2 2 x 3 2 )y 1 2 y 2 2 y 3 2
于 是 得x首 n的项 系an数 2(n2(nn!))!2 .显 然 最 高 项1 系 的勒让德多项式为

最优化方法 第三章(二次逼近法)

最优化方法 第三章(二次逼近法)

min s.t.
ci x ci x
1 T Q(d ) d Bk d f ( x k )T d 2
k T

d ci x k 0, i I m 1,..., p
k T

d ci x k 0, i E 1,..., m .
基本思想：将问题转化为求解一系列的二次规划子问 题。从已知点和近似乘子向量进行迭代，由二次规划 问题计算出的结果对迭代过程进行更新。
s.t.
三、二次逼近法 等式约束问题 由等式约束K-T条件，有
f x hE x 0,
T
即
hE x 0.
T x L x , f x A x F x, 0. hE x hE x



d,
T
k W x k , λ k A x k T d f x k A xk h x 0 E
一般约束问题
min s.t.
f (x), ci x 0, i I m 1,..., p ci x 0, i E 1,..., m .
x 1 不是原二次规划问题的可行解，令
，显然为函数值下降方向。但在 x1
1
d 1 x 1 x1
沿 d 趋向
T a 某些不等式约束 i x bi , i t 1, t 2,..., p ，设
x
1
的过程中，不满足原二次规划问题的
在移动的过程中，最先遇到某个不等式约束，对应 的下标为 l ，相应的交点记为 x ，x 点处对应的有

函数逼近研究

函数逼近研究

函数逼近研究一、课程目标知识目标：1. 让学生理解函数逼近的基本概念，掌握常用的函数逼近方法；2. 使学生掌握函数逼近的误差分析，并能够运用到实际问题的解决中；3. 引导学生运用逼近理论分析具体函数的性质，提高对函数的认知。

技能目标：1. 培养学生运用数学软件进行函数逼近实验的能力，提高数据处理和分析技能；2. 培养学生运用逼近方法解决实际问题的能力，提高解决问题的策略和方法；3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力，通过讨论、分享和交流，提升解决问题的效率。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探索函数逼近领域的热情；2. 培养学生严谨的科学态度，注重实证分析，增强学生的实证意识；3. 引导学生认识到数学知识在实际应用中的价值，提高学生的应用意识。

课程性质分析：本课程为高中数学选修课程，旨在通过函数逼近的研究，提高学生对数学知识的理解和应用能力。

学生特点分析：高中学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，对新鲜事物充满好奇，但需要进一步引导和激发。

教学要求：1. 注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力；2. 创设情境，引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力；3. 注重团队合作，培养学生的沟通与协作能力。

二、教学内容1. 函数逼近的基本概念：- 逼近函数的定义与性质；- 常用的逼近函数类型及其特点。

2. 常用函数逼近方法：- 插值法：拉格朗日插值、牛顿插值；- 曲线拟合：最小二乘法、正交多项式；- 最佳逼近：最佳一致逼近、最佳平方逼近。

3. 函数逼近的误差分析：- 逼近误差的定义及计算方法；- 误差估计与控制策略。

4. 函数逼近的应用：- 实际问题中的函数逼近案例分析；- 数学软件在函数逼近中的应用。

5. 教学内容的安排与进度：- 第一章：函数逼近的基本概念（1课时）；- 第二章：常用函数逼近方法（2课时）；- 第三章：函数逼近的误差分析（1课时）；- 第四章：函数逼近的应用（2课时）。

