（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质教师用书
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥αb⊥α⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：[0，π2]．
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 l⊥αl⊂β⇒α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 错误!⇒l⊥α
【知识拓展】
重要结论：
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
【思考辨析】
2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质 理
1 2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质 理
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2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质 理
2 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质 理
1．直线与平面垂直
（1）定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 错误!⇒l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 错误!⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1）定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：[0，错误!］．
3．平面与平面垂直
(1）二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
1 课时作业40 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，mα且m⊥γ，那么必有( )．
A．α⊥γ且l⊥m B．α∥β且α⊥γ
C．α⊥γ且m∥β D．m∥β且l∥m
2．(2012杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )．
A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，aα，bβ
C．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α
3．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )．
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④
4．如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )．
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC
5．下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等．”
其中正确命题的序号是( )．
A．① B．② C．②③ D．③
6．(2012上海模拟)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不．正确的是( )．
A．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若α∩β＝m，且n与α，β所成的角相等，则m⊥n
- 1 - §8.5 直线、平面垂直的判定与性质
考纲展示►
1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．
考点1 直线与平面垂直的判定与性质
直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
答案：(1)任意一条
(2)两条相交直线 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a
l⊥b 平行 a⊥α b⊥α
(1)[教材习题改编]下列命题中不正确的是( )
A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β - 2 - B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
答案：A
(2)[教材习题改编] 如图，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．
答案：4
[典题1] (1)[2019·上海六校联考]已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β且m⊂α B．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β
[答案] C
[解析] 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．
(2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
①CD⊥AE；
②PD⊥平面ABE.
[证明] ①在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， - 3 - ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
