函数的奇偶性说课比赛 省一等奖

函数的奇偶性前言函数的奇偶性是高中数学中的一个重要概念，也是数学中的常见性质之一。

片面地来讲，它们是课程表中的某一个知识点，但是如果它被用来将不同的数学概念联系起来，比如对称、周期性、等等，则可以把它作为基础知识点，引导学生探求数学中的奇美妙世界。

本文将围绕着函数的奇偶性来进行讲解。

正文什么是函数的奇偶性一个给定的函数，如果对于任意的x，都有f(−x)=−f(x)，则称该函数为一个奇函数，如果对于任意的x，都有f(−x)=f(x)，则称该函数为一个偶函数。

奇偶性的性质1.若f(x)是一个奇函数，则其图像关于原点对称。

若f(x)是一个偶函数，则其图像关于y轴对称。

2.对于任意的奇函数f(x)，f(0)=0。

对于任意的偶函数f(x)，f(0)是正的。

3.奇函数与奇函数相加，得到一个奇函数；奇函数与偶函数相加，得到一个奇函数；偶函数与偶函数相加，得到一个偶函数。

4.奇函数与奇函数相乘，得到一个偶函数；奇函数与偶函数相乘，得到一个奇函数；偶函数与偶函数相乘，得到一个偶函数。

5.如果f(x)是一个定义域为$[0,\\infty)$上的偶函，那么f(x)可以表示为一个关于x=0的偶函数的傅里叶级数。

奇偶性的应用对称性奇函数是关于原点对称的，而偶函数则是关于y轴对称的。

根据这一性质，我们可以很容易地画出函数的图像。

例如，对于函数f(x)=x3，其中f(x)是一个奇函数，我们可以得到关于原点的对称图像：奇函数对称性1同样地，对于函数g(x)=x2，其中g(x)是一个偶函数，我们可以得到关于y轴的对称图像：偶函数对称性1这种对称性不仅存在于函数的图像中，还可以应用于方程的解决。

例如，对于二次方程ax2+bx+c=0，如果b=0，那么该方程是一个偶函数。

如果我们知道一个根x0，那么−x0也是一个根。

这种对称性使得解方程变得更加简单。

周期性对于任意函数f(x)，如果存在一个正数T，使得f(x+T)=f(x)对任意的x都成立，那么我们称f(x)是有周期的，T是这个周期。

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CHAPTER
学生自主探究环节
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指导学生运用数学语言描述奇偶性与周期性的关系，并尝试进行证明。
鼓励学生自主构造满足特定奇偶性和周期性条件的函数，以深化理解。
引导学生通过具体函数实例，观察奇偶性与周期性之间的联系。
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VS
已知函数 $f(x)$ 是奇函数，且当 $x > 0$ 时，$f(x) = x^2 - 2x$，求 $f(-1)$ 的值。
解析
由于 $f(x)$ 是奇函数，根据奇函数的性质 $f(-x) = -f(x)$，我们可以得到 $f(-1) = -f(1)$。将 $x = 1$ 代入 $f(x) = x^2 - 2x$，得到 $f(1) = 1^2 - 2 times 1 = -1$，因此 $f(-1) = -(-1) = 1$。
$f(-x) = f(x)$
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奇偶性的图像特征
奇函数图像关于原点对称
偶函数图像关于y轴对称
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判断函数奇偶性的方法
定义法
图像法
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典型例题的解析与讨论
通过具体例子加深对奇偶性的理解
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练习题
判断下列函数的奇偶性：$f(x) = x^3, g(x) = x^2, h(x) = sin x$
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解析
(1) 由于 $f(x)$ 是奇函数，当 $x < 0$ 时，$-x > 0$，因此 $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$。由于 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-x) = -f(x)$，即 $-f(x) = x^2 - 2x$，因此当 $x < 0$ 时，$f(x) = -x^2 + 2x$。综合以上结果，得到 $f(x)$ 的解析式为