数值分析3+-+函数的数值逼近

数值分析3+-+函数的数值逼近

构造插值多项式的方法： (1) 先求插值基函数。
共线时
(2) 构造插值多项式。
以下的问题：如何分析插值的余项？
三、插值多项式的余项 插值多项式的余项
截断误差: Rn(x) f (x) Ln(x)
定理3（插值多项式余项）
即 Ln( x j ) yj
(1)
设已知y
f (x)函数表(xi , f (xi )),
( x) 0, (xi) 0 (i 0,1,...,n)，即(t)在[a,b]上有n 2个互异的零点，
(n) (t )在[a, b]连续， (n1)(t)在(a,b)存在，且 (n1)(t) f (n1)(t) k( x) (n1)!
由Rolle定理可知，(t)在(a, b)内至少有n 1个互异的零点，
第三章 函数的数值逼近
引言
代数多项式插值 分段线性插值与“保形”插值 三次样条函数插值
插值问题
曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合问题
§1 引言
一、函数的工程化表达
1. 对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的， 表达形式上为函数表，无解析表达形式。
2. 虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使 用。
y0 y1
(2)
a0 a1 xn an xnn yn
插值多项式的唯一性 方程组(2)有唯一解
范德蒙行列 式不为零
a0, a1, a2, ⋯ , an 存在唯一
Vn ( x0 , x1 ,, xn )
1 x0
x
2 0
x 0n
1 x1 x12 x1n
( xi x j )
0 jin
≠0 (xi≠xj)
其中k( x)为与x有关的待定函数

函数逼近方法

函数逼近方法

函数逼近方法一、概述函数逼近方法是一种数学工具，用于通过已知数据点的集合来估计或近似出一条连续函数的近似函数。

它在各个领域都有广泛的应用，比如数值计算、统计学、机器学习和信号处理等。

通过函数逼近方法，我们可以在缺少完整数据的情况下对函数的行为进行研究和预测。

二、插值法插值法是函数逼近方法中最常见的一种方法，它基于已知点的函数值，构造出一个多项式函数来逼近原函数。

插值法的基本思想是通过已知点之间的连线或曲线来构造一个连续的函数。

常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。

2.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过利用拉格朗日基函数构造插值多项式的方法。

给定一个已知函数的离散采样点集合，拉格朗日插值的目标是构造一个多项式函数，该函数在已知点上的函数值等于已知函数在相应点上的函数值。

拉格朗日插值多项式的形式如下：L(x)=∑y ini=0∏x−x jx i−x j nj=0,j≠i其中，y i表示已知点的函数值，x i表示已知点的横坐标。

2.2 牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，它利用差商的概念构造出一个多项式函数。

牛顿插值的优势在于可以递归地计算插值多项式，而不需要重新计算整个多项式。

牛顿插值多项式的形式如下：N(x)=f(x0)+∑[∏(x−x j)i−1j=0]ni=1f[x0,x1,…,x i]其中，f(x0)表示已知点的函数值，f[x0,x1,…,x i]表示差商。

三、最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来逼近函数的方法。

最小二乘法的基本思想是找到一个函数的近似函数，使得所有已知数据点到近似函数的距离的平方和最小。

3.1 线性最小二乘法线性最小二乘法是最简单的一种最小二乘逼近方法，它假设要逼近的函数是一个线性函数。

给定一组已知数据点(x i,y i)，其中x i为自变量，y i为因变量，线性最小二乘法的目标是找到一个形如y=ax+b的线性函数，使得所有已知数据点到该直线的距离的平方和最小。

