专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理(解析版)

1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。

专题1.3 空间向量基本定理【玩前必备】知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i ，j ，k }表示． 2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k 使得a ＝x i ＋y j ＋z k . 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .知识点四 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |. (2)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 知识点五 求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB → )．【玩转题型】【题型1 空间向量基底的判断】【例1】（2020秋•嘉祥县校级期中）已知{a →，b →，c →}是空间向量的一个基底，则与向量p →=a →+b →，q →=a →−b →可构成空间向量基底的是（ ）A ．a →B ．b →C ．a →+2b →D ．a →+2c →【分析】由基底的意义知共面的三个向量不能构成空间向量基底，即可判断出结论．【解答】解：由于向量a →，b →，a →+2b →都与向量p →=a →+b →，q →=a →−b →为共面向量，因此A ，B ，C 不符合题意．故选：D ．【变式1-1】（2020秋•桃城区校级期中）已知{e 1→，e 2→，e 3→}是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（ ） ①e 1→，2e 2→，e 2→−e 3→②2e 2→，e 2→−e 1→，e 2→+2e 1→③2e 1→+e 2→，e 2→+e 3→，−e 1→+5e 3→④e 3→，e 1→+e 3→，e 1→+e 3→． A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③【分析】利用平面向量基本定理、空间向量基底的意义即可判断出． 【解答】解：①假设存在非0实数a ，b ，c 使得ae 1→+b ⋅2e 2→+c(e 2→−e 3→)=0→，化为ae 1→+(2b +c)e 2→−ce 3→=0→，∵{e 1→，e 2→，e 3→}是空间的一个基底，∴{a =02b +c =0−c =0，解得a ＝b ＝c ＝0， 故假设不成立，因此e 1→，2e 2→，e 2→−e 3→可以作为空间的一个基底．②∵2e 1→，e 2→−e 1→，e 2→+2e 1→一定是共面向量，因此不能作为空间向量的一个基底；③假设存在实数a ，b ，c 使得a(2e 1→+e 2→)+b(e 2→+e 3→)+c(−e 1→+5e 3→)=0→，化为，(2a −c)e 1→+(a +b)e 2→+(b +5c)e 3→=0→，∵{e 1→，e 2→，e 3→}是空间的一个基底， ∴{2a −c =0a +b =0b +5c =0，解得a ＝b ＝c ＝0，故假设不成立． 因此可以作为空间的一个基底．④e 3→，e 1→+e 3→，e 1→+e 3→一定是共面向量，因此不能作为空间向量的一个基底． 综上可知：只有①③能作为空间一个基底．故选：D ．【变式1-2】（2020秋•赤峰校级期末）{a →，b →，c →}＝是空间向量的一个基底，设p →=a →+b →，q →=b →+c →，r →=c →+a →，给出下列向量组：①{a →，b →，p →}，②{b →，c →，r →}，③{p →，q →，r →}，④{p →，q →，a →+b →+c →}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由题设条件知，本题研究空间向量基底，可以作为空间向量基底的向量组需要满足不共线，即其中一个向量不能用另两个向量的线性组合表示出来，【解答】解：∵{a →，b →，c →}＝是空间向量的一个基底，设p →=a →+b →，q →=b →+c →，r →=c →+a →， ①{a →，b →，p →}，不可以作为基底，因为p →=a →+b →，②{b →，c →，r →}，可以作为空间向量的基底，因为三向量不共面．③{p →，q →，r →}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面；④{p →，q →，a →+b →+c →}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面． 综上②③④是正确的，故选：C ．【变式1-3】已知{e 1→，e 2→，e 3→}为空间的一个基底，且OA →=e 1→+2e 2→−e 3→，OB →=−3e 1→+e 2→+2e 3→，OC →=e 1→+e 2→−e 3→，能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底？【分析】假设存在不全为0的实数m ，n ，使得OA →=mOB →+nOC →成立，则{1=−3m +n2=m +n −1=2m −n，通过此方程组的解即可判断出结论．【解答】解：假设存在不全为0的实数m ，n ，使得OA →=mOB →+nOC →成立， 则{1=−3m +n2=m +n −1=2m −n，此方程组无解， 即不存在不全为0的实数m ，n ，使得OA →=mOB →+nOC →成立， 因此假设不成立．因此能以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底． 答：能以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底．【题型2 空间向量基本定理的应用（表示向量）】【例2】（2020秋•南开区校级月考）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1→=c →，AB →=b →，AD →=a →，E 是BC 的中点，用a →，b →，c →表示A 1E →为（ ） A ．12a →+b →−c →B ．a →+b →−c →C ．12a →−b →−c →D ．12a →−b →+c →【分析】结合图象求出A 1E →=A 1A →+AB →+12BC →，从而求出结论即可．【解答】解：如图示：，结合图象得：A 1E →=A 1A →+AE →=−c →+AB →+12BC →=−c →+b →+12a →=12a →+b →−c →，故选：A ．【变式2-1】（2020秋•南阳期末）已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，用向量OA →，OB →，OC →，表示向量OG →是（ ）A ．OG →=OA →+23OB →+23OC →B ．OG →=12OA →+23OB →+23OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →+13OB →+23OC →【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．【解答】解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+23MN →=OM →+23(MO →+OC →+CN →) =13OM →+23OC →+13(OB →−OC →) =16OA →+13OB →+13OC →∴OG →=16OA →+13OB →+13OC →，故选：C ．【变式2-2】（2020秋•随州期末）已知在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于 ．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用OA →、OB →和OC →表示出MN →即可． 【解答】解：如图所示，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∵点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，∴OM →=34OA →；又N 为BC 中点，∴ON →=12（OB →+OC →）∴MN →=ON →−OM → =12（OB →+OC →）−34OA → =−34a →+12b →+12c →．故答案为：−34a →+12b →+12c →．【变式2-3】（2020秋•珠海期末）四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，点G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →=a →，PB →=b →，PC →=c →，用基底{a →，b →，c →}表示向量BG →= ．【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出．【解答】解：PG →=PB →+BG →=PB →+23BD →=PB →+23（BA →+BC →）=PB →+23（PA →−PB →+PC →−PB →）=23PA →−13PB →+23PC →=23a →−13b →+23c →，而PB →=PG →+GB →， 故BG →=PG →−PB →=23a →−13b →+23c →−b →=23a →−43b →+23c →， 故答案为：23a →−43b →+23c →．【题型3 空间向量基本定理的应用（求参数）】【例3】（2020秋•江苏期末）在三棱锥O ﹣ABC 中，AD →=DB →，CE →=2EB →，若DE →=xOA →+yOB →+zOC →，则（ ）A ．x =12，y =−16，z =13B ．x =12，y =16，z =−13C ．x =−12，y =16，z =13D ．x =12，y =16，z =13【分析】根据空间向量基本定理，先对已知向量进行分解，以OA →，OB →，OC →为基分别表示向量DE →，由唯一性判断．【解答】解：AD →=DB →⇒OD →−OA →=OB →−OD →⇒OD →=12OA →+12OB →，CE →=2EB →⇒OE →−OC →=2⋅(OB →−OE →)⇒3OE →=2OB →+OC →⇒OE →=23OB →+13OC →，DE →=OE →−OD →=−12OA →+16OB →+13OC →， DE →=xOA →+yOB →+zOC →，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA →，OB →，OC →，不共面， 根据向量基本定理得x =−12，y =16，z =13．故选：C ．【变式3-1】（2020秋•资阳期末）如图，M ，N 是分别是四面体O ﹣ABC 的棱OA ，BC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，若MN →=x a →+y b →+z c →，则x ，y ，z 的值分别是（ ）A ．12，12，12B ．12，12，−12C ．−12，12，−12D ．−12，12，12【分析】根据向量的线性运算表示出MN →=−12a →+12b →+12c →=x a →+y b →+z c →，根据对应关系求出x ，y ，z 的值即可．【解答】解：∵M ，N 是分别是四面体O ﹣ABC 的棱OA ，BC 的中点， ∴MN →=MA →+AC →+CN →=12OA →+（OC →−OA →）+12CB →=12a →+c →−a →+12（OB →−OC →）=12a →+c →−a →+12（b →−c →）=−12a →+12b →+12c →， 又MN →=x a →+y b →+z c →，∴x =−12，y =12，z =12，故选：D ．【变式3-2】（2020秋•白水县期末）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若AG →=xAB →+yAD →+zAC →，则x +y +z ＝ ．【分析】AG →=AB →+BG →=AB →+12×12（BC →+BD →）=AB →+14AC →+14AD →−12AB →=12AB →+14AD →+14AC →，由此能求出x +y +z ．【解答】解：在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，AG →=AB →+BG →=AB →+12BE → =AB →+12×12（BC →+BD →）=AB →+14（AC →−AB →+A →D −AB →）=AB →+14AC →+14AD →−12AB → =12AB →+14AD →+14AC →，∵AG →=xAB →+yAD →+zAC →，∴x +y +z =12+14+14=1． 故答案为：1．【变式3-3】（2020秋•番禺区期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，分别在棱B 1B 和D 1D 上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，则x +y +z ＝ ．【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算法则，求解即可． 【解答】解：平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE =13BB 1，DF =23DD 1，所以EF →=EB →+BA →+AD →+DF →=−13BB 1→−AB →+AD →+23DD 1→=−13AA 1→−AB →+AD →+23AA 1→ =−AB →+AD →+13AA 1→．由EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，所以x ＝﹣1，y ＝1，z =13， x +y +z ＝﹣1+1+13=13．故答案为：13．【题型4 利用空间向量基本定理解决几何问题】（3）几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得．【例4】如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 ，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)① (AA 1—→＋AB →＋AD →)2＝2(AC →)2 ； ①AC 1—→·(AB →－AD →)＝0 ； ①向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是60°； ①BD 1与AC 所成角的余弦值为63. 【解答】以顶点A 为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1，则AA 1—→·AB →＝AA 1—→·AD →＝AD →·AB →＝1×1×cos 60°＝12，(AA 1—→＋AB →＋AD →)2＝AA 1—→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1—→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1—→·AD → ＝1＋1＋1＋3×2×12＝6，而 2(AC →)2＝2(AB →＋AD →)2＝2(AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →)＝2（1+1+2×12）＝2×3＝6，所以①正确． AC 1—→·(AB →－AD →)＝(AA 1—→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1—→·AB →－AA 1—→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD →2＝0，所以①正确． 