高中数学必修5不等式教案复习课程

3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?生可以用不等式或不等式组来表示.师什么是不等式呢?生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.生可以表示为x≥0.（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生|AC|+|BC|＞|AB|(只需结合上述三角形草图).生 |AB |+|BC |＞|AC |、|AC |+|BC |＞|AB |、|AB |+|AC |＞|BC |.生 |AB |-|BC |＜|AC |、|AC |-|BC |＜|AB |、|AB |-|AC |＜|BC |.交换被减数与减数的位置也可以.生 如果用v 表示速度，则v≤40 km/h.生 f≥2.5%或p≥2.3%.(此时,一片安静,同学们在积极思考)生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f 生 也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.师 同学们看这两位同学的观点是否正确?生 (齐答)大家齐声说，都可以.师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达. 课堂练习教科书第83页练习1、2.(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）【问题1】 设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点. ［活动与探究］师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨) ［方法引导］师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |. 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形.师 请同学们继续来处理问题2. ［合作探究］【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本.师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元. 〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20〕 师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n ∈N *)， （下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师为什么可以这样设？生 我只考虑单价的增量.师 很好，请继续讲.生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题. ［合作探究］【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x,y ∈N.师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习. 课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y ∈N ） 课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业第84页习题3.1A 组4、 5.板书设计 不等关系与不等式（一）实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x 2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜. 3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究 开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教学难点1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.师很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答） ［过程引导］师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）.性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或cb c a ＜)；a ＞b 且c ＞0ac ＞bc (或c b c a ＞).性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜0ac ＜bc (或c b c a ＜). （用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数.师 很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据. （学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质. （此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师 若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b .a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ⇒a -b ＞0.它的逆命题是否正确？生 显然正确.师 类似地，如果a ＜b ，则a 减去b 是负数，如果a =b ，则a 减去b 等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a ＞b ⇒a -b ＞0;a =b ⇒a -b =0;a ＜b ⇒a -b ＜0.师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生 只要考察它们的差就可以了.