4) f (x) (x 1)2
5) f (x)
x2 1
1 x2 6) f (x)
1 2x 1
1 7) f (x) 2
xa
例 3 判断已知函数旳奇偶性。 f（x）＝ x4＋x2 （x≥0） － x4－ x2 （x＜0）
练习： 判断已知函数旳奇偶性。 f（x）＝ －x3＋x （x≥0） x3－ x （x＜0）
例 2 已知函数f（x）旳定义域为R，且满足 f（x＋y）= f（x）＋ f（y）
试判断函数f（x）旳奇偶性。
练习：
已知函数f（x）旳定义域为R，且满足 f（x－y）= f（x）－ f（y）
试判断函数f（x）旳奇偶性。
思索：
1 奇、偶函数旳图象性质旳逆命题是否成立？ 2 可怎样简化奇、偶函数图象旳作图过程？
(a,f(a)) 间有何数值规律？
o
x f(-1)=-1 f(1)=1 f(-1)=-f(1)
(-a,-f(a))
y1 x
f(-2)=-2 f(2)=2 f(-2)=-f(2)
对于定义域中任意旳a,有f(-a)=-f(a)=-a
函数图像有关原点对称1．偶函数:f(x)旳定义域D内任意实数x，都有
f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数
对于定义域中任意旳a,有f(-a)=f(a)=a2 函数图像有关y轴对称
1．偶函数定义:
f(x)旳定义域D内任意实数x，都有f(-x)=f(x), 则称函数y=f(x)为偶函数
函数是偶函数 请同学再举出某些偶函数旳例子，加以阐明
y
问题3:类比研究偶函数旳措施，假如函数图像
有关原点对称，那么函数自变量和函数值之
例 1 求证：函数f（x）＝2x4－3 x2是偶函数。

函数奇偶的教案一、教学目标：1. 了解什么是奇函数和偶函数；2. 能够判断一个函数的奇偶性；3. 熟练掌握奇偶函数的性质及其图像的特点。

二、教学重点：1. 奇函数的定义和性质；2. 偶函数的定义和性质；3. 奇偶函数的图像特点。

三、教学内容：1. 什么是奇函数和偶函数奇函数和偶函数是一类特殊的数学函数，具有一些特定的性质。

在数学中，奇函数和偶函数可以通过函数的定义域和函数值的变化规律来判断。

2. 奇函数的定义和性质(1) 奇函数的定义：如果对于定义域内的任意一个自变量x，函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数。

(2) 奇函数的性质：a. 函数图像关于原点对称；b. 奇函数的函数值在定义域内关于原点对称。

3. 偶函数的定义和性质(1) 偶函数的定义：如果对于定义域内的任意一个自变量x，函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数。

(2) 偶函数的性质：a. 函数图像关于y轴对称；b. 偶函数的函数值在定义域内关于y轴对称。

4. 奇偶函数的图像特点(1) 奇函数的图像特点：a. 奇函数的图像关于原点对称；b. 奇函数在定义域内关于原点对称的点具有相同的函数值。

(2) 偶函数的图像特点：a. 偶函数的图像关于y轴对称；b. 偶函数在定义域内关于y轴对称的点具有相同的函数值。

四、教学步骤：1. 导入新知：引导学生思考奇偶函数的概念，并分析奇偶函数的定义。

2. 讲解奇函数的定义和性质：通过示例和图形展示，给学生一个直观的认识。

3. 讲解偶函数的定义和性质：同样通过示例和图形展示，帮助学生理解偶函数的概念。

4. 深化理解：引导学生思考奇偶函数的图像特点，并呈现更多的示例进行讲解。

5. 练习与巩固：提供一些练习题，让学生通过判断给定函数的奇偶性来巩固所学知识。

6. 拓展探究：引导学生进一步思考奇偶函数的应用，如对称性等。

五、教学评价：1. 在整堂课教学过程中，及时观察学生的理解情况，鼓励他们提出问题并进行解答。