5.5 向心加速度

教材分析通过前面的学习，我们已经知道，做曲线运动的物体速度一定是变化的．即使是我们上一堂课研究的匀速圆周运动，其方向仍在不断变化着．换句话说，做曲线运动的物体，一定有加速度．圆周运动是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如伺寒确定呢?——这就是我们今天要研究的课题主要教学流程一、 教学目标知识与技能1．理解速度变化量和向心加速度的概念，2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式．3．能够运用向心加速度公式求解有关问题．过程与方法体会速度变化量的处理特点，体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法，教师启发、引导．学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果．情感、与价值观培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情，乐于学习的品质．特别是“做一做”的实施，要通过教师的引导让学生体会成功的喜悦．二、 教学重点、难点教学重点理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式． 教学难点向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用．三、 教学方法、教学手段探究、讲授、讨论、练习教具准备教具准备多媒体辅助教学设备等四、教学过程[新课教学]一、感知加速度的方向下面先请同学们看两例：(展示多媒体动态投影图6. 6—1和图6.6—2)并提出问题．(1)图6．6—1中的地球受到什么力的作用?这个力可能沿什么方向?(2)图6.6—2中的小球受到几个力的作用?这几个力的合力沿什么方向?生1：(可能回答)感觉上应该受到指向太阳的引力作用．生2：小球受到重力、支持力和绳子的拉力三个力的作用，其合力即为绳子的拉力，其方向指向圆心．师：可能有些同学有疑惑，即我们这节课要研究的是匀逮圆周运动的加速度，可以上两个例题却在研究物体所受的力，这不是“南辕北辙”了吗?点评：激发学生的思维，唤起学生进一步探究新知的欲望．通过发表自己的见解，解除疑惑，同时为下一步的研究确定思路．生：(可能的回答)根据牛顿第二定律可知，知道了物体所受的合外力，就可以知道物体的加速度，可能是通过力来研究加速度吧．师：回答得很好，由于我们之前没有研究过曲线运动的加速度问题，特别是加速度的方向较难理解，而牛顿第二定律告诉我们，物体的加速度方向总是和它的受力方向一致，这个关系不仅对直线运动正确，对曲线运动也同样正确．所以先通过研究力来感知加速度，特别是加速度的方向．但我们具体研究时仍要根据加速度的定义来进行，为了进一步增加感性认识，请同学们再举出几个类似的做圆周运动的实例，并就刚才讨论的类似问题进行说明．(学生的回答和讨论这里略去)师：在刚才的研究中，同学们已充分感知了做匀速圆周运动的物体所受的力或合外力指向圆心，所以物体的加速度也指向圆心．是不是由此可以得出结论：“任何物体做匀速圆周运动的加速度都指向圆心”?暂时不能，因为上面只研究了有限的实例．还难以得出一般性的结论．然而，这样的研究十分有益，因为它强烈地向我们提示了问题的答案，给我们指出了方向．点评：刚才的叙述主要是给学生进行物理问题研究方法上的指导．下面我们将对圆周运动的加速度方向作一般性的讨论．二、速度变化量师：请同学们阅读教材“速度变化量”部分，同时在练习本上画出物体加速运动和减速运动时速度变化量△v的图示，思考并回答问题：速度的变化量△v是矢量还是标量?如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量△v?生：认真阅读教材，思考问题，在练习本上画出物体加速运动和减速运动时速度变化量的图示．每小组4人进行交流和讨论：如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量△v?(交流与讨论)投影学生所面的图示，并与课本上的图6．6—3和图6．6—4进行对比．师：同学们在刚才的交流与讨论中是否有什么问题提出来?生：我们小组把相互问画出的速度变化量的图示，进行了交流、比较，一起讨论了如何表示做曲线运动的物体在一段时间内的速度变化量△v，并与课本上的图进行对比．觉得课本上表示做曲线运动的物体在一段时间内的速度变化量△v，是由直线运动中速度变化量的做法推广而来的，缺乏一定的说服力，能否更完善地把这一做法推出来?师：这一问题提得很好，不过现在我想把这一问题再抛给所有的同学们去讨论，看看有没有哪一组能解决这一问题．点评：学生提出的问题，老师可不立即回答，可将该问题再交给学生讨论；甚至可以由老师提出另一个与之相关的问题让学生讨论．生l：速度变化量实际上就是速度的差值，但由于速度是矢量，故应是矢量差．同一直线的两个矢量相减，可以通过选取正方向将矢量相减转化为代数量相减．而不在同一直线上的两个矢量的相减，我们现在无法处理．生2：好像把我们在第三章中学过的两个矢量相加的三角形法则逆过来运用就可以得出两个不在同一直线上的矢量的相减．师：刚才同学们回答得很好，说明同学们学习过程中碰到的一些问题，可以通过同学们之间的交流和讨论去解决．同时也希望同学们在今后的学习过程中，加强相互间的合作、交流，共同提高．[课堂训练]请一位学生上黑板画出做平抛运动的物体在运动的过程中，连续相等的时间内速度变化量的矢量图．其他同学画在笔记本上．将同学们画出的各种情形投影出来如图6．6—5所示．让同学们交流、讨论，指出哪个图是符合实际的矢量图．(具体过程略)点评：该课堂训练设计的目的是让学生通过交流与讨论进一步加深和理解速度变化量的求法．三、向心加速度师：请同学们阅读教材“向心加速度”部分，分析投影图6．6—6．并思考以下问题：(1)在A、B两点画速度矢量vA和vB时，要注意什么?(2)将vA的起点移到B点时要注意什么?(3)如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量△V？(4)△v／△t表示的意义是什么?(5)△v与圆的半径平行吗?在什么条件下．△v与圆的半径平行?学生按照思考提纲认真阅读教材，思考问题，在练习本上独立完成上面的推导过程，并准备接受老师的提问．(学生的具体回答略)点评：让学生亲历知识的导出过程，体验成功的乐趣是新课程的重要理念．老师倾听学生回答．如果学生回答不理想，可引导学生进一步去阅读教材解决，老师也可提出递进性的问题引导学生进一步去思考．如：师：在图6．6—6丁中，△v的延长线并不通过圆心，为什么说这个加速度是“指向圆心”的?此时，学生可能不知如何回答，老师一定要在学生充分讨论的基础上再引导学生从课本上找答案．即课本上的第5行的“将vA的起点移到B，同时保持vA的长度和方向不变，它仍可代表质点在A处的速度．”这一句话就是答案的依据．点评：通过这一形式，将课本的“思考与讨论”融进师生的交流与讨论中．得出结论：当△t很小很小时，△v指向圆心．老师概括性地指出：上面的推导不涉及“地球公转“小球绕图钉转动”等具体的运动，结论具有一般性：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心．这个加速度称为向心加速度．师：匀速圆周运动的加速度方向明确了，它的大小与什么因素有关呢?下面请大家按照课本“做一做”栏目中的提示，在练习本上推导出向心加速度的表达式．也就是下面这两个表达式：a N=v2/r , a N=rω2学生阅读教材“做一做”栏目中的内容．边思考，边在练习本上推导向心加速度的公式．教师巡视学生的推导情况．解决学生推导过程中可能遇到的困难，给予帮助，回答学生可能提出的问题．点评：教师要放开，让学生独立完成推导过程．有的学生可能会走弯路．甚至失败，推导结果并不重要，重要的是让学生亲历推导的过程．投影学生推导的过程，和学生一起点评、总结．并把学生中有个性化的处理过程投影出来让所有学生进行分析、比较．[思考与讨论]教师引导学生思考并完成课本“思考与讨论”栏目中提出的问题．可将同一观点的学生编为一组，不同组之间进行辩论，深化本节课所学的内容．[课堂训练]关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是……( )A．它们的方向都沿半径指向地心B. 它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴C. 北京的向心加速度比广州的向心加速度大D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小答案；BD点评：因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周运动，它们的转动中心(圆心)都在地轴上，而不是地球球心，向心力只是引力的一部分(另一部分是重力)，向心力指向地轴，所以它们的向心加速度也都指向地轴．[小结]师：请同学们学着概括总结本节的内容．投影两到三位同学的小结，再请两到三位同学进行评价、比较，然后要求所有同学都要把投影出来的小结和自己的小结比较，看谁的更好．好在什么地方。