师 很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题) ［合作探究］【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识) （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析. （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2b a +与ba 112+ (a ＞0,b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞0. ∴ba b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞. （2）a 4-b 4-4a 3(a -b )=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b)=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a 3)=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b 2)=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］,∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号),又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞0.∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜0.∴a 4-b 4＜4a 3(a -b).师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. (此时，老师用投影仪给出下列问题)［合作探究］【问题2】 求证：（1）a ＞b 且c ＞0⇒ac ＞bc ；（2）a ＞b a +c ＞b +c .师请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的基本性质，∵a ＞b ,∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，即ac ＞bc.师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生 ac -bc =(a -b )c ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，所以得证.师 这位同学证明得是否正确？生 正确.师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c .师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生（齐声）没问题.师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析. （此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例2) ［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞.师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c ＞.师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求. 课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）a ＞b ,b ＞c ⇒a ＞c ;a ＞b ,b ＞c ⇒a -b ＞0,b -c ＞0⇒ (a -b )+(b -c )＞0⇒a -c ＞0a ＞c .（2）a ＞b a +c ＞b +c ;a ＞b ⇒a -b ＞0⇒ (a -b )+(c -c )＞0⇒ (a +c )-(b +c )＞0⇒a +c ＞b +c .（3）a ＞b ,c ＞0⇒ac ＞bc ;a ＞b ,c ＞0⇒a -b ＞0,c ＞0⇒ (a -b )c ＞0⇒ac -bc ＞0⇒ac ＞bc .（4）a ＞b ,c ＜0⇒ac ＜bc .a ＞b ,c ＜0⇒a -b ＞0,c ＜0⇒ (a -b )c ＜0⇒ac -bc ＜0⇒ac ＜bc .。

§2.2 不等式及其基本性质预备知识∙数与式的基本运算∙数轴重点∙比较两个实数的大小∙不等式的解集难点∙不等式的基本性质∙比较式的大小学习要求∙了解不等式的概念，∙熟练应用不等式的基本性质解题1. 不等式及其基本性质 我们先用天平来做两个实验． 实验1：在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g 的砝码，观察天平平衡的情况．当天平处在平衡状态，说明两端的 重量是相等的；当天平处在不平衡状态， 则两端的重量不等．在实验中你可以观 察到：(1)天平平衡是可能的；(2)天平不平衡状态是经常发生的， 所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系． 在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“≠”或“<(≤)”、“>(≥)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<(≤)”、“>(≥)”表示的不等量关系．用符号“<(≤)”、“>(≥)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．用x 表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x >1，读作x 大于1；图2-11(2)表示x <2，读作x 小于2． 课内练习11.请你用“>(≥)”、“<(≤)”表示你在实验中出现的不等量关系．2.字母a ,b ,c ,d ,e ,f 所表示的数如图所示．用“>(≥)” 、“<(≤)”连接任意两 个字母．实验2：选图2-11中天平一种不平衡态．(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如⇒ 7+3>5+3(即10>8)；⇒ 7+(3⨯3-3)>5+(3⨯3-3)(即13>11)； ⇒ 7-9>5-9(即-2>-4)．(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如7>5 ⇒ 7⨯2>5⨯2 (即14>10)；-5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8d e c f a b∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙第2题图7>57>5 ⇒ 7÷2>5÷2 (即3.5>2.5)； 7>5 ⇒ 7⨯x >5⨯x , x >0．但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证：7>5 ⇒ 7⨯(-2)<5⨯(-2)(即-14<-10)； 5>-7 ⇒ 5⨯(-5)<(-7)⨯(-5)(即-25<35)； -3<-2 ⇒ (-3)÷(-4)>(-2)÷(-4)(即43>21)． 