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多元统计分析
中国人民大学出版社
2019/1/20 1
第一章 多元正态分布
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 多元分布的基本概念 统计距离和马氏距离 多元正态分布 均值向量和协方差阵的估计
§1.5
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常用分布及抽样分布
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第一章
多元正态分布
• 一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是： • 许多随机向量确实遵从正态分布，或近 似遵从正态分布； • 对于多元正态分布，已有一整套统计推 断方法，并且得到了许多完整的结果。
(1) E ( AX ) AE( X ) (2) E ( AXB) AE( X ) B
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第一章
多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元 概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 2 χ 多元 分布、多元 分布、多元指数 分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
X j ( x1 j , x2 j ,, xnj )' ,
表示对 j 第个变量 x j 的n次观测数值。下面为表1-1
变量
序号
1 2
…
x np
x11 x 21
x12 x22
… … …
x1 p x2 p
n
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x n1
xn 2
xnp
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§1.1.1
x11 x21 X xn1 x12 x22 xn 2
X ( X1 , X 2 ,, X p )'
表示对同一个体观测的 p 个变量。若观测了 n 个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个 体的 p 个变量为一个样品，而全体 n 个样品形成一 个样本。
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§1.1.1
随机向量
j 1,2, p
横看表1-1，记 X( ) ( x1, x 2 ,, xபைடு நூலகம் )' ， 1,2,n 它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
随机向量
/ x (1) x1 p / x2 p x(2) (x1 , x 2 , , x p ) x/ xnp (n)
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
一个p维变量的函数f(· )能作为 R 中某个随机向量 的分布密度，当且仅当
P
(i) (ii)
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f ( x) 0
x R p
Rp
f (x)dx 1
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§1.1.3
多元变量的独立性
(1.3)
定义1.4：两个随机向量 X 和 Y 称为是相互独立的，若
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§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 §1.1.2 §1.1.3 §1.1.4 随机向量 分布函数与密度函数 多元变量的独立性 随机向量的数字特征
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§1.1.1
随机向量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数 据是同时观测 p 个指标（即变量），又进行了 n 次 观测得到的，把这 p 个指标表示为 X 1 , X 2 ,, X p 常 用向量
X 和 Y 的维数一般是不同的。 注意:在上述定义中，
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§1.1.4
随机向量的数字特征
(i 1,2, p)
1、随机向量 X的均值
设 X ( X1, X 2 ,, X p )有P个分量。若 E ( X i ) i 存在，我们定义随机向量X的均值为:
F ( X ) F ( x1, x2 ,, x p ) P( X1 x1,, X p x p ) 式中：
1.1
x ( x1, x2 ,, xp ) RP，并记为X F。
多元分布函数的有关性质此处从略。
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§1.1.2
F (x)
E ( X 1 ) 1 E ( X ) 2 2 μ E ( X) E ( X P ) P
p
1 . 6
是一个p维向量，称为均值向量. 当 A 、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
P(X x, Y y) P(X x) P(Y y)
对一切( X , Y )成立。若 F ( x, y) 为( X , Y )的联合分布函 数， G( x) 和 H ( y) 分别为 X 和 Y 的分布函数，则 X 与 Y 独立 (x y G(g x( )x H (,x ,)y ) )( hy ()y) 当且仅当 Ff （1.4） 若 ( X , Y ) 有密度 f ( x, y )，用g ( x) 和 h( y) 分别表示 X 和 Y 的分布密度，则 X 和 Y 独立当且仅当 (1.5)
x1 xp
分布函数与密度函数
f (t1 ,t p )dt1 dtp , (1.2)
定义1.3：设 X ~ F ( X ) = F ( x1 , x2 ,, x p ) ,若存在一个 非负的函数 f ,使得
p 对一切 x R 成立，则称 X （或 F X ）有分布 密度 f 并称 X 为连续型随机向量。
定义1.1 设 x1 , x2 ,, x p为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1, x2 ,, x p ) 称为随机向量。
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§1.1.2
分布函数与密度函数
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。 定义1.2 设 X (x1 , x2 ,, x p ) 是以随机向量，它的多元分布 函数是
