函数的单调性
教学背景：
1．面向学生：高中
2．学科：数学
教材分析:
《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
学情、教法分析：
按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。
教学目标：
1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性； 2．通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；
3.2.1 单调性与最大(小)值
最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
第1课时 函数的单调性
知识点一 定义域为I的函数f(x)的单调性
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1
(3)属于同一个单调区间．
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
[教材解难]
1．教材P77思考 f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；
f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．
2．教材P77思考
(1)不能 例如反比例函数f(x)＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．
(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．
[基础自测]
1．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－1x在定义域上是增函数；
④y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．
答案：A
2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m>12 B．m<12
高二数学函数的单调性
课 题
函数的单调性课 型新授时 间09/ 10 /
学习目标
1.了解函数的单调性与导数的关系；
2.能利用导数研究函数的单调性；
3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间
学习重点
利用导数研究函数的单调性
一、自主学习
1.（1）作出函数的图像，并指出其单调区间：
（2）作出函数的图像，并指出其单调区间：
2.作出函数f(x)=的图像，并用函数的单调性定义证明其在(0，+∞)上递减.
3. 函数的单调性是对函数变化的一种刻画，而导数也反映了函数变化的趋势，这两者之间有什么联系？
如果函数在区间上是增函数，那么对任意，当
时，则，即与同号。
而从函数的变化率来看，有，即导数.
你能解释函数在区间上是增函数与的关系吗？
结论：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数， 如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
请利用导数这一工具解决上面3个习题。
请总结利用导数求函数单调区间的基本步骤：
请总结利用导数证明函数单调性的基本步骤：
自学检测：见课本（文P76，理P29）练习
第1题：（1）；
（2）；
第2题：（1）；
（2）；
（3）；第3题（1）证明：
（2）证明：
二、问题探究
问题1：如何从导数的几何意义（切线的斜率）角度理解函数的单调性？
见《赢在课堂》自我检测部分第5题：；
问题2：若函数在某个区间上单调，那么在该区间上一定有或吗？1.求下列函数的单调区间：
（1）；（2）
2.已知函数在实数集R上单调递减，求实数的取值范围。（若在实数集R上单调呢？）小结：三、合作交流
例1.求下列函数的单调区间：
（1）函数的单调增区间是；
（2）函数的单调减区间是；
（3）函数的单调减区间是；
变式：若函数是区间上的减函数，则实数的取值范围是。
例2.（1）证明函数在上是增函数；
2-2 函数的基本性质 page 1 of 6
（一）知识内容
1.函数单调性的定义：
①如果函数fx对区间D内的任意12,xx，当12xx时都有12fxfx，则称fx在D内是增函数；当12xx时都有12fxfx，则fx在D内时减函数．
②设函数()yfx在某区间D内可导，若0fx，则()yfx为xD的增函数；若0fx，则()yfx为xD的减函数．
2.单调性的定义①的等价形式：
设12,,xxab，那么12120fxfxfxxx在,ab是增函数；
12120fxfxfxxx在,ab是减函数；
12120xxfxfx()fx在,ab是减函数．
3.复合函数单调性的判断：“同增异减”
4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．
即若()fx在区间D上递增（递减）且1212()()fxfxxx（1x2,xD）；
若()fx在区间D上递递减且1212()()fxfxxx．（1x2,xD）．
①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等
（二）主要方法
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2．判断函数的单调性的方法有：
⑴用定义；
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且12xx
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差12()()fxfx（或21()()fxfx）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