向量B 1C —→＝A 1D —→，显然①AA 1D 为等边三角形，则①AA 1D ＝60° .所以向量A 1D —→与AA 1—→的夹角是 120°，向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是 120° ，则①不正确． 又BD 1—→＝AD →＋AA 1—→－AB →，AC →＝AB →＋AD →， 则|BD 1—→|＝o(AD→＋AA 1—→－AB→2)＝2，|AC →|＝o(AB→＋AD→2)＝3，BD 1—→·AC →＝()AD →＋AA 1—→－AB →·(AB →＋AD →)＝1， 所以cos 〈BD 1—→，AC →〉＝BD 1—→·AC →|BD 1—→||AC →|＝12×3＝66 ，所以①不正确，故①①正确．【变式4-1】如图，二面角α－l －β等于2π3，A ，B 是棱l 上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC ①l ，BD ①l ，且 2AB ＝AC ＝BD ＝2，则CD 的长等于( )A ．2 3 B.13 C ．4D ．5【解答】①二面角α－l －β等于2π3，AC ①l ,BD ①l ，所以〈CA →，BD →〉＝π－2π3＝π3，①CD →＝CA →＋AB →＋BD →，①CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cos π3＝13.即CD ＝13.【变式4-2】如图所示，在三棱锥 A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ＝DA ＝2，E 为BC 的中点．(1)证明：AE ①BC ；(2)求直线AE 与DC 的夹角的余弦值．【解答】证明 因为AE →＝DE →－DA →＝12(DB →＋DC →)－DA →，CB →＝DB →－DC →，所以AE →·CB →＝ ·(DB →－DC →) ＝12DB →2－12DC →2－DA →·DB →＋DA →·DC →，又DA ，DB ，DC 两两垂直， 且DB ＝DC ＝DA ＝2， 所以AE →·CB →＝0，故 AE ①BC . (2)解 AE →·DC →＝ ·DC →＝12DB →·DC →＋12DC →2－DA →·DC →＝12DC →2＝2， 由AE →2＝ 2＝14DB →2＋14DC →2＋DA →2＝6，得||AE→＝ 6. 所以cos 〈AE →，DC →〉＝AE →·DC →||AE →||DC→＝26×2＝66 .故直线AE 与DC 的夹角的余弦值为66. 【变式4-3】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ①平面P AC .【解答】证明 如图，连接BD ，则BD 过点O ，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，且AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，OB 1—→＝OB →＋BB 1—→＝12DB →＋BB 1—→＝12(AB →－AD →)＋BB 1—→＝12a －12b ＋c .①AC →·OB 1—→＝(a ＋b )·（12a-12b+c ）＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0.①AC →①OB 1—→，即AC ①OB 1.又AP →＝AD →＋12DD 1—→＝b ＋12c ，①OB 1—→·AP →＝（12a-12b+c ）·(b ＋12c )＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋12＝0，①OB 1—→①AP →，即OB 1①AP .又AC ∩AP ＝A ，AC ，AP ①平面P AC ， ①OB 1①平面P AC .【课后练习】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020秋•烟台期中）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个【解题思路】根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答过程】解：对于A ，任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底， 三个不共线的向量不能构成空间向量的一个基底，所以A 错误；对于B ，任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，所以B 错误；对于C ，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C 正确； 对于D ，直线的方向向量有无数个，它们是共线向量，所以D 错误．故选：C ．2．（3分）（2020秋•碑林区校级月考）若{a →、b →、c →}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（ ） A ．{a →，a →+b →，a →−b →} B ．{b →，a →+b →，a →−b →} C ．{c →，a →+b →，a →−b →}D ．{a →+b →，a →−b →，2a →+b →}【解题思路】直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果． 【解答过程】解：对于{a →、b →、c →}为空间的一组基底， 所以对于(a →+b →)+(a →−b →)=2a →与a →共线，故选项A 错误． 对于(a →+b →)−(a →−b →)=2b →与b →共线，故选项B 错误．对于c →和a →+b →与a →−b →不共线向量，所以可以作为基底，故选项C 正确．对于2a →+b →=32(a →+b →)+12(a →−b →)，所以不可以作为向量的基底，故选项D 错误．故选：C ．3．（3分）（2020秋•枣庄期末）如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →【解题思路】向量BM →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(BA →+AD →)，由此能求出结果．【解答过程】解：∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点． AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，∴向量BM →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(BA →+AD →) =−12a →+12b →+c →．故选：A ．4．（3分）（2020秋•榆林期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与AM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →【解题思路】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．【解答过程】解：AM →=AA 1→+A 1M →=c →+12A 1C 1→=c →+12（A 1D 1→+A 1B 1→）=c →+12（a →+b →）， 故选：B ．5．（3分）（2020秋•安顺期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG →等于（ ）A ．13OA →+13OB →+13OC →B ．12OA →+13OB →+14OC →C ．12OA →+14OB →+14OC →D ．14OA →+14OB →+16OC →【解题思路】在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，可得OG →=12（OA →+OD →），OD →=12（OB →+OC →）．即可得出．【解答过程】解：在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点， 则OG →=12（OA →+OD →），OD →=12（OB →+OC →）．∴OG →=12OA →+14OB →+14OC →． 故选：C ．6．（3分）（2020秋•新乡期末）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 是线段D 1B 上一点，且BP ＝2D 1P ，若AP →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则x +y +z ＝（ ）A ．53B ．23C ．43D ．1【解题思路】根据空间向量的基本定理进行分解即可． 【解答过程】解：∵BP ＝2D 1P ，∴BP →=2PD 1→，即AP →−AB →=2（AD 1→−AP →）＝2AD 1→−2AP →，即3AP →=AB →+2AD 1→，即AP →=13AB →+23AD 1→=13AB →+23AD →+23AA 1→，所以x =13，y =23，z =23，所以x +y +z =53． 故选：A ．7．（3分）（2020秋•皇姑区校级期末）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则（ ） A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面【解题思路】向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，可得：向量OA →，OB →，OC →共面，即可得出． 【解答过程】解：∵向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底， ∴向量OA →，OB →，OC →共面，因此O ，A ，B ，C 四点共面，故选：D ．8．（3分）（2020秋•吉林期末）在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若OG →=13OA →+xOB →+yOC →，且G ，M ，N 三点共线，则x +y ＝（ ） A ．−13B ．13C ．23D ．−23【解题思路】若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得OG →=λON →+(1−λ)OM →=1−λ2OA →+λ2OB →+λ2OC →成立，求出λ=13，从而x =y =16，由此能求出结果．【解答过程】解：若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得OG →=λON →+(1−λ)OM →=1−λ2OA →+λ2OB →+λ2OC →成立，所以1−λ2=13，可得λ=13，所以x =y =16，可得x +y =13．故选：B ． 二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021春•徐汇区校级期中）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，用a →、b →、c →作为基底向量表示D 1B →= a →−b →−c →．【解题思路】画出图形，根据空间向量的线性表示，用AB →、AD →和AA 1→表示D 1B →即可． 【解答过程】解：平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，如图所示：则D 1B →=D 1A 1→+A 1A →+AB →=DA →−AA 1→+AB →=AB →−AD →−AA 1→=a →−b →−c →． 故答案为：a →−b →−c →．10．（4分）（2020秋•沈阳期中）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且MP ＝2PN ，设向量OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OP →=16a →+13b →+13c → .（用{a →，b →，c →}表示）【解题思路】利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把OP →用OA →，OB →和OC →线性表示即可． 【解答过程】解：如图所示：OP →=ON →+NP →，ON →=12（OB →+OC →），NP →=13NM →，NM →=OM →−ON →，OM →=12OA →，∴OP →=ON →+NP →=ON →+13NM →=ON →+13（OM →−ON →）=23ON →+13OM →=23×12（OB →+OC →）+13×12OA →=16OA →+13OB →+13OC →=16a →+13b →+13c →． 故选：C ．11．（4分）（2020秋•浙江月考）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1E →=13A 1C 1→，若AE →=xAA 1→+yAB →+zAD →，则x ＝ 1 ，y +z ＝23．【解题思路】直接利用向量的加法求出结果． 【解答过程】解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， 如图所示：由于A 1E →=13A 1C 1→，所以A 1E →=13AC →=13AD →+13AB →，AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+13AD →+13AB →，由于AE →=xAA 1→+yAB →+zAD →，所以x ＝1，y ＝z =13，所以y +z =23．故答案为：1；23．12．（4分）（2020•闵行区校级模拟）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和BB 1C 1C 的中心，若点P 满足DP →=m DA →+n DM →+k DN →，其中m 、n 、k ∈R ，且m +n +k ＝1，则点P 可以是正方体表面上的点 线段AB 1，B 1C ，AC 上的点． ．【解题思路】因为点P 满足DP →=m DA →+n DM →+k DN →，其中m 、n 、k ∈R ，且m +n +k ＝1，所以点A ，M ，N 三点共面，只需要找到平面AMN 与正方体表面的交线即可．【解答过程】解：因为点P 满足DP →=m DA →+n DM →+k DN →，其中m 、n 、k ∈R ，且m +n +k ＝1，所以点A ，M ，N 三点共面，又因为M 和N 分别是矩形ABCD 和BB 1C 1C 的中心，所以CN ＝B 1N ，AM ＝MC ，连接MN ，AB 1，则MN ∥AB 1，所以△AB 1C 即为经过A ，M ，N 三点的平面与正方体的截面， 故P 点可以是正方体表面上线段AB 1，B 1C ，AC 上的点． 故答案为：线段AB 1，B 1C ，AC 上的点．三．