5.5向心加速度导学案【学习方法】自主阅读、合作探究、练习【学习准备】用细线拴住的小球【学习过程】1、对圆周运动中加速度的认识：（1）、引入：如果物体不受力（有初速度），它将做运动，圆周运动是运动，所以做圆周运动的物体一定受力，匀速圆周运动的物体，受的力是什么方向？（2）实例分析：请同学们看两例：(1)图1中的地球受到什么力的作用?这个力可能沿什么方向?（2）图2中的小球受到几个力的作用?这几个力的合力沿什么方向?（3）结论猜测：做匀速圆周运动的物体所受的合外力方向，所以物体的加速度方向2、向心加速度（1）定义：（2）方向：（3）大小：3、合作探究（理论推导）（1）、速度变化量请在图中标出速度变化量△v（2）、向心加速度大小、方向理论分析（请同学们阅读教材p21页“做一做”栏目，并思考以下问题：）(1)在A、B两点画速度矢量vA和vB时，要注意什么?(2)将vA的起点移到B点时要注意什么?(3)如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量△V？(4)△v／△t表示的意义是什么?编制人：张颖 审核人：薛赛 主管领导签字： 使用日期：2017-02-24(5)△v 与圆的半径平行吗?在什么条件下．△v 与圆的半径平行?（6）推导出加速度的表达式4、思考与讨论：思考并完成课本第22页“思考与讨论”栏目中提出的问题：从公式an= v 2/r 看，向心加速度an 与圆周运动的半径r 成反比；从公式an=ω2r 看，向心加速度an 与半径r 成正比。