3.5函数按正交多项式展开

3.5函数按正交多项式展开

n
( f ( x ), k ( x ))
k ( x)
2 2
k ( x ).
3 3
第三章 函数逼近与计算
* 均方误差 n ( x) 2 f ( x) Sn ( x) 2
f ( x)
2 2
( f ( x), k ( x)) ( x ) k 0 k 2
x * 3 2
2 *2 ak 0.0084. 1e dx k 0 2k 1
1 2x
3
最大误差
* n ( x) e x S3 ( x) 0.0112.
如果 f ( x) C[a, b],求 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式， ba ba (1 t 1), 做变换 x t 2 2 ba ba 于是 F (t ) f ( t ), 2 2 * 在 [1, 1] 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 S n (t ), 1 * 从而得到区间 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式 S n ( (2 x a b)). ba
1
© 2009, Henan Polytechnic University §5 函数按正交多项式展开
5 5
第三章 函数逼近与计算 得三次最佳平方逼近多项式
* S3 ( x) 0.9963 0.9979 x 0.5367 x 2 0.1761x 3 .
Hale Waihona Puke 均方误差 n ( x) e S ( x) 2
3 2 1 x 7 ( f ( x), P2 ( x)) ( x )e dx e 0.1431; 1 2 2 e 1 5 1 3 3 x 37 5e 0.02013. ( f ( x), P3 ( x)) ( x x)e dx 1 2 e 2 又 ( f ( x), Pk ( x)) * * ak ( x) a0 ( f ( x), P0 ( x)) / 2 1.1752, ( Pk ( x), Pk ( x)) * * a a1 3( f ( x), P ( x )) / 2 1 . 1036 , 2 5( f ( x), P 2 ( x)) / 2 0.3578, 1 * a3 7( f ( x), P3 ( x)) / 2 0.07046. * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 代入 1 nP n ( x),

函数逼近论方法

函数逼近论方法

函数逼近论方法函数逼近论方法是数学分析中一种重要的方法，其主要应用于函数逼近和函数逼近的误差分析。

它是一种通过一组已知的函数来逼近一个未知的函数，并通过误差分析来确定逼近的精度和可行性的方法。

函数逼近论方法可以分为两种基本类型：插值法和最小二乘法。

插值法是通过已知的数据点去推导出未知函数，而最小二乘法则是通过已知的数据点去求解一个最优的函数逼近问题。

在插值法中，通过已知的数据点去推导出未知函数的形式，通常可以使用拉格朗日插值法或牛顿插值法。

拉格朗日插值法是通过一个多项式去逼近未知函数，这个多项式的系数可以通过已知的数据点来确定；牛顿插值法则是通过多个插值点的差商来构造一个插值多项式。

这两种方法的优缺点不同，适用于不同的情况。

例如，拉格朗日插值法的计算量较小，但插值多项式次数较高；而牛顿插值法的计算量较大，但插值多项式次数较低。

在最小二乘法中，通过已知的数据点去求解一个最优的函数逼近问题，通常可以使用最小二乘多项式逼近法或最小二乘样条逼近法。

最小二乘多项式逼近法是通过一个多项式去逼近未知函数，并使其在已知数据点处的误差平方和最小化；最小二乘样条逼近法则是通过构造一个分段多项式的组合，使其在已知数据点处的误差平方和最小化。

这两种方法的优缺点也各不相同，适用于不同的情况。

例如，最小二乘多项式逼近法适合于数据点较少的情况，而最小二乘样条逼近法则适合于数据点较多的情况。

除了插值法和最小二乘法之外，还有其他的函数逼近方法，例如曲线拟合法和逆问题法等。

曲线拟合法是通过已知的数据点去拟合一个曲线，可以使用多项式拟合、指数拟合、对数拟合等方法；逆问题法则是通过已知的数据点和一个模型，去求解一个逆问题，例如反演地震波形、恢复图像等。

函数逼近论方法在数学分析中是一种非常重要的方法，它可以通过已知的数据点去逼近一个未知的函数，并通过误差分析来确定逼近的精度和可行性。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题选择适当的函数逼近方法，以达到最优的逼近效果。

正交多项式

正交多项式

首项系数
1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 ( 2n)! an n . 2 2 ( n! )
1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2
由于 ( x 2 1) n是 2n 次多项式， 所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x ) 1 n n 1 ( 2 n )( 2 n 1 ) ( n 1 ) x a x a0 , n 1 n 2 n!
则
1 2 n
Q ( n ) ( x ) Pn( n ) ( x )
( 2n)! , n 2 n!
第三章 函数逼近与计算 于是
( 2n)! ( 1) n ( 2n)! 1 2 n P ( x ) dx ( x 1 ) dx 1 2 2 n ( n! ) 2 2 2 n ( n! )2 1