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•淄博期末）已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线【解题思路】利用向量的模的性质将i →+j →+k →的模转化为数量积求解，即可判断选项A ，利用不共面的向量作为基底判断选项B ，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C ，利用向量的夹角公式求出向量i →+j →与k →−j →的夹角，即可判断选项D ．【解答过程】解：对于选项A ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以|i →|=|j →|=|k →|=1，且i →⋅j →=0，i →⋅k →=0，j →⋅k →=0，则|i →+j →+k →|=√(i →+j →+k →)2=√i →2+j →2+k →2+2i →⋅j →+2j →⋅k →+2i →⋅k →=√3， 所以向量i →+j →+k →的模是√3，故选项A 错误；对于选项B ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以i →，j →，k →不共面，而向量i →+j →，i →−j →均与i →，j →共面，所以i →+j →，i →−j →与k →不共面，则{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底， 故选项B 正确；对于选项C ，设i →+j →+k →与k →的夹角为α， 则cosα=(i →+j →+k →)⋅k→|i →+j →+k →||k →|=i →⋅k →+j →⋅k →+k →⋅k →|i →+j →+k →||k →|=1√3×1=√33， 所以向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33，故选项C 正确； 对于选项D ，因为|i →+j →|=√(i →+j →)2=√i →2+2i →⋅j →+j →2=√2， 同理可得|k →−j →|=√2，则cos ＜i →+j →，k →−j →＞=(i →+j →)⋅(k →−j →)|i →+j →||k →−j →|=−12，所以向量i →+j →与k →−j →的夹角为120°，则向量i →+j →与k →−j →不共线， 故选项D 错误．故选：BC ．14．（4分）（2020秋•荔湾区期末）在空间四边形OABC 中，E 、F 分别是OA 、BC 的中点，P 为线段EF 上一点，且PF ＝2EP ，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则下列等式成立的是（ ）A ．OF →=12b →+12c →B ．EP →=−16a →+16b →+16c →C ．FP →=−13a →+13b →+13c →D ．OP →=13a →+16b →+16c →【解题思路】根据空间向量基本定理进行分解即可． 【解答过程】解：∵E 、F 分别是OA 、BC 的中点，∴OF →=12（OB →+OC →）=12OB →+12OC →=12b →+12c →，故A 正确， EF →=OF →−OE →=12b →+12c →−12a →，∵PF ＝2EP ，∴EP =13EF ，FP =23EF ，即EP →=13EF →=13（12b →+12c →−12a →）=−16a →+16b →+16c →，故B 正确，FP →=−23EF →=−23（12b →+12c →−12a →）=13a →−13b →−13c →，故C 错误，OP →=OE →+EP →=12a →−16a →+16b →+16c →=13a →+16b →+16c →，故D 正确．故选：ABD ．15．（4分）（2020秋•山东月考）设{a →，b →，c →}是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ） A ．a →，b →，c →可以为任意向量B ．对空间任一向量p →，存在唯一有序实数组（x ，y ，z ），使p →=x a →+y b →+z c →C ．若a →⊥b →，b →⊥c →，则a →⊥c →D ．{a →+2b →，b →+2c →，c →+2a →}可以作为构成空间的一组基底【解题思路】根据{a →，b →，c →}是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，对选项中的命题判断正误即可．【解答过程】解：对于A ，{a →，b →，c →}是空间的一组基底，则a →，b →，c →是不共面的一组向量，不是任意向量，所以A 错误；对于B ，根据空间向量的基本定理知，对空间任一向量p →，存在唯一有序实数组（x ，y ，z ），使p →=x a →+y b →+z c →，所以B 正确；对于C ，由a →⊥b →，b →⊥c →，能得出b →垂直于a →与c →所确定的平面，但a →与c →不一定垂直，所以C 错误； 对于D ，设x （a →+2b →）+y （b →+2c →）+z （c →+2a →）=0→，则（x +2z ）a →+（2x +y ）b →+（2y +z ）c →=0→； 由向量相等的定义知，{x +2z =02x +y =02y +z =0，解得x ＝y ＝z ＝0，所以{a →+2b →，b →+2c →，c →+2a →}可以作为构成空间的一组基底，D 正确； 故选：BD ．16．（4分）（2020秋•乳山市校级月考）给出下列命题，其中正确命题有（ ） A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量a →∥b →，则存在向量可以与a →，b →构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面D ．已知向量组{a →，b →，c →}是空间的一个基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的一个基底 【解题思路】直接利用向量的共线，向量的基底的定义判定A 、B 、C 、D 的结论． 【解答过程】解：对于A ：空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，故A 正确； 对于B ：已知向量a →∥b →，则不存在向量可以与a →，b →构成空间的一个基底，故B 错误；对于C ：由于点A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 共面，故C 正确；对于D ：已知向量组{a →，b →，c →}是空间的一个基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}，即{a →，b →，a →+c →}不共面，则可以是空间的一个基底，故D 正确． 故选：ACD ．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，求证：{a →+b →，b →+c →，c →+a →}可以构成空间的一个基底． 【解题思路】假设a →+b →，b →+c →，c →+a →共面，则有a →+b →=x （b →+c →）+y （c →+a →），整理得（1﹣y ）a →=（x ﹣1）b →+（x +y ）c →，然后分y ＝1和y ≠1两类，结合空间向量基本定理进行讨论，均可推出a →+b →，b →+c →，c →+a →不共面，从而得证．【解答过程】证明：假设a →+b →，b →+c →，c →+a →共面，则有a →+b →=x （b →+c →）+y （c →+a →）， ∴（1﹣y ）a →=（x ﹣1）b →+（x +y ）c →，①若y ＝1，则0→=（x ﹣1）b →+（x +1）c →，∴向量b →与c →共线， ∴a →，b →，c →共面，与已知矛盾；②若y ≠1，则a →=x−11−y b →+x+y 1−y c →，∴a →，b →，c →共面，与已知矛盾．由①②知，a →+b →，b →+c →，c →+a →不共面，故{a →+b →，b →+c →，c →+a →}可以构成空间的一个基底．18．（6分）（2020秋•乐山期中）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝4，AD ＝3，AA '＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA '＝∠DAA '＝60°，且点F 为BC '与B 'C 的交点，点E 在线段AC '上，有AE ＝2EC '． （1）求AC '的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA′→来进行表示．设EF →=x AB →+y AD →+z AA′→，求x ，y ，z 的值．【解题思路】（1）AC′→=AB →+AD →+AA′→，利用数量积运算性质即可得出．（2）EF →=EC′→+C′F →=13AC′→−12BC′→，再利用平行六面体、空间向量基本定理即可得出．【解答过程】解：（1）AC′→=AB →+AD →+AA′→，AC′→2=AB →2+AD →2+AA′→2+2(AB →⋅AD →+AB →⋅AA′→+AD →⋅AA′→) =42+32+52+2(0+4×5×12+3×5×12)=85，∴AC′=√85．（2）EF →=EC′→+C′F →=13AC′→−12BC′→=13(AB →+AD →+AA′→)−12(AD →+AA′→)=13AB →−16AD →−16AA′→，∴x =13，y =z =−16．19．（8分）（2020秋•兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，a →，b →，c →为空间向量的一组基底， 计算： （1）EF →⋅BA →； （2）|EG |．【解题思路】（1）利用数量积公式先求c →•a →的值，再根据EF →•BA →=（12c →−12a →）•（−a →）求得结果；（2）由EG →=EB →+BC →+CG →=−12a →+12b →+12c →，先平方，再开平方．【解答过程】解：（1）由题意，AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →， 则|a →|＝|b →|＝|c →|＝1，＜a →，b →＞=＜b →，c →＞=＜c →，a →＞=60°， ∴EF →⋅BA →=（12c →−12a →）•（−a →）=14；（2）EG →=EB →+BC →+CG →=−12a →+12b →+12c →，∴EG →2=14a →2+14b →2+14c →2−12a →•b →−12a →⋅c →+12b →⋅c →=12，∴|EG →|=√22，即|EG |=√22．20．（8分）（2020秋•成都期末）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1．（I ）若G 为△ABC 的重心，A 1M →=3MG →，设AB →=a ，AD →=b ，AA 1→=c ，用向量a 、b 、c 表示向量A 1M →； （II ）若平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各棱长相等且AB ⊥平面BCC 1B 1，E 为CD 中点，AC 1∩BD 1＝O ，求证：OE ⊥平面ABC 1D 1．【解题思路】（I ）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将AG →用基底表示，再在三角形A 1AG 中，将A 1M →用基底表示；（II ）连接C 1E ，AE ，由已知证明△C 1EA 为等腰三角形，从而OE ⊥AC 1，同理可证明OE ⊥BD 1，最后由线面垂直的判定定理证明结论【解答过程】解：（I ）依题意，A 1M →=34A 1G →=34(A 1A →+AG →) ∵G 为△ABC 的重心，∴AG →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →)又∵AC →=AB →+AD →，∴A 1M →=34[A 1A →+13(AB →+AB →+AD →)]=34A 1A →+12AB →+14AD → =12a →+14b →−34c →（II ）证明：连接C 1E ，AE ，∵平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各棱长相等且AB ⊥平面BCC 1B 1 ∴C 1E ＝AE ，∴△C 1EA 为等腰三角形，∵O 为AC 1的中点，∴OE ⊥AC 1，同理可证 OE ⊥BD 1，∵AC 1∩BD 1＝O ，∴OE ⊥平面ABC 1D 1． 21．（8分）已知在四面体P ﹣ABC 中，PA →=a →，PB →=b →，PC →=c →，G ∈平面ABC ． 证明：G 为△ABC 的重心的充要条件是PG →=13（a →+b →+c →）【解题思路】先证明必要性，再证明充分性，利用向量三角形法则、向量共线定理、向量平行四边形法则即可得出．【解答过程】证明：如图所示，必要性：利用向量三角形法则、向量共线定理、向量平行四边形法则可得：PG →=PA →+AG →，AG →=23AD →，AD →=PD →−PA →，PD →=12(PB →+PC →)，代入化简可得：PG →=13（PA →+PB →+PC →）=13（a →+b →+c →）．再证明充分性：若PG →=13（PA →+PB →+PC →）=13（a →+b →+c →）．连接AG 并延长AG 与BC 相交于点D ，连接PD ． 由三点C ，D ，B 共线，设PD →=λPB →+（1﹣λ）PC →， 由三点A ，G ，D 共线，设PG →=μPA →+（1﹣μ）PD →， ∴PG →=μPA →+（1﹣μ）λPB →+（1﹣μ）（1﹣λ）PC →，代入PG →=13（PA →+PB →+PC →）=13（a →+b →+c →）．可得：PA →+PB →+PC →=3μPA →+3（1﹣μ）λPB →+3（1﹣μ）（1﹣λ）PC →， ∴3μ＝1，3（1﹣μ）λ＝1，3（1﹣μ）（1﹣λ）＝1， 联立解得μ=13，λ=12．∴D 为线段BC 的中点．PG →=13PA →+23PD →=13PA →+23（PA →+AD →）=PA →+23AD →，可得：G 为△ABC 的重心．22．（8分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段P A ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD →=m PA →，PE →=n PB →，PF →=t PC →，求证：1m+1n+1t为定值，并求出该定值．【解题思路】连接AG 并延长交BC 于点H ，由题意可令（PA →，PB →，PC →）为空间的一个基底，表示出PM →=14PA →+14PB →+14PC →以及PM →=（1﹣λ﹣μ）m PA →+λn PB →+μt PC →，根据对应关系得到1m +1n +1t为定值即可． 【解答过程】证明：如图示：连接AG 并延长交BC 于点H ，由题意可令（PA →，PB →，PC →）为空间的一个基底，故PM →=34PG →=34（PA →+AG →）=34PA →+34•23AH →=34PA →+12•12（AB →+AC →）=34PA →+14（PB →−PA →）+14（PC →−PA →）=14PA →+14PB →+14PC →，连接DM ，因为点D ，E ，F ，M 共面，故存在实数λ，μ，使得DM →=λDE →+μDF →， 即PM →−PD →=λ（PE →−PD →）+μ（PF →−PD →），故PM →=（1﹣λ﹣μ）PD →+λPE →+μPF →=（1﹣λ﹣μ）m PA →+λn PB →+μt PC →， 由空间向量基本定理知14=（1﹣λ﹣μ）m ，14=λn ，14=μt ，故1m+1n+1t=4（1﹣λ﹣μ）+4λ+4μ＝4，为定值．。