这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度讨论这个问题。

(1)在y=kx 这个关系中，说y 与x 成正比，前提是什么？(2)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘有三个点A 、B 、C ，其中哪些点向心加速度的关系是用于“向心加速度与半径成正比”，哪些点是用于“向心加速度与半径成反比”？作出解释5、典型例题例1：如图3所示的皮带传动装置中，轮A 和B 同轴，A 、B 、C 分别是三个轮边缘上的质点，且r A =r C =2r B ，则三个质点的向心加速度之比a A ：a B ：a C 等于( )A ．4∶2∶1B ．2∶1∶2C ．1∶2∶4D ．4∶1∶4例2：如图4所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中有A 、B 、C 三点，这三点所在处半径r A ＞r B =r C ，则这三点的向心加速度a A 、a B 、a C 之间的关系是（ ）A ．a A =aB =aC B ．a C ＞a A ＞a BC ．a C ＜a A ＜a BD ．a C =a B ＞a A6、基础自测（1）下列说法中正确的是 （ ）A ．匀速圆周运动是一种速度不变的运动B ．匀速圆周运动是一种匀变速运动C ．匀速圆周运动是一种变加速运动D ．物体做匀速圆周运动时，其加速度方向一定指向圆心（2）、关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）A ．向心加速度是描述线速度变化的物理量B ．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C ．向心加速度大小恒定，方向时刻改变D ．向心加速度的大小也可用a=tv v t 0 来计算 （3）、做匀速圆周运动的物体，其加速度的数值一定（ ）A ．跟半径成正比B ．跟线速度的平方成正比C ．跟角速度的平方成正比D ．跟线速度和角速度的乘积相等（4）、由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则（ ）A ．它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1B ．它们的线速度之比v 1∶v 2=2∶1C ．它们的向心加速度之比a 1∶a 2=2∶1D ．它们的向心加速度之比a 1∶a 2=4∶1课后检测题1、下列说法中正确的是（ ）A.匀速圆周运动是一种匀速运动B. 匀速圆周运动是一种匀变速运动C. 匀速圆周运动是一种变加速运动D.以上说法都不对2、下列关于向心加速度的说法中正确的是（ ）A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B. 向心加速度表示角速度变化的快慢C. 向心加速度描述线速度方向变化快慢D.匀速圆周运动的向心加速度不变3.关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是（ ）A.与线速度方向始终相同B. 与线速度方向始终相反C.始终指向圆心D.始终保持不变4.关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法中正确的是（ )A.在赤道上向心加速度最大B.在两极向心加速度最大C.在地球上各处，向心加速度一样大D.随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小5. 做匀速圆周运动物体，其加速度的数值一定（ ）A.跟半径成正比B.跟线速度的平方成正比C.跟角速度的平方成正比D.跟线速度和角速度的乘积成正比6.如图所示，为质点P 、Q 做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P 的图线是双曲线，表示质点Q 的图线是过原点的一条直线，由图线可知（ ）A.质点P 的线速度大小不变B. 质点P 的角速度大小不变C. 质点Q 的角速度随半径变化D. 质点Q 的线速度大小不变7. 如图5-27所示，一个球绕中心线OO ′以角速度ω转动，P 、Q 是球的两点，则（ ） A.P 、Q 两点的角速度相等 B. P 、Q 两点的线速度相等C.若︒=60θ,则Q P v v 21=D. 若︒=30θ,则Q P v v 21=8.甲乙两质点绕同一圆心做匀速圆周运动，甲的转动半径是乙的3/4,当甲转60周时，乙转45周，甲、乙两质点的向心加速度之比 。