这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向． 课内练习2 1. 因为3<5，所以(1)3+2 5+2，根据 ； (2)3+(-2) 5+(-2)，根据 ． 2. 因为4>2，所以(1)4⨯3 2⨯3，根据 ； (2)4⨯(-3) 2⨯(-3)，根据 ． 3. 用不等式表示下面的文字意思： (1)x 与3的差大于0； (2)y 与5的和小于1； (3)y 的3倍不小于6． 4. 利用不等式的基本性质填空：(1)不等式x +3>0的两边同减去3后，不等式成为 ； (2)不等式y +6<2y -4的两边同加上4后，不等式成为 ； (3)不等式21x +7<-9的两边同乘以2后，不等式成为 ； (4)不等式9x +18<18x +6的两边同除以9后，不等式成为 ； (5)不等式-21x +7<-9的两边同乘以-2后，不等式成为 ； (6)不等式9x +18<-18x +6的两边同除以-9后，不等式成为 ．根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a ,b ，有 a <b ⇔ a-b <0； a >b ⇔ a-b >0； a =b ⇔ a-b =0．(这里的记号“⇔”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．例1 比较65和76的大小． 解 因为 65-76=421423635-=-<0， 所以65<76 ▍ 例2 比较x 2+x 和3x -2的大小，其中x 为任意实数．解 因为 (x 2+x )-( 3x -2) =x 2+x -3x +2 =(x 2-2x +1)+1 =(x -1)2+1>0， 所以 (x 2+x )>( 3x -2) ▍应用求差法还可以证明：若a >b ,b >c , 则a >c ．这个性质称为不等式的传递性 课内练习31. 比较下列各组中两个实数的大小：(1)32和43； (2)-3和-4； (3)12.3和3112．2. 比较下列各组中两个式的大小(式中的x 是任意实数)： (1)(x +1)2和2x +1；(2)(x +5)(x +7)和(x +6)2．2. 数集的区间表示法在§1解一元一次不等式时，你已经知道它的解是一个数集，称为解集；即将学习的其它类型不等式的解，一般也是数集．此前的数集都是用特征描述法来表示的，为了更方便地表示数集，下面介绍一种新的、更为简单的区间表示法．(1)开区间(a , b )：(a ,b )表示{x a <x <b }， 如图2-12(1)； (2)闭区间[a , b ]：[a ,b ]表示{x a ≤x ≤b }，如图2-12(2)； (3)左开右闭区间(a ,b ]：(a ,b ]表示{x a <x ≤b }，如图2-12(3)；(4)左闭右开区间[a ,b )：[a ,b )表示{x a ≤x <b }，如图2-12(4)； (5)左开右无界区间(a ,+∞)：(a ,+∞)表示{x x >a }，如图2-12(5)； (6)左闭右无界区间[a ,+∞)：[a ,+∞)表示{x x ≥a }，如图2-12(6)；(7)左无界右开区间(-∞,b )：(-∞,b )表示{x x <b }，如图2-12(7)； (8)左无界右闭区间(-∞,b ]：(-∞,b ]表示{x x ≤b }，如图2-12(8)．图2-12(1)图2-12(2)图2-12(3)图2-12(4)图2-12(5)图2-12(6)例如不等式x +3<6的解集{x ∣x <3}是区间(-∞,3)；不等式x +3≥5的解集{x ∣x ≥2}是区间[2,+∞)；不等式5x ≤2的解集{x ∣x ≤52}是区间(-∞,52]；而不等式2(3+x )>3(3+x )的解集{x ∣x <-3}是区间(-∞,-3)． 课内练习41. 以区间法表示下列数集，并在数轴上出来： (1){x ∣x <-1}；(2){x ∣x ≤0}；(3){x ∣x >21}；(4){x ∣x ≥-31}．2. 解下列不等式，以区间法表示其解集，并在数轴上表示出来： (1) x +2<3； (2) 1-x >10； (3) 5x +2≤3x -8； (4) 1-x ≥4(x +2)．课外习题 A 组1. 用“>”或“<”填空：(1)15+6 13+6； (2)9-4 7-4； (3)6+(-2) 5+(-2)； (4)8+x 10+x ； (5)3⨯2 7⨯2； (6)4⨯(-3) 5⨯(-3)． 2. 用“>”或“<”表示下列实数的大小关系： (1)21和31； (2)32-和21-； (3)72和115； (4)211-和31． 3. 用不等式表示： (1)x 与b 的和不小于5； (2)y 的21倍小于-1； (3)x 与3的差的2倍大于0；(4)y 与-31的和不大于6．4. 在数轴上表示下列数集：(1){x |x <-2}； (2){x |x ≥3.5}； (3){x |x ≤0}； (4){x |x >-4}． 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示和以区间形式表示： (1)x +3<5；(2)x 的2倍不大于x 与3的和．B 组1. 用不等式表示： (1)x 与3的和不小于5； (2)两个数的平方和大于0；图2-12(7)图2-12(8)(3)代数式3a +2小于1； (4)代数式4x +8是负数； (5)代数式2a -1不是负数． 2. 解出题1中5个不等式．3. 比较下列两式，求出确定大小的范围：(1)x 2-2x +1与0； (2)(x +2)2与x 2+2； (3)3x +1与2x -5； (4)-2-5x 与8-6x ．C 组1. 设a >0, b >0，比较下列两式的大小： (1)b a 与a 1+； (2)a b 与1+a b ．2. 证明：若a >b >0，则a 1<b1． 3. 用 “>”,“=”,“<”, “≥”, “≤” 连接： (1)(-1)2 -12； (2)|-21| 21；(3)(-2)3 -2； (4)|a | a ．4. 若a >b , c >d ，那么a +c >b +d 成立吗？a -c >b -d 成立吗？若不成立，应作 怎样的修改使之成立？ 5．解下列不等式(1)7x +5>8x +6； (2)6x -3≤4x -4； (3)2(2-3x )<3(x -2)．。

( x 2)(x 5) 0 4.不 等 式 组 与不 x( x a) 0 等 式( x 2)(x 5) 0同 解, 则a 的取值范围是 a 2 _ __________
5.解 不 等 式 x 4x 3 x 4 x 3
2 2
3 6.若不等式 x ax 的 2 解集为(4, b ), 求a, b的值.
7.解 不 等 式 80 x x 3 3 9
8.若8x 8(a 2)x a 5 0 对 任 意 实 数均 成 立 求 实 数 x , a 的取值范围 .