空间向量及其运算讲义一、知识梳理1．空间向量的有关概念2.(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23注意：1．向量三点共线定理在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) 题组二：教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 题组三：易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直5．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______.三、典型例题题型一：空间向量的线性运算1.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝______.2.如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 思维升华：用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 题型二：共线定理、共面定理的应用典例：如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？思维升华：(1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．跟踪训练 如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 题型三：空间向量数量积的应用典例 如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .思维升华：(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 注意：坐标法在立体几何中的应用典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .四、反馈练习1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32 B ．－2 C ．0D.32或－2 3．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3 C.π3D.π65．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．36．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－27．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．8.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为______．9．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝3A 1B 1—→2； ②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________．11．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．12.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．13．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定14．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则(x ，y ，z )叫向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标，已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A ．(4,0,3) B ．(3,1,3) C ．(1,2,3)D ．(2,1,3)15．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形D ．空间四边形16．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是____________．。

高二数学空间向量及其运算嗨，大家好！今天咱们来聊聊高二数学里的一个神奇领域——空间向量。

别急，虽然这听起来有点儿高深，但咱们一步一步来，保证让你轻松搞懂。

相信我，空间向量就像是一位神秘的导游，带你领略数学的奇妙世界。

行啦，咱们不废话了，直接进入正题！1. 什么是空间向量？1.1 空间向量的基本概念首先，咱们得搞清楚，什么是空间向量。

简单来说，空间向量就是一种用来描述空间中位置关系的工具。

就好像你用箭头标记地图上的位置，空间向量就是数学中用来标记空间位置的“箭头”。

它有方向和长度，还能在空间中“移动”，不受限制。

1.2 空间向量的表示方法说到这里，大家可能会问：“那空间向量是怎么表示的呢？”其实很简单，咱们通常用一个字母加上箭头的方式，比如说 (vec{A}) 或者 (vec{B})。

如果你还记得初中学过的平面向量，那么空间向量也是类似的，只不过它多了一个“Z轴”，变成了三维空间的“箭头”。

2. 空间向量的基本运算2.1 向量的加法和减法现在我们来看看空间向量的基本运算——加法和减法。

其实，向量的加法就像是把两个箭头放在一起，然后画一个从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的新箭头。

减法就类似，咱们把第二个箭头翻转过来，然后加到第一个箭头上，得到的结果就是从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的箭头。

是不是很形象呢？2.2 向量的数量积接下来是向量的数量积，这个就有点儿高级了。

数量积，也叫点积，简单来说就是两个向量“互相投影”后得到的结果。

公式是 (vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| |vec{B}| cos theta)，其中 (theta) 是它们之间的夹角。

这个公式的意思就是，如果两个向量的夹角很小，它们的点积就会很大，夹角很大的话，点积就会很小。

3. 空间向量的应用3.1 向量在实际问题中的应用说了这么多，空间向量究竟有什么用呢？其实，空间向量在很多实际问题中都能派上用场。

空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。

在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。

二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。

2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。

3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。

当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。

4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。

5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。

三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。

2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。

（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。

（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。

而且当k=-1时，ka=-a。

这些结论称为空间向量的基本定理。

四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。

第1讲 空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

3.掌握空间向量的线性运算。

4. 掌握空间向量的数量积。

知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示. 2.几个常见的向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ； 分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1 空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2 空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3 共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4 空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D. 0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础． 利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】 解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定； 假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4. （葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A. ；B. ；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面； 对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面； C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面； 对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是( ) A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0A C A B A A -=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++=，221113AC A B =，∴22111()3()AC A B =，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110A C AB =，故B 正确； 1ACD ∆是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA =，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6. （都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键． 由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量． 【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7. （池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有； 若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【解答】 解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误； 若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t = ．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC =++，且P ，A ，B ，C 四点共面，∴31148t ++=18t ∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为 ．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥，可得：0PA BC =．由E 是棱AB 中点，可得1()2PE PA PB =+，代入PE BC ，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥， 可得：0PA BC =．E 是棱AB 中点，∴1()2PE PA PB =+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC =+=+=⨯⨯⨯︒=-． 故答案为：1-．10. （三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量 化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又， 所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． （2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． 【解答】（1）证明：1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解：111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=． B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ=，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a <，b >，再由平方关系求出sin a <，b >的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗，b >，||||sin b a b a b ==<⊗，a >， 故a b b a =⊗⊗恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗，)b >，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗，b >， 故()()a b a b λλ=⊗⊗不会恒成立；对于C ，若a b λ=，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗，c >，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗，||||sin c b c b >+<，(1)||||sin c b c b λ>=+<，c >，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗不会恒成立；对于D ，cos a <，1212||||x x y y b a b +>=，sin a <，22121()||||x y y b a b +>=-， 即有22212121212||||1()||||()||||||x x y y x x y y a b a b a b a a b ++=-=-⊗2222212222211)y y x y y +=++22121221)||x y y x y x y +-．则1221||a b x y x y =-⊗恒成立．故选：AD ．。

