高中数学(北师大版)必修五教案：3.3 知识汇总：基本不等式

北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案第一课时§3.1 不等关系（一）一、教学目标：（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二、教学重点，难点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 (一)．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？ (3)下表给出了三种食物X ,Y ,Z 的维生素含量及成本：维生素A (单位/kg) 维生素B (单位/kg) 成本(元/kg)X 300 700 5 Y 500 100 4 Z3003003某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B ，设X ,Y 这两种食物各取x kg ，y kg ，那么x ,y 应满足怎样的关系？ 2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？ （二）．学生活动在问题(1)中,设x 人(20x <)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x ⨯≤． 在问题(2)中,设每本杂志价格提高x 元,则发行量减少50.50.22x x⨯=万册,杂志社的销售收入为5(2)(10)2x x +-万元．根据题意，得5(2)(10)22.42xx +->， 化简，得2510 4.80x x -+<．在问题(3)中,因为食物X ,Y 分别为x kg ，y kg ，故食物Z 为(10)x y --kg ，则有300500300(100)35000,700100300(100)40000,x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩即25,250.y x y ≥⎧⎨-≥⎩ 上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系. （三）．建构数学1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．2．比较两实数大小的方法——作差比较法：比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号． （四）．数学运用 1．例题：例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．解：,x y 满足的条件为638471000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．例3．比较大小：（1）(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-；（2）a mb m ++与ab（其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：（1）)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22(215)(28)70a a a a =-----=-<∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-．（2）()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m ab m b +>+． 说明：不等式a m ab m b+>+（0b a >>，0m >）在生活中可以找到原型：b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若再添加m 克糖（0m >），则糖水便甜了． 例4．已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+-2(3)(32)(3)x x x x =-+-+- =(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1） 当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +； （2） 当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3） 当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．2．练习：（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与 的大小．（五）．回顾小结：1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比较法．（六）．课外作业：课本第68页 练习 第1，2，3题（“不求解”改为“并求解”）．补充：1．比较222a b c ++与ab bc ca ++的大小；2．已知0,0,a b >>且a b ≠，比较22a b b a+与a b +的大小．第二课时§3.1 不等关系（二）一、教学目标1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 二、教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。

第三章 不等式 3.1.1 不等关系教学目标 1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系；教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教学过程导入新课日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.则当天的气温t 应该满足： 2：对于数轴上任意不同的两点A 、B ，若点A 在点B 的左边，则x a x b .3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.则这个数x 可表示为 .4.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.可以表示为 推进新课实例5:当我们在路上看到这个路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 满足实例6:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%. 可以表示为 ［合作探究］1、2、3、4、及实例5、实例6的答案［过程引导］一、 什么是不等式呢?用不等号“≠，>，<，≥ ，≤ ”表示不等关系的式子叫不等式. 如：-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a +2≥0;3≠4.问题1： 设点A 与平面α的距离为d, B 为平面α上的任意一点.用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系借助图形来表示不等量关系,过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |.问题2： 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 答案：表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20或者表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20. 问题3： 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?解 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x反馈练习1.若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?2.锐角 ABC 中，B=2A,为了求A 的范围，应该怎样列出相应的不等式（组）？3.某种植物适宜生长在温度为1820oo CC 的山区。

《3.1 基本不等式》 本节主要目标是使学生了解基本不等式的代数、几何背景。

本节一开始，首先从代数角度导出基本不等式，然后利用几何背景素材加以阐释，给出了基本不等式的几何解释，并进一步探究交流了基本不等式的其他解释。

整小节的中心在于学生的探究，淡化不等式的证明，加强基本不等式与几何、日常生活的联系，特别是注重了基本不等式的几何背景。

由于前面已经学习了不等式的概念、性质，不等式的解法，根据学生的认知规律及特点，大部分学生都积累了一定的成功经验，积累了一定的学习兴趣及信心，因此教学时教师可放手大胆地让学生进行合作探究。

【知识与能力目标】通过本节探究，使学生学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。

【过程与方法目标】通过对基本不等式的不同解释，渗透“转化”的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识。

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【情感态度价值观目标】通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯。

【教学重点】 用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab b a ≥+2的多种解释。

【教学难点】发现并对基本不等式给出几何解释。

◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教材分析◆教学目标电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分 1.勾股定理的背景及推导赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。

2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？引导学生从面积关系得到不等式：222a b ab +≥,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH 缩为一个点时，有22=2a b ab +（2）总结结论：一般的，如()22,,2=a b R a b ab a b ∈+≥=那么当且仅当时“”成立（3）推理证明：作差法。

