第02章第五节 蛛网模型的数学推导
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第02章第五节 蛛网模型的数学推导
假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示： Q st =-a+bP t-1 （1）
Q dt =c-dP t （2）
Q s t=Q dt （3）
（1）式表示，第t 年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。
a 、b 、c 、d 为常数（参数），且都为正数。
将（1）式和（2）式代入（3）式可得：
c-dP t =-a+bP t-1 （4）
从（4）式中解出P t ：
P t =（-b d ）P t-1+a+c d （5）
在（5）式中假定t=1可得第1年价格为：
P 1=（-b d ）P 0+a+c d （6）
以此类推：
P 2=（-b d ）P 1+a+c d （7）
将（6）式代入（7）式中：
P 2=（-b d ）2P 0+（-b d ）a+c d +a+c d
重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格：
P n =（-b d ）n P 0+[∑（-b d ）k ]a+c d
=（-b d ）n P 0+a+c b+d [1-（-b d ）n ] （8）
又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t 年达到均衡，则
P t =P t+1=……=P E （9）
将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ：
P E =a+c b+d （10）
将（10）式代入（8）式并整理：
P n =（-b d ）n P 0+P E [1-（-b d ）n ]
=（P 0-P E ）（-b d ）n+P E （11）
从（11）式可得出下列结论：
（ⅰ）如果|-b d |<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近均衡
价格，蛛网周期是收敛的。
而|-b d |<1，说明d<b ，或供给曲线斜率大于需求曲线，
供给弹性较小而需求弹性较大。
（ⅱ）如果|-b d |>1，则：limP n =∞，市场价格将振荡至无穷大，蛛网周期是发散
的。
此时，d<b ，即供给曲线斜率小于需求曲线，供给弹性较大而需求弹性较小。
（ⅲ）如果|-b d |=1，则P 2n =P 0，P 2n+1=2P E -P 0，价格在这两个值之间来回振荡，蛛
网周期是循环的，此时d=b ，即供给曲线斜率与需求曲线斜率相等。