4 2
不等式的解法
1.一元二次不等式 类 2.一元高次不等式 3.无理不等式
4.绝对值不等式
( 2) ax b cx d m
型
(1) 形 如 f ( x) a或 f ( x ) a
定
理
a b ab a b
例1 (1)a, b R , 分 别 求 下 列 不 等 式 定 理 取 “” 号 的 条 件 ： (i ) ab 0 (i ) a b a b (ii) ab 0 (ii) a b a b (iii) a b 且ab 0 (ii i) a b a b (iv) a b 且ab 0 (iv) a b a b


D. x 0 x 3
2.不等式 x 1 x 2 1 0解集是( D ) A . R B. C. 1 , D. 2 ,
3.对任意 R, 不等式x 1 x 2 k x 恒成立 则k的取值 范围是 k 3 _ , __________
( 2)若 不 等 式 bx c 0解 集 ax

第三课 不等式[核心速填]1．比较两实数a ，b 大小的依据a －b >0⇔a >b .a －b ＝0⇔a ＝b .a －b <0⇔a <b .2．不等式的性质3.Ax ＋By ＋C (B >0)⎩⎪⎨⎪⎧>0<0表示对应直线⎩⎪⎨⎪⎧上下方区域．4．二元一次不等式组表示的平面区域每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域． 5．两个不等式[题型探究]一元二次不等式的解法[探究问题]1．当a >0时，若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，则 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：借助函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |x <α或x >β}．2．若[探究1]中的a <0，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？ 提示：解集为{x |α<x <β}．3．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：当a >0时，不等式的解集为R ；当a <0时，不等式的解集为∅.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围.【导学号：91432361】思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不 等式，取交集判断．[解] 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2.对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52.(2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52<x <－k. ∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k ，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是－3≤k <2.母题探究：.(变条件，变结论)若将例题改为“已知a ∈R ，解关于x 的不 等式ax 2－2x ＋a <0”．[解] (1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}． (2)若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a 2a，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a . ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅. ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅. (3)若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为错误!. ②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式可化为(x ＋1)2>0， ∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为错误!；当a ＝－1时，原不等式的解集 为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，原不等式的解集为R . [规律方法] 不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法.①将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式； ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确 定一元二次不等式的解集.,(2)含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考 虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.不等式恒成立问题已知不等式mx 2－mx －1<0.(1)若x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若满足|m |≤2的一切m 的值能使不等式恒成立，求实数x 的取值范围.【导学号：91432362】思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题． [解] (1)①若m ＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m ≠0，则不等式mx 2－mx －1<0 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4,0]． (2)令f (x )＝mx 2－mx －1，①当m ＝0时，f (x )＝－1<0显然恒成立； ②当m >0时，若对于x ∈[1,3]不等式恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f3<0即可，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－1<0，f3＝9m －3m －1<0，解得m <16，∴0<m <16.③当m <0时，函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝12，若x ∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f (1)<0即可，解得m ∈R ，∴m <0符合题意．综上所述，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16. (3)令g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，若对满足|m |≤2的一切m 的值不等式恒成立，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g－2<0，g 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－x －1<0，2x 2－x －1<0，解得1－32<x <1＋32.∴实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.[规律方法] 对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种： 1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元． 2．分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . 3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． 1．设f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，(1)若对于m ∈[－2,2]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)依题意，设g (m )＝(x 2－x ＋1)m －6，则g (m )为关于m 的一次函数，且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以g (m )在[－2,2]上递增， 所以欲使f (x )<0恒成立，需g (m )max ＝g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0， 解得－1<x <2.(2)法一：要使f (x )＝m (x 2－x ＋1)－6<0在[1,3]上恒成立， 则有m <6x 2－x ＋1在[1,3]上恒成立，而当x ∈[1,3]时， 6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67， 所以m <⎝⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1min ＝67，因此m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 法二：①当m ＝0时，f (x )＝－6<0对x ∈[1,3]恒成立，所以m ＝0. ②当m ≠0时f (x )的图象的对称轴为x ＝12，若m >0，则f (x )在[1,3]上单调递增， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (3)<0即7m －6<0， 所以0<m <67.若m <0，则f (x )在[1,3]上单调递减， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (1)<0即m <6， 所以m <0.综上可知m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.线性规划问题已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.【导学号：91432363】思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m ，故需讨论m 的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m 的值.1 [作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，目标函数z ＝x ＋my 可看作动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.] [规律方法]1．线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．[跟踪训练]2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解]设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，目标函数z＝x＋0.5y.画出可行域如图中阴影部分．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4，y＝6，即M(4,6)．此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.利用基本不等式求最值设函数f(x)＝x＋ax＋1，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值.【导学号：91432364】思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． [解] (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋ax ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f (x )取等号，此时f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋ax ＋1－1若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到．f (x )在[0，＋∞)上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝a .3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．。