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P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y)
(1.3)
成立。 对一切(X , Y)成立。若 F(x, y)为(X , Y)的联合分布函 的分布函数， 数， (x) 和H(y)分别为 X 和 Y 的分布函数，则 X 与 Y独立 G ( (x, y) Gg )Hh( y 1.4） 当且仅当 Ff x, y) = = (x(x)( y) ) （1.4） 若 (X , Y)有密度 f (x, y)，用g(x) 和h(y) 分别表示 X 和 Y 的分布密度， 的分布密度，则 X 和 Y 独立当且仅当 (1.5) 注意:在上述定义中， 和 Y 的维数一般是不同的。 注意:在上述定义中， 的维数一般是不同的。 X
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§1.1.4 随机向量的数字特征
（3）设X为n ） 为 维随机向量，期望和协方差存在记 维随机向量，
µ = E(X), Σ = D(X) , A为 ×n常 阵 则 n 数 ，
E(X A ) =tr(AΣ) +µ' Aµ ' X
来说， 对于任何随机向量 X = (X1, X2,⋯ X p )' 来说， , 其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（ 其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（也称 半正定） 大多数情形下是正定的。 半正定）的。大多数情形下是正定的。
d(0, p) = (x + x )
2 1
2 1/ 2 2
(1.14)
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§1.2 统计距离和马氏距离
但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不 能令人满意的。这里因为，每个坐标对欧氏距 离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时， 它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情 况下，合理的办法是对坐标加权，使得变化较 大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这 就产生了各种距离。 欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量 为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指 标的单位有关。
第一章
多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元 概率分布。除此之外， 概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 2 χ 、多元 β 分布、 分布、 多元 分布 分布、多元指数 分布等。 分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始， 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。 的定义及一些重要性质。
cov( X,Y) = (cov( Xi ,Yj )), i =1 ⋯ n; j =1 ⋯ p , , , ,
若cov( X,Y) = 0 称 和 是 相 的 ， X Y 不 关 。
(1.10)
当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质： 为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：
D(AX) = AD(X)A' = AΣA' cov( AX, B ) = Acov( X,Y)B' Y
j =1 2,⋯p ,
表示对 j 第个变量 x j 的n次观测数值。下面为表1-1 次观测数值。下面为表1
变量 序号 1 2
x np
…
x11 x21
⋮
x12 x22
⋮
… … …
x1p x2 p
⋮
⋮
n
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xn1
xn2
xnp
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§1.1.1 随机向量
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为: 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
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§1.2 统计距离和马氏距离
欧氏距离 马氏距离
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§1.2 统计距离和马氏距离
欧氏距离
在多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的不 少特征都可用距离去描述。大部分多元方法是建立在简单 的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离,或称 直线距离.如几何平面上的点p=(x1,x2)到原点O=(0,0) O=(0,0)的 O=(0,0) 欧氏距离,依勾股定理有
称它为 p 维随机向量 X 的协方差阵，简称为 X 的协 方差阵。称 cov( X, X)为 X 的广义方差，它是协差阵的行 列式之值。
2011-11-27 13
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§1.1.4 随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
设 X = (X1, X2 ,⋯, Xn )' 和Y = (Y1,Y2 ,⋯,Yp )' 分别为 n 维和 p 维随机向量， 维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 n× p矩 ， 阵，其元素是 cov( Xi ,Yj ) 即
定义1.1 个随机变量， 定义1.1 设 x1 , x 2 , ⋯ , x p为p个随机变量，由它们组成 个随机变量 称为随机向量。 的向量 ( x1 , x 2 , ⋯ , x p ) ′ 称为随机向量。
2011-11-27 8
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§1.1.2 分布函数与密度函数
描述随机变量的最基本工具是分布函数， 描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。 随机向量的最基本工具还是分布函数。 定义1.2 是以随机向量， 定义1.2 设 X = (x1 , x 2 ,⋯ , x p )′ 是以随机向量，它的多元分布 函数是
X∗ = j X j − E(X j ) (var X j )
1/2
j =1 ⋯ p , ,
(1.12)
∗ ∗ ∗ X = (X1 , X2 ,⋯ X∗ ) , p
于 是
∗ E(X ) = 0 ∗ D(X ) = corr(X = R )
即 准 数 的 差 正 是 指 的 关 . 标 化 据 协 阵 好 原 标 相 阵 1 ∗ ∗ R= X /X (1.13) n −1
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§1.1.4 随机向量的数字特征
4、随机向量X 的相关阵 若随机向量 X = (X1, X2,⋯, X p )' 的协差阵存在,且每 个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:
R = (corr(Xi , X j )) = (r )P×P ij r = ij CO (Xi , X j ) V D(X i) D(X j ) ,i, j =1 2,⋯ p , , (1.11)
多元统计分析
何晓群
中国人民大学出版社
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第一章 多元正态分布
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 多元分布的基本概念 统计距离和马氏距离 多元正态分布 均值向量和协方差阵的估计 常用分布及抽样分布
2011-11-27
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第一章
多元正态分布
• 一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是： • 许多随机向量确实遵从正态分布，或近 似遵从正态分布； • 对于多元正态分布，已有一整套统计推 断方法，并且得到了许多完整的结果。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
, 定义1.3：设 X ~ F(X) = F(x1, x2 ,⋯ xp ) ,若存在一个 非负的函数 f (⋅) ,使得
F(x) = ∫ ⋯∫
−∞ x1 xp −∞
f (t1,⋯ p )dt1⋯dt p , t
(1.2)
p 对一切 x∈R 成立，则称 X（或 F( X) ）有分布 成立， 密度 f (⋅) 并称 X 为连续型随机向量。 为连续型随机向量。
假定所讨论的是多个变量的总体， 假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数 个指标（即变量）， ），又进行了 据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n次 观测得到的， , 观测得到的，把这 p 个指标表示为 X1, X2 ,⋯ X p常 用向量
X = (X1, X2,⋯ X p )' ,
个变量。 表示对同一个体观测的 p 个变量。若观测了 n 个个体，则可得到如下表1 的数据， 个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个 个变量为一个样品， 体的 p个变量为一个样品，而全体 n个样品形成一 个样本。 个样本。
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§1.1.1 随机向量
横看表1 横看表1-1，记 X(α) = (xα1, xα2,⋯ xαp )' ， =1 2,⋯ , α , n 个样品的观测值。竖看表1 1,第 它表示第 α个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
Xj = (x1 j , x2 j ,⋯ xnj )' , ,
பைடு நூலகம்
一个p维变量的函数f( )能作为 R 中某个随机向量 一个p维变量的函数f(·) f( 的分布密度， 的分布密度，当且仅当
P
(i) f (x) ≥ 0 (ii)
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∀x∈Rp
∫
Rp
f (x)dx =1
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§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4： 称为是相互独立的， 定义 ：两个随机向量 X 和 Y称为是相互独立的，若
/ x(1) x11 x12 ⋯ x1p / x(2) x21 x22 ⋯ x2 p X= , = (x1, x2,⋯ xp ) = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x/ xn1 xn2 ⋯ xnp (n)