专题5.5 向心加速度※知识点一、对向心加速度的理解一、速度变化量1．速度变化量(1)速度变化量是指运动物体在一段时间内的末速度与初速度之差。

(2)速度是矢量，速度的变化量Δv也是矢量，Δv＝v2－v1是矢量式，其运算满足平行四边形定则或三角形定则。

探究：设质点沿半径为r的圆周运动，某时刻位于A点，速度为V A，经过时间后位于B点，速度为V B，质点速度的变化量沿什么方向？对向心加速度的进一步理解1．向心加速度是从哪个角度描述速度变化快慢的？你对向心加速度有何认识？提示：向心加速度的方向总指向圆心，与速度方向垂直，只改变速度方向，不改变速度大小，所以向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度大，即速度方向改变得快．2．匀速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？匀速圆周运动是否为匀变速运动？★名师点睛1．物理意义：描述线速度改变的快慢，只改变线速度方向，不改变其大小．2．方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．不论加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动．说明：做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改变速度的大小．【典型例题】【例题1】关于向心加速度的说法正确的是( )A．向心加速度越大，物体速率变化越快B．向心加速度的大小与轨道半径成反比C．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量【答案】 C★名师点睛向心加速度与合加速度的关系(1)物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体运动的合加速度．(2)物体做变速圆周运动时，合加速度必有一个沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度．【针对训练】关于向心加速度，以下说法中正确的是（)A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心D．物体做匀速圆周运动的加速度的方向始终指向圆心易错分析：本题易错选项及错误原因分析如下：正确解答：物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只是合加速度的一个分量，A正确、B错误。

【学霸笔记】物理必修⼆5.5向⼼加速度第五节向⼼加速度⼀、研究匀速圆周运动的加速度1、匀速圆周运动的加速度：①实例：地球绕太阳→指向太阳；⼩球通过绳⼦绕钉⼦→指向钉⼦②推导：圆周运动的特点，速度⼤⼩不变，⽅向变化→av 时刻垂直2、匀速圆周运动加速度的公式推导：t v t v v a ??=?-=12；根据相似三⾓形：rv x v =?；带⼊得：rv t r v x a 2== ⼆、向⼼加速度1、定义：任何做匀速圆周运动物体的加速度指向圆⼼，此加速度为向⼼加速度。

2、公式：r v a n 2=；ωπππωv r n r f r Tr r v a n ======22222222444（适⽤于所有圆周运动） 3、物理意义：描述速度（⼤⼩和⽅向）变化快慢的物理量。

4、⽅向：指向圆⼼。

5、作⽤：只改变速度⽅向，不改变速度⼤⼩。

5、运动性质：①匀速圆周运动为变加速曲线运动。

②匀速圆周运动为变加速曲线运动。

6、向⼼加速度与运动关系：①当半径⼀定时，向⼼加速度的⼤⼩与⾓速度的平⽅成正⽐，也与线速度的平⽅成正⽐．随频率的增⼤或周期的减⼩⽽增⼤．②当⾓速度⼀定时，向⼼加速度与运动半径成正⽐．③当线速度⼀定时，向⼼加速度与运动半径成反⽐．④a n 与r 的关系图象：如图5-5-2所⽰．由a n -r 图象可以看出：a n 与r 成正⽐还是反⽐，要看ω恒定还是v 恒定．三、⾮匀速圆周运动中的向⼼加速度向⼼加速度的概念也适⽤于⾮匀速圆周运动：A ，⾮匀速圆周运动的速度⼤⼩和⽅向都在改变。

B ，⾮匀速圆周运动的实际加速度和速度夹⾓不为直⾓。

C ，⾮匀速圆周运动的实际加速度沿半径⽅向的分量即为向⼼加速度或法向加速度，沿速度⽅向的分量称为切向加速度。

D，在⾮匀速圆周运动中，向⼼加速度改变速度⽅向，切向加速度改变速度⼤⼩。

E，做有关⾮匀速圆周运动题⽬时，⼀定要区别实际加速度和向⼼加速度。

专题：传动装置的拓展。