教学准备1. 教学目标不等式与绝对值不等式2. 教学重点/难点不等式与绝对值不等式3. 教学用具4. 标签教学过程命题点解绝对值不等式1．不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法．|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．方法1(分类讨论思想)：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集；方法2(函数与方程思想)：构造函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c，写出f(x)的分段解析式，作出图象，找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可．方法3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|x－a|＋|x－b|表示数轴上点P(x)到点A(a)，B(b)距离的和．关键是找出到A(a)，B(b)两点距离之和为c的点，“≤”取中间，“≥”取两边．注意：这里c≥|a－b|，若c<|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c的解集为∅，|x－a|＋|x－b|≥c的解集为R.2．绝对值不等式的性质(1)定理1：|a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，当且仅当ab≥0时等号成立；(2)定理2：如果a，b，c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立；(3)||a|－|b||≤|a＋b|.注意：含绝对值的三角不等式|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中，对于等号成立的条件应注意：|a＋b|＝|a|＋|b|中，ab≥0，而|a－b|＝|a|＋|b|中，ab≤0等．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得3(2)＜x＜1；当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.所以f(x)＞1的解集为＜x＜2(2).(2)由题设可得f(x)＝－x＋1＋2a，x＞a.(3x＋1－2a，－1≤x≤a，)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，0(2a－1)，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为3(2)(a＋1)2.由题设得3(2)(a＋1)2＞6，故a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．1．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能平方．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．2．解含参数的绝对值不等式问题的两种方法：(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数问题来解决．(2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式子的最值或值域，然后再根据题目要求求解．课时规范训练1. (2016·衡水中学质检)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若EB(EC)＝3(1)，EA(ED)＝2(1)，求AB(DC)的值；(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，第十四章不等式选讲∴∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△EBA，∴EB(ED)＝EA(EC)＝AB(DC)，∴EB(ED)·EA(EC)＝AB(DC)2，即2(1)×3(1)＝AB(DC)2，∴AB(DC)＝6(6).(2)证明：∵EF2＝FA·FB，∴FA(EF)＝FE(FB)，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠FBE，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.2. 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知FA(BC)＝EA(DC)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，得CE＝DC.又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为2(1).3．(2016·河南商丘二模)已知直线l经过点P，1(1)，倾斜角α＝6(π)，圆C 的极坐标方程为ρ＝·cos4(π).(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．解：(1)直线l的参数方程为.(π)(t为参数)即t.(1)(t为参数)．由ρ＝cos4(π)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得x2＋y2＝x＋y，即圆C的直角坐标方程为2(1)2＋2(1)2＝2(1).(2)把t.(1)代入2(1)2＋2(1)2＝2(1)，得t2＋2(1)t－4(1)＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2＝－4(1)，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝4(1).4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈2(π).(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为y＝sin t(x＝1＋cos t，)(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝3(π).故D的直角坐标为3(π)，即3().5．(2015·高考陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2＜ x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解：(1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a，则b－a＝4，(－b－a＝2，)解得b＝1.(a＝－3，)(2)＋＝＋≤＝2 ＝4，当且仅当3(4－t)＝1(t)，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.6.(2016·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，a∈R.(1)当a＝3时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)＝|x－1＋a|，求x的取值范围．解：(1)当a＝3时，f(x)＝|2x－1|＋|x－3|＝，(1)其图象如图所示，与直线y＝4相交于点A(0,4)和B(2,4)，∴不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤2}．(2)∵f(x)＝|2x－1|＋|x－a|≥|(2x－1)－(x－a)|＝|x－1＋a|，∴f(x)＝|x－1＋a|⇔(2x－1)(x－a)≤0，①当a<2(1)时，x的取值范围是2(1)；②当a＝2(1)时，x的取值范围是2(1)；③当a>2(1)时，x的取值范围是≤x≤a(1).。

《基本不等式与最大(小)值》本节的标题明确地说明了基本不等式的作用。

从高考来看，基本不等式一直是个热点，它在不等式的证明和求最大(小)值的过程中有着广泛的应用，它作为一个工具，在电工学、力学、机械设计与制造等方面都有着广泛的应用。

在本节教学过程中，要坚持协同创新的原则，把教材创新，教法创新以及学法创新有机地统一起来。

教师创新的引导，学生创新的探究，才能营造一个有利于创新能力培养的良好环境。

本节的中心任务就是巩固基本不等式的应用。

本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

本节的新课标要求是：会用基本不等式解决简单的最大(小)问题。

从历年的高考来看，基本不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等。

不等式的灵活证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点。

题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点。

【知识与能力目标】 进一步掌握基本不等式ab ba ≥+2(a