3.1空间向量及其运算1．空间向量的有关概念：在空间，具有大小和方向的量叫做向量。

2．空间向量的表示方法：用有向线段表示，且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

3．空间向量的加法与减法及数乘运算：OB a b =+ ，AB OB OA =- ，()OP a R λλ=∈4．运算法则：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+ 5．平行六面体：平行四边形按非零向量a平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，记作ABCD A B C D ''''-，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

6．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数组x 、y 、z ,使p =x a + y b + z c . 7.向量的直角坐标运算：设a =(a 1,a 2,a 3), b =(b 1,b 2,b 3), A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2).则a +b = ),,(332211b a b a b a +++. a -b = ),,(332211b a b a b a ---. a ·b =332211b a b a b a ++.若a 、b 为两非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b =0⇔ 332211b a b a b a ++=0.aba b c ++a b + acb1．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面三角形ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点。

（1）求的长；（2）求><11,cos CB 的值。

2023暑假新高二第01讲空间向量及其线性运算2023.08【知识梳理】知识点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB 或a。

（要注意印刷体用a ，而手写体为a，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a 3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0 。

规定：0与任意向量平行。

单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =.相等向量：方向相同且模相等的向量。

相反向量：方向相反但模相等的向量。

共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。

要点诠释：①当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．知识点二、空间向量的加减法1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．运算律交换律：a b b a+=+ 结合律：()()a b c a b c ++=++要点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n nA A A A A A A A A A -++++= 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；知识点三、空间向量的数乘运算1.定义：实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＞0时，λa 与a 方向相反；当λ=0时，λa=0．λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．如右图所示．2．运算律．分配律：λ(a+b)=λa+λb ；结合律：λ(μa)=(λμ)a ．要点诠释：（1）实数λ与空间向量a 的乘积λa （λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，λa=0；当λ≠0时．若a≠0时，有λa≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义．知识点四、共线定理1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a ∥b ．注意：0与任意向量是共线向量．2．共线向量定理．空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a // 的充要条件是存在实数λ，使b aλ=．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：注意:b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．3.共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。

空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。

本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。

有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。

用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。

1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。

相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。

例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。

1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。

空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。

例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。

二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。

在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。

空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。

也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。

第六节 空间向量及运算1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →. 2.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积 ①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.②a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量). ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).则①|a |＝a 21＋a 22＋a 23.②a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3). ③a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3). ④λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3). ⑤a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.⑥设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1).⑦cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面.( )(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( )(3)对于向量a ，b ，若a ·b ＝0，则一定有a ＝0或b ＝0.( ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( )(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×2.已知空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →等于( )A.12a ＋12b －23cB.－23a ＋12b ＋12cC.12a －23b ＋12cD.23a ＋23b －12c[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －23a . [答案] B3.与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1B.(－1，－3,2)C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.(2，－3，－22)[解析] 可知－12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1，选C.[答案] C4.若向量a ＝(2,2,0)，b ＝(1,3，z )，且〈a ，b 〉＝π3，则实数z ＝( ) A.22 B.5 C.±22D.±5[解析] ∵cos 〈a ，b 〉＝cos π3＝a ·b |a |·|b |＝2×1＋2×3＋0×z 22＋22＋02×12＋32＋z2＝12，∴z ＝±22.[答案] C 5.有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4[解析] ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立.③正确.④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确.[答案] B6.已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________. [解析] b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值为355. [答案]355考点一 空间向量的线性运算——自练型(1)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →正确的是( )A.OG →＝OA →＋23OB →＋23OC →B.OG →＝12OA →＋23OB →＋23OC →C.OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →D.OG →＝16OA →＋13OB →＋23OC →(2)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可用a ，b ，c 表示为__________.[解析] (1)OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋ON →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OC →＋12OB →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.(2)由图可知，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋12B 1D 1→＝BB 1→＋12(A 1D 1→－A 1B 1→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .[答案] (1)C (2)－12a ＋12b ＋c(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.考点二 共线、共面向量定理的应用——互动型 如右图，已知平行六面体ABCD－A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证：E 、F 、G 、H 四点共面.[证明] 取ED ′→＝a 、EF →＝b 、EH →＝c ，则HG →＝HB →＋BC →＋CG →＝D ′F →＋2ED ′→＋12AA ′→＝b －a ＋2a ＋12(AH →＋HE →＋EA ′→)＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG →与b 、c 共面，即E 、F 、G 、H 四点共面.证三点共线、四点共面的向量方法(1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R ).②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R ). ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1). (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →.②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →.③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1). ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →).如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心.证明：A 1、G 、C 三点共线.[证明] ∵CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→，CG →＝CC 1→＋23×12(C 1B →＋C 1D →)＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→，∴CG →∥CA 1→，且有公共点C ，即A 1、G 、C 三点共线.考点三 空间向量的数量积——共研型角度1：数量积的坐标运算(1)已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A.－2B.－143C.145D.2(2)已知O 为坐标原点，A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为__________.[解析] (1)由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.(2)OA →＋λOB →＝(1,0,0)＋λ(0，－1,1)＝(1，－λ，λ)， ∵OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，∴(1，－λ，λ)·(0，－1,1)＝1＋2λ2×2×－12，2λ＝－221＋2λ2，λ＝－66. [答案] (1)D (2)－66 角度2：数量积的应用如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. [解] (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →.即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )， ∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a . ∴MN 的长为22a .(3)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )， MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22， ∴cos θ＝23，∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.数量积有以下三方面应用(1)求夹角：设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离)：运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)证垂直：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.[角度1]已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a 与b 方向相同，则λ与μ的值分别为__________.[解析] ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎨⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝12.当⎩⎨⎧λ＝2，μ＝12时，a ＝(3,0,2)，b ＝(6,0,4)＝2a ，a 与b 方向相同，符合题意；当⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝12时，a ＝(－2,0,2)，b ＝(6,0，－6)＝－3a ，a 与b方向相反，不符合题意，舍去.故λ＝2，μ＝12.[答案] 2 122.[角度2]在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC 1的长为__________.[解析] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c ，所以|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6.所以|AC 1→|＝ 6. [答案]6课题42：向量的有关概念不清致误名师导学：在向量的应用中，向量的夹角与异面直线所成的角的含义有所不同，体现在范围上；与非零向量a 共线的单位向量有两个.已知AB →＝(1,2，－2)，CD →＝(0,2,4)，则直线AB 与CD 所成角的余弦值为__________.[错解] ∵cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD→|AB →|·|CD →|＝1×0＋2×2－2×412＋22＋(－2)2×02＋22＋42＝－2515.∴直线AB 与CD 所成角的余弦值为 －255.[正解] 由cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD→|AB →|·|CD →|＝1×0＋2×2－2×412＋22＋(－2)2×02＋22＋42＝－2515，故异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为2515. [答案]2515两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.1.已知a＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A.48585B.－48585C.－1515D.1515[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515.[答案] C2.与向量a ＝(6,7，－6)平行的单位向量为__________.[解析] 设与a 平行的单位向量为b ＝(x ，y ，z )，则x 2＋y 2＋z 2＝1，且b ＝λa ，即x ＝6λ，y ＝7λ，z ＝－6λ，解得λ＝±111，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫611，711，－611或⎝ ⎛⎭⎪⎫－611，－711，611.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫611，711，－611或⎝ ⎛⎭⎪⎫－611，－711，611。

空间向量的基本概念与运算法则空间向量是在三维坐标系中用矢量表示的量，在物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。

空间向量具有方向和大小两个基本属性，可用于描述物体在三维空间中的位置、位移、力、速度等。

了解空间向量的基本概念和运算法则对于深入理解三维空间中物理现象具有重要意义。

1. 基本概念空间向量可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

在三维坐标系中，空间向量可由三个分量表示，分别对应坐标系的x、y、z轴方向上的分量。

空间向量的起点可以选取为原点，或者其它合适的点。

2. 空间向量的表示空间向量可用以下形式表示：A = (A₁, A₂, A₃)其中A₁, A₂, A₃分别表示空间向量在x、y、z轴上的分量。

3. 空间向量的加法空间向量的加法满足三角形法则，即将两个相邻的向量首尾相连，所得线段的起点和终点分别为相邻向量的起点和终点，所得线段就是这两个向量的和。

例如，对于空间向量A和B，它们的和C可以表示为：C = A + B4. 空间向量的减法空间向量的减法是指将一个向量的反向量加到另一个向量上，所得结果为两个向量的差。

例如，对于空间向量A和B，它们的差D可以表示为：D = A - B5. 空间向量的数量乘法空间向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果为一个经过缩放的向量，其方向与原向量相同（当实数大于0时），或相反（当实数小于0时）。

例如，对于空间向量A和实数k，它们的数量乘积E可以表示为：E = kA6. 空间向量的点乘空间向量的点乘是指两个向量相应分量的积之和，结果为一个实数。

例如，对于空间向量A = (A₁, A₂, A₃)和B = (B₁, B₂, B₃)，它们的点乘结果为：A·B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃7. 空间向量的叉乘空间向量的叉乘是指利用左手法则，得到与两个向量都垂直的新向量。