0, m n; 1 Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 , m n. 2n 1
证明 令 ( x) ( x 2 1) n ，则 ( k ) (1) 0 (k 0,1,, n 1). 设 Q( x) 是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部 积分知 1 1 1 ( n)

1
1
(1 x 2 ) n dx .
由于 0 (1 x ) dx 0 cos 2 n1 tdt
2 n
2
1

2 4 2n 1 3 ( 2n 1)
故

1
1
Pn2 ( x )dx
2 . 2n 1
性质2
奇偶性
Pn ( x ) ( 1) n Pn ( x ).
P ( x ) c j g j ( x ).

新编文档数值分析第8讲正交多项式精品文档PPT课件

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G
(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
(un , un )
G非奇 异 u1,u2,.u .n.线性无关
Heut-lcf163
第2节 正交多项式
Heut-lcf163
一、正交多项式的概念
定义 若f(x)，g(x)C0a,b，(x)为a,b上的权函
HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
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第三章 函数逼近
函数逼近
1
函数逼近的基本概念
正交多项式的基本概念
正交函数系的性质
正交多项式的构造
函数的最佳平方逼近
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第1节 函数逼近的基本概念
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函数逼近
则｛S, •｝称为赋范线性空间。 内积与内积空间 N维数量空间内积
(x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 . .x .n y n (x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3
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推而广之 设 X是数 K域 (或 RC）上的线性 u空 ,v间 X, ， 有 K中一个数与为 之(u对 ,v)它 ,应满 ，足 记以下
（ 1） (u,v)(v,u)
(2)(u,v)(u,v) (3)(uv,w)(u,w)(v,w) u,v,wX,K
(4)(u,v)0,当 且 仅 u0当 时(u， ,u)＝ 0
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
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1_赋范空间

1_赋范空间

则称实值函数 ( , ) 是线性空间V 上的一种内积. 并称线性空间V 关于实值函数 ( , ) 是内积空间.
2020年4月15日星期三
yfnie@
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2.1 连续函数空间的内积
❖ 对于实数域上的线性空间C[a,b]，定义实值函数
b
( f , g) a f (x)g(x)dx f , g C[a,b]
a
C[a, b]
也满足范数公理三条. 2
❖ 两种常用的连续函数赋范线性空间
(C[a,b], ) (C[a,b], )
2
❖ 赋范线性空间中距离的定义
f , g (V, ) d( f , g) f g
Remark :
f f 0 d( f ,0)
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(续) ➢ 给线性空间C [a,b] 赋带权的内积 ( ,) ：
❖ Remark:
b
( f , g)
f (x)g(x)(x)dx
a
➢ 上下文中关于内积的理解无歧义时, 可简记(,) 为(,)
➢ 在理论证明和公式推导过程中, 如没有明确权函数具 体形式, 则表示对任意权函数均成立.
f
g
2
b
(
a
f
(
x)
g
(
x))2
dx
2
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1.5 函数逼近问题
➢ 设 f (x) C [a,b] _____被逼近函数
➢ 为赋范线性空间 C[a,b], 的子集合
✓ 范数 可以是 或者 等
2
➢ 称问题: 求* (x ) , 使得 f * min f .
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~ 第七章 函数逼近

用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差 )()()(xpxfxR 称为逼近的误差或余项 在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x)一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。 第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过，它要求函数p (x)与f (x)在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x) 虽然有可能很好地逼f (x)，但也可能使逼近f (x) 的误差很大，如果实际问题要求p (x)在区间[a, b] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x) 去逼近f (x)有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。 大家知道，用f (x)的泰勒(Taylor)展开式

)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在xxxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxfnnnn

的部分和去逼近函数f (x)，也是常用的方法。这种方法的特点是：x越接近于x0，误差就越小，x越偏离x0，误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的 ~ 近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。 一般，最常见的函数A是区间[a, b]上的连续函数，记作C[a, b]。 最常用的函数类B有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。 最常用的度量标准有两种： (一) 一致逼近 以函数f (x)和p (x)的最大误差 )()(max],[xpxfbax

作为度量误差f (x) - p (x)的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均

匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函数p (x)，使不等式 

)()(maxxpxfbxa

成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近于函数f (x)。

(二)平方逼近： 如果我们采用 dxxpxfba2)]()([

作为度量误差)()(xpxf的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。 本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式p (x)去逼近区间[a, b]上的连续函数，也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。 由于正交多项式是函数逼近的重要工具，因此，下面先介绍几种常见的正交多项式。 ~ §1 正交多项式 一、正交函数系的概念 高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系； 1， cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… (7.1) 中任何两个函数的乘积在区间[- , ]上的积分都等于0。我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为： nxnxxxsin1,cos1,,,sin1,cos1,21 （7.2)

那么这个函数系在[- , ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[- , ]上的积分是1。 为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。 1．权函数的概念 定义7.1 设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果具有下列性质： (1)  (x) ≥0，对任意x [a, b]， (2) 积分dxxxnba)(存在，(n = 0, 1, 2, …)， (3) 对非负的连续函数g (x) 若badxxxg0)()(

。

则在(a, b)上g (x)  0，我们就称 (x)为[a, b]上的权函数。 在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[xba；

211)(],1,1[],[xxba

 ~ xexba)(],,0[],[

2)(],,[],[xexba

等等。 2．内积的概念 定义7.2 设f (x)，g (x)  C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数，则称 badxxgxfxgf)()()(),(

为f (x)与g (x)在[a, b]上以 (x)为权函数的内积。 内积有如下性质： (1) (f, f )≥0，且(f, f )=0  f = 0； (2) (f, g) = (g, f )； (3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。 这些性质，由内积的定义不难得到证明。 3．正交性的概念 定义7.3 设f (x)，g(x) C [a, b]若 badxxgxfxgf0)()()(),(

则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。 定义7.4 设在[a, b]上给定函数系),(,),(),(

10xxxn，若满足条件

)(),1,0,(,0,0)(),((是常数kkkjAkjkjAkjxx



则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系，特别地，当Ak  1时，则称该函数系为标准正交函数系。若定义7.4中的函数系为多项式函数系)(),(

10xpxp，则称

)(xp

k ~ 为以 (x)为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上带权 (x)的n次正交多项式。 例1 验证多项式：3

1,,12xx 在]1,1[上带权 (x) = 1两两正交。

解 容易验证 1101xdx

112

0311dxx

111132

03131dxxxdxxx

而 112

01dx

112

0dxx

11

22031dxx

由定义7.4，结论成立。 有了以上的基本概念，下面我们介绍几个常用的正交多项式。

二、常用的正交多项式 1．切比雪夫(чебыщев)多项式 切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的重要工具，并且有广泛的应用。 定义7.5 称多项式 )2,1,0,11( )cosarrccos()(nxxnxTn (7.3)

为n次的切比雪夫多项式(第一类)。 切比雪夫多项式Tn (x)具有以下性质： ~ (1) 正交性： 由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权

211)(xx



的正交多项式序列。 且





0,0,2,0)()(11112nmnmnmdxxTxTxnm

 (7.4)

证 因为)arccoscos()(xnxTn，

令 cosx， 则nxT

ncos)(，

于是





0,0,2,0coscos)sin(coscossin1)()(1100112nmnmnmdnm

dnmdxxTxTxnm





(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：

),2,1()()(2)()(,1)(1110nxTxTxxTxxTxT

nnn (7.5)

证 显然，n = 0时，1;1)(0nxT时，xxT)(1 当n≥1时，令x = cos ，则nxT

ncos)(

由三角恒等式 coscos2)1cos()1cos(nnn