例如，对于空间向量A = (A₁, A₂, A₃)和B = (B₁, B₂, B₃)，它们的叉乘结果为：A ×B = (A₂B₃ - A₃B₂, A₃B₁ - A₁B₃, A₁B₂ - A₂B₁)通过以上对空间向量的基本概念和运算法则的介绍，我们可以看出空间向量在三维空间中的重要性和广泛应用性。

第44讲空间向量的概念和空间位置关系一、课程标准1、空间向量的线性运算2、共线、共面向量定理的应用3、空间向量数量积的应用4、利用空间向量证明平行或垂直二、基础知识回顾1．空间向量及其有关概念2．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)空间向量的坐标运算：三、自主热身、归纳总结1、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )A. 共线B. 共面C. 不共面D. 无法确定 【答案】 C【解析】 AB →＝(2，0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使AB →＝λAC →成立知，A ，B ，C 不共线，故A ，B ，C ，D 不共线；假设A ，B ，C ，D 共面，则可设AD →＝xAB →＋yAC →(x ，y 为实数)，即⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －2y ，－3＝－3y ，－4＝－4x －5y ，由于该方程组无解，故A ，B ，C ，D 不共面，故选C.2、已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( )A. 32B. －2C. 0D. 32或－2 【答案】B【解析】 当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2. 故选B. 3、在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A . 垂直B . 平行C . 异面D . 相交但不垂直 【答案】B【解析】 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD. 故选B .4、如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则向量C 1M ―→可用a ，b ，c 表示为________．【答案】－12a －12b －c【解析】C 1M ―→＝C 1C ―→＋CM ―→＝－AA 1―→－12AC ―→＝－AA 1―→－12(AB ―→＋AD ―→)＝－12AB ―→－12AD ―→－AA 1―→＝－12a －12b －c .5、如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________． 【答案】垂直【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1，1,0)，N (2，1,2)，所以AM ―→＝(－2,0,1)，ON ―→＝(1,0,2)，AM ―→·ON ―→＝－2＋0＋2＝0，所以AM ⊥ON .6、O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋t OC ―→，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 【答案】18【解析】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以34＋18＋t ＝1，所以t ＝18.四、例题选讲考点一 空间向量的线性运算例1 (1) 向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是________．(填序号)①a ∥b ，a ∥c; ②a ∥b ，a ⊥c ； ③a ∥c ，a ⊥b .(2) 已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P 的坐标是(x ，0，y)，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是____________． 【答案】（1） ③ （2） (－1，0，2)【解析】（1） 因为c ＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .（2） PA →＝(－x ，1，－y)，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)．因为PA ⊥平面ABC ，所以PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，即PA →·AB →＝x ＋y －1＝0，PA →·AC →＝－2x －y ＝0，所以x ＝－1，y ＝2，故点P 的坐标是(－1，0，2)．变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c （2）已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE ―→＝AA 1―→＋x AB ―→＋y AD ―→，则x ，y 的值分别为( )A ．1,1B ．1，12C.12，121 D.12，1 【答案】（1）A （2）C【解析】（1） BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .（2）AE ―→＝AA 1―→＋A 1E ―→＝AA 1―→＋12A 1C 1―→＝AA 1―→＋12()AB ―→＋AD ―→，故x ＝12，y ＝12.变式2、 在三棱锥OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.【解析】 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.变式3、如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点．试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP ―→； (2)A 1N ―→； (3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＋c ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→＝12AD ―→＋AA 1―→＝a ＋12c ，∴MP ―→＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 考点二 共线、共面向量定理的应用例2 如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC → (0≤k≤1). 判断向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面．【解析】 ∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k(C 1A →＋BC →)＋AB →＝k(C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k(AA 1→＋AB →)＝(1－k) AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．变式1、如图所示，已知斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→(0≤k ≤1)．判断向量MN ―→是否与向量AB ―→，AA 1―→共面．【解析】∵AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→，∴MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→＝k C 1A ―→＋AB ―→＋k BC ―→＝k (C 1A ―→＋BC ―→)＋AB ―→＝k (C 1A ―→＋B 1C 1―→)＋AB ―→＝k B 1A ―→＋AB ―→＝AB ―→－k AB 1―→＝AB ―→－k (AA 1―→＋AB ―→)＝(1－k )AB ―→－k AA 1―→，∴由共面向量定理知向量MN ―→与向量AB ―→，AA 1―→共面．变式2、（1）已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D.2,2（2）．若A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，则m ＋n ＝________. 【答案】（1） A （2）－3【解析】（1） ∵a ∥b ，∴b ＝k a (k ∈R )， 即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12，故选A.（2）∵AB ―→＝(3，－1,1)，AC ―→＝(m ＋1，n －2，－2)， 且A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使得AC ―→＝λAB ―→.即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.∴m ＋n ＝－3.方法总结：证明空间三点P ，A ，B 共线的方法有：①PA →＝λPB →(λ∈R)；②对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB → (x ＋y ＝1). 证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法有：①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB → (x ＋y ＋z ＝1)；③PM →∥AB → (或P A →∥MB →或PB →∥AM →). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．考点三 空间向量数量积的应用例3、如图，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .【解析】(1)设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1. ∵AC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1―→|＝|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝12＋12＋22＋20－1－1＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC 1―→，A 1D ―→〉|＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|.∵AC 1―→＝a ＋b ＋c ，A 1D ―→＝b －c ， ∴AC 1―→·A 1D ―→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2，|A 1D ―→|＝b －c2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2＝12－2×－1＋22＝7.∴cos θ＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1―→＝c ，BD ―→＝b －a ，∴AA 1―→·BD ―→＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0，∴AA 1―→⊥BD ―→，即AA 1⊥BD .变式1、已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．【解析】 (1)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)(方法1)∵k a ＋b ＝(k －1，k ，2). k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.(方法2)由(1)知|a|＝2，|b|＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b)·(k a －2b)＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. ∴当k a ＋b 与k a －2b互相垂直时，实数k 的值为2或－52.变式2、如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求：(1)AC 1―→的长；(2)BD 1―→与AC ―→夹角的余弦值．【解析】(1)记AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1―→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1―→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1―→＝b ＋c －a ，AC ―→＝a ＋b ， ∴|BD 1―→|＝2，|AC ―→|＝3， BD 1―→·AC ―→＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1―→，AC ―→〉＝BD 1―→·AC ―→|BD 1―→||AC ―→|＝66.即BD 1―→与AC ―→夹角的余弦值为66.方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉. (2)坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. 可以通过|a|＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想考点四 利用空间向量证明平行或垂直例4 如图所示的长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．求证：(1) BM ∥平面D 1AC ； (2) D 1O ⊥平面AB 1C.【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)，D 1(0，0，2)，所以OD 1→＝(－1，－1，2)． 又点B(2，2，0)，M(1，1，2)，所以BM →＝(－1，－1，2)， 所以OD 1→＝BM →.又因为OD 1与BM 不共线， 所以OD 1∥BM.又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， 所以BM ∥平面D 1AC.(2) 连结OB 1，点B 1(2，2，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)． 因为OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1，1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2，2，0)＝0， 所以OD 1→⊥OB 1→，OD 1→⊥AC →， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC.又OB 1∩AC ＝O ，OB 1，AC ⊂平面AB 1C ， 所以D 1O ⊥平面AB 1C.变式1、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证： (1) EF ∥平面PAD ； (2) 平面PAB ⊥平面PDC.【证明】 (1) 如图，取AD 的中点O ，连结OP ，OF. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD. 又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB.又四边形ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD.因为PA ＝PD ＝22AD ， 所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面PAD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0. 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0， 所以EF ∥平面PAD.(2) 因为PA →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a ，0)， 所以PA →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a ，0)＝0， 所以PA →⊥CD →，所以PA ⊥CD.又PA ⊥PD ，PD∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PDC.又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC.变式2、如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点． 求证：(1)EF ∥平面P AD ；(2)平面P AB ⊥平面PDC .【证明】(1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD .因为P A ＝PD ＝22AD ，所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF ―→＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF ―→·EF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD ―→＝(0，－a,0)， 所以P A ―→·CD ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A ―→⊥CD ―→，所以P A ⊥CD .又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥平面PDC .又P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PDC .方法总结：(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．五、优化提升与真题演练1、已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．2、(多选)已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )A ．AP ⊥ABB ．AP ⊥ADC.AP ―→是平面ABCD 的一个法向量D.AP ―→∥BD ―→【答案】ABC【解析】对于A ，AB ―→·AP ―→＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴AP ―→⊥AB ―→，即AP ⊥AB ，A 正确；对于B ，AP ―→·AD ―→＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ―→⊥AD ―→，即AP ⊥AD ，B 正确；对于C ，由AP ―→⊥AB ―→，且AP ―→⊥AD ―→，得出AP ―→是平面ABCD 的一个法向量，C 正确；对于D ，由AP ―→是平面ABCD 的法向量，得出AP ―→⊥BD ―→，则D 错误．故选A 、B 、C.3、(多选)已知ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是( )A ．(A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→)2＝3(A 1B 1―→)2B.A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0C ．向量AD 1―→与向量A 1B ―→的夹角是60°D ．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|【答案】AB【解析】由向量的加法得到：A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→＝A 1C ―→，∵A 1C 2＝3A 1B 21，∴(A 1C ―→)2＝3(A 1B 1―→)2，所以A 正确；∵A 1B 1―→－A 1A ―→＝AB 1―→，AB 1⊥A 1C ，∴A 1C ―→·AB 1―→＝0，故B 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的角为60°，但是向量AD 1―→与向量A 1B ―→的夹角是120°，故C 不正确；∵AB ⊥AA 1，∴AB ―→·AA 1―→＝0，故|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|＝0，因此D 不正确．故选A 、B.4、如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M.【解析】 (1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.第3题图(2)由题意得A 1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)，∴BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. (3)由题意得C 1(0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1，1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， ∴A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M. 5、【2020年北京卷】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅰ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【解析】Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A BC D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =， 11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ； （Ⅰ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩， 令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 11142cos,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.。

高中几何知识解析空间向量的基本运算空间向量是研究空间几何的重要工具，它在解决空间几何问题时具有不可替代的作用。

本文将对空间向量的基本运算进行解析，包括向量的相加、相减、数量乘法、点积和叉积。

1. 向量的相加向量的相加是指将两个向量按照一定的规律相加，得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，在空间中的表示分别为：A = (x1, y1, z1)B = (x2, y2, z2)则A和B的向量相加可以表示为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)2. 向量的相减向量的相减是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，在空间中的表示分别为：A = (x1, y1, z1)B = (x2, y2, z2)则A和B的向量相减可以表示为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

设有一个向量A，在空间中的表示为：A = (x, y, z)若k为实数，则A与k的数量乘法可以表示为：kA = (kx, ky, kz)4. 点积点积是指将两个向量相乘，得到一个实数。

设有两个向量A和B，在空间中的表示分别为：A = (x1, y1, z1)B = (x2, y2, z2)则A和B的点积可以表示为：A ·B = x1x2 + y1y2 + z1z25. 叉积叉积是指将两个向量进行叉乘，得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，在空间中的表示分别为：A = (x1, y1, z1)B = (x2, y2, z2)则A和B的叉积可以表示为：A ×B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)通过对以上空间向量的基本运算的解析，我们可以利用这些运算方法解决高中几何中的许多问题。

例如，在解决空间中点与线段之间的关系、求解平面与直线的相交问题时，空间向量的基本运算都将发挥重要的作用。

归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对解析：选C∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析：选C若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②若MB＝x MA＋y MB，则M、P、A、B共面；③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选D可判断①②③正确．4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：如图，OE＝12OA＋12OD＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2＝3，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .[自主解答] 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG . 解：如图，MG ＝1MA ＋1A G＝－12(11A B ＋11A D )＋13(1A D ＋1A B )＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA ＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ，则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA ＝λPB 且同过点P MP ＝x MA ＋y MB对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1－x－y)OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明：(1)连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH＝AH－AE＝1 2AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则下列向量中与BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM ＝1BB ＋1B M ＝1AA ＋12(AD －AB )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ·BC ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA ，BC 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60°，且|AB |＝1，|AD |＝2，|1AA |＝3，则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1AC ＝a ＋b ＋c ， 1AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC |＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ ＝λMN 的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM ＝2OA －OB －OC ；②OM ＝15OA ＋13OB ＋12OC ；③MA ＋MB ＋MC ＝0；④OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0.解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB ―→·1B E ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP ，AE 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP ＝(0,0，a )，AE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP ，AE 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·CD ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB ＝(1,0,0)，AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD ＝33n . ∵PD ∥n ，∴PD ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD∥平面ABE；(2)求证：AC⊥BE.证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.∵F为AC的中点，M为BC的中点，∴MF∥AB.又∵BM綊DE，∴四边形BMDE为平行四边形，∴MD∥BE.∵MF∩MD＝M，AB∩BE＝B，∴平面DFM∥平面ABE.又∵PD⊂平面DFM，FD⊄平面ABE，∴FD∥平面ABE.(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.BE·AC＝(BA＋AE)·(AB＋BC)＝－AB2＋AE·BC＝－36＋36＝0.∴AC⊥BE.∴在图3中，AG⊥BE，CG⊥BE.又∵AG∩GC＝G，∴BE⊥平面AGC.又∵AC⊂平面AGC，∴AC⊥BE.12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD ＝(－1，－3，0)，PC ＝(－3，3，－a )，∵BD ·PC ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB ＝(0，3，0)，DP ＝(0,0，a )，PA ＝(1,0，－a )，PC ＝(－3，3，－a )，∵PE ＝λPC ，∴PE ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE ＝DP ＋PE ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ AB ·n ＝0，PA ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)，∵DE ∥平面P AB ，∴DE ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14.1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD |2＝|CA ＋AB ＋BD |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD ＝CD －CB ＝a －b ，1CC ·BD ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C ⊥BD ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA ＝a ＋b ＋c ，1C D ＝a －c .∴1CA ·1C D ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB ＝(2,0，－2)，FE ＝(0，－1,0)，FG ＝(1,1，－1)，设PB ＝s FE ＋t FG ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB ＝2FE ＋2FG ，又∵FE 与FG 不共线，∴PB 、FE 与FG 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。

1 / 10空间向量及其运算（讲义）➢ 知识点睛一、空间向量的定义及定理1. 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．2. 空间向量的有关定理及推论 （1）共线向量定理对空间任意两个向量a ，b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是：存在实数λ，使__________．扩充：对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线：①PA PB λ−−→−−→=；②对空间任一点O ，OP OA t AB −−→−−→−−→=+；③对空间任一点O ，1OP x OA y OB x y −−→−−→−−→=++=（）． （2）共面向量定理如果两个向量a ，b __________，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是：存在________的有序实数对(x ，y )，使____________．扩充：对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面：①MP x MA y MB −−→−−→−−→=+；②对空间任一点O ，OP OM x MA y MB −−→−−→−−→−−→=++；③对空间任一点O ，1OP xOM y OA z OB x y z −−→−−→−−→−−→=++++=（④PM −−→∥AB −−→（或PA −−→∥MB −−→或PB −−→∥AM −−→）． （3）空间向量基本定理l如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得___________________________．其中，__________叫做空间的一个基底．二、空间向量的线性运算类比平面向量三、空间向量的坐标运算a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)（a，b均为非零向量）：a+b=____________________，a-b=_____________________，λa=_____________________；a b⋅=__________________，a=____________________；cos<a，b>=__________________=__________________；a∥b⇔__________⇔__________________；a⊥b⇔__________⇔__________________．四、空间位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任AB为直线l的方向向量．意两点，则称−−→AB平行的任意__________也是直线的方向向量．与−−→（2）平面的法向量①定义：与平面__________的向量，称作平面的法向量．②确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为_______________．2/ 103 / 102. 空间位置关系的向量表示➢ 精讲精练1. 如图，在空间四边形ABCD 中，若G 是CD 的中点，则1()2AB BD BC −−→−−→−−→++=（ ）A ．BC −−→B ．CG −−→C ．AG −−→D ．12BC −−→4 / 10GDBAE OABCD第1题图 第2题图2. 如图，在四面体OABC 中，设OA −−→=a ，OB −−→=b ，OC −−→=c ，若D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则−−→OE =___________．（用a ，b ，c 表示）3. 已知向量a ，b ，若2AB −−→=+a b ，56BC −−→=-+a b ，72CD −−→=-a b ，则一定共线的三点是（ ）A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D4. 下列条件：①OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→=+-； ②111532OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→=++；③MA MB MC −−→−−→−−→++=0；④OM OA OB OC −−→−−→−−→−−→+++=0．能推出M ，A ，B ，C 四点共面的是__________．（填写序号）5 / 105. 已知{a ，b ，c }是空间向量的一个单位正交基底，{a +b ，a -b ，c }是空间的另一个基底，若向量p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为31(3)22-，，，则p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为 _________________．6. 已知a =(x ，4，1)，b =(-2，y ，-1)，c =(3，-2，z )，且a ∥b ，b ⊥c ． （1）x =_______，y =_________，z =_________； （2）a +c 与b +c 所成角的余弦值为______________．7. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为1，若E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF −−→⋅DC −−→=（ ）A ．14B ．14-CD．DCBA FE第7题图 第8题图8. 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，若E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则−−→AE ⋅AF −−→=（ ）A ．2aB ．212aC ．214aD 26 / 109. 若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，则下列结论正确的是（ ）A ．若l ⊥α，则a ⊥nB ．若l ∥α，则a ∥nC ．若a ∥n ，则l ⊥αD ．若a ⋅n =0，则l ⊥α10. 已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)三点，n =(1，1，1)， 则以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 的关系是（ ） A ．垂直 B ．不垂直 C ．平行D ．以上都有可能11. 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则下列能使l ∥α的是（ ）A ．a =(1，0，0)，n =(-2，0，0)B ．a =(1，3，5)，n =(1，0，1)C ．a =(0，2，1)，n =(-1，0，-1)D ．a =(1，-1，3)，n =(0，3，1)12. 已知平面α，β的法向量分别为a =(1，1，2)，b =(x ，-2，3)，若α⊥β，则x 的值为（ ）A ．-2B ．-4C ．3D ．413. 已知AB −−→=(2，2，1)，AC −−→=(4，5，3)，则平面ABC 的单位法向量是7 / 10________________．14. 如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱111ABC A B C -的顶点C 与原点O 重合，顶点A ，1C ，B 分别在x 轴、y 轴、z 轴上，若AC =12CC BC =，则直线1BC 与直线1AB 的夹角的余弦值为（ ）A．5B．3C．5D ．3515. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，B 1D 1的中点，求证：EF ⊥A 1D ．B 1D 1C 1A 1D CBAE F8 / 1016. 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1的中点． （1）求证：AG ∥平面BEF ；（2）在棱BB 1上找一点M ，使DM ⊥平面BEF ，并证明你的结论．GFEABC DA 1C 1D 1B 19 / 10【参考答案】➢ 知识点睛一、空间向量的定义及定理2. （1）a=λb（2）不共线，唯一，p =x a +y b （3）p =x a +y b +z c ，{a ，b ，c } 三、空间向量的坐标运算(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)，(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)，(λa 1，λa 2，λa 3)a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a b a b ⋅b =λa ，3121231230b b b a a a a a a λ===≠（，，）0a b ⋅=，a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0四、空间位置关系1. （1）非零向量（2）垂直，00n a n b ⋅⋅=⎧⎨=⎩2.2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，），1212120x x y y z z ++= 1212120x x y y z z ++=，2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，）2221111110x y z x y z x y z ==≠（，，），1212120x x y y z z ++= ➢ 精讲精练 1. C10 / 102.111244a b c ++ 3. A 4. ①③ 5. (1，2，3)6. （1）2，4-，2；（2）219- 7. B 8. C 9. C 10. A 11. D 12. B13. (13，23-，23)或(13-，23，23-)14. A 15. 证明略16. （1）证明略；（2）M 为BB 1的中点，证明略。

第2讲空间向量基本定理新课标要求了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解。

知识梳理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．名师导学【例1-1】有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.【分析】本题考查空间向量的基本定理，以及共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．根据空间向量的基本定理即可判断的正误，找出反例判断命题错误，即可得到正确选项．【解答】解：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．【变式训练1-1】已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题型，能构成空间的另一个基底的条件是不共面，由此逐项判断即可； 【解答】解：因为，所以，，共面．又因为，所以，，共面．不存在，，使得，所以，，不共面，故可作为空间的一个基底．故选C.【例2-1】（龙华区校级期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别在面对角线AC ，1A C 上且2CM MA =，12A N ND =．记向量1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示MN ．【分析】利用空间向量基本定理，即可得出结论． 【解答】解：11MN MA AA A N =++11111123312()()3311123333111333111.333AC AA A DAB AD AA A A AD ABAD AA ADa b cMN a b c =-++=-++++=--++=-++∴=-++【例2-2】如图所示，在平行六面体中，，，，，．求的长；求与的夹角的余弦值．【解析】解，．． 设与的夹角为，设，，，依题意得，．【变式训练2-1】如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP→＝c ，E ，F 分别为PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.【解】 BF→＝12BP →＝12(OP →－OB →)＝12[OP →－(OA →＋OC →)]＝12c －12a －12b .BE→＝BC →＋CE →＝－OA →＋12CP →＝－a ＋12(OP →－OC →)＝－a ＋c 2－b 2.AE →＝AO →＋OE →＝－a ＋12(OP →＋OC →)＝－a ＋12c ＋12b .又∵E ，F 分别为PB ，PC 的中点，∴EF→＝12CB →＝12OA →＝12a .【变式训练2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．求求EG 的长． 【答案】解：设，，，则，，，，，，，；，，，即EG 的长为．名师导练A组-[应知应会]1.若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是A. B. C. D.【分析】本题考查空间向量的共面定理的应用问题，属于基础题．根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，与不能与、构成空间的一个基底，又与和不共面，可与、构成空间的一个基底．故选C．2.（东城区期末）在四面体ABCD中，点F在AD上，且2AF FD=，E为BC中点，则EF等于()A．112223EF AC AB AD=+-B．112223EF AC AB AD=--+C．112223EF AC AB AD=-+D．112223EF AC AB AD=-+-【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答】解：在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点， 所以211112()322223EF AF AE AD AB AC AC AB AD =-=-+=--+． 故选：B ．3．（菏泽期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．2【分析】推导出111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，由此能求出x y +的值．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心， 111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，1AE AA xAB y AD =++，11122x y ∴+=+=． 故选：B ．4．（济宁期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则(CM = )A ．1122a b c ++B ．1122a b c -+C ．1122a b c -++D ．1122a b c --+【分析】利用向量加法的三角形法则以及平行六面体的性质即可求解． 【解答】解：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点；∴CM CB BM =+111()2CB BA BC =++111122AD BA BC =-++1111()()22AD BA AA BC CC =-++++1111112222AD AB AA AD AA =--+++ 1122a b c =--+；故选：D ．5．（阳泉期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG 等于( )A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++【分析】在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，可得1()2OG OA OD =+，1()2OD OB OC =+．即可得出．【解答】解：在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点， 则1()2OG OA OD =+，1()2OD OB OC =+．∴111244OG OA OB OC =++． 故选：C ．6．（烟台期末）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力，属于较难题．先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．【解答】解：如图，设，，，棱长均为1，则，，，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．7．（多选）（南通期末）设a ，b ，c 是空间一个基底( ) A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++D ．则a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底 【分析】利用a ，b ，c 是空间一个基底的性质直接求解． 【解答】解：由a ，b ，c 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 相交或平行，故A 错误； 在B 中，a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++，故C 正确； 在D 中，a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底，故D 正确． 故选：BCD ．8．（邯郸期末）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA y AB z AD =++，则x y z ++= ．【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件即可求解； 【解答】解：连接AE （图略）， 由题意可得1122AE AB AD =+， 则1111122A E AE AA AB AD AA =-=+-． 因为11A E xAA y AB z AD =++， 所以1x =-，12y z ==，所以0++=．x y z故答案为：09.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．【分析】本题考查空间向量的运算及模的求法，属于中档题．【解答】解：设则，，，，则对角线的长为．故答案为．10.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______ 填“能”或“不能”．【解析】解：为空间的一个基底，且，，，设向量，，共面，则存在实数m，n，使，，解得，；因此不能作为空间的一个基底．故答案为：不能．11．（兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，,,a b c 为空间向量的一组基底，计算： （1）EF BA ； （2）||EG ．【分析】（1）利用数量积公式先求c a 的值，再根据11()()22EF BA c a a =--求得结果；（2）由111222EG EB BC CG a b c =++=-++，先平方，再开平方．【解答】解：（1）由题意，AB a =，AC b =，AD c =， 则||||||1a b c ====，a <，b b >=<，c c >=<，60a >=︒，∴111()()224EF BA c a a =--=； （2）111222EG EB BC CG a b c =++=-++，∴222211111114442222EG a b c a b a c b c =++--+=， 2||2EG ∴=，即||EG =． 12．（三门县校级期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，设AB a =，AD b =，1AA c =．（1）用a ，b ，c 表示AC ； （2）求AC 的长．【分析】（1）由空间向量加法法则得111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，由此能求出结果． （2）221()AC a b c =++，由此能求出1AC 的长．【解答】解：（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，∴111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++．（2）5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++．∴221()AC a b c =++222222a b c a b a c b c =+++++259160254cos60234cos60=++++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 82=．1AC ∴的长1||82AC =．13.如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且．试用向量，，表示向量；若，，，，，求异面直线OG与AB 所成角的余弦值．【分析】本题考查平面向量数量积的运算、向量的加法、减法、数乘运算、向量的模及平面向量基本定理的应用，属于基础题．由，得出，即，即可求出结果；利用，和数量积的定义，代入求出，再求出，代入夹角公式，即可求出结果．【解答】解：，，，又，；由知又，，，，，，，，，即，，，．B组-[素养提升]1.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，如图所示，则当的值为多少时，平面并给予证明．【分析】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量的基本定理及应用，考查向量垂直的判断与证明，考查分析与计算能力，属于中档题．要使平面，可证明且，欲证，则可证明，即，计算求证即可求解．【答案】证明：当时，平面．证明如下：要使平面，可证明且．欲证，则可证明，即，即．由于，显然当时，上式成立．同理可得，当时，．因此，当时，平面．。

专题一 空间向量及其运算一 知识结构图二.学法指导1．解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 3．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 4.证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． 5.解决向量共面的策略（1）若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →x ＋y ＋z ＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.（2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 6.在几何体中求空间向量的数量积的步骤（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. （4）代入公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解. 7.用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 8．利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小． 9．求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a ·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．三.知识点贯通知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类常见的空间向量例题1.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________． 【答案】②③④【解析】对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确． 知识点二 空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .例题2：已知正四棱锥P ­ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．【答案】①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →； ②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.【解析】①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A→，∴y ＝z ＝－12.②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ∴P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ∴P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2. 知识点三 共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .例题3 .设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 【答案】1【解析】AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2.设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.知识点四 向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.例题4．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断M 是否在平面ABC 内． 【解析】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内． 知识点五 空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.(3)数量积的运算律例题5.如图，三棱锥A ­BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB ·CD 等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．23 【答案】A【解析】∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2. 知识点六 利用数量积证明空间垂直关系 当a ⊥b 时，a ·b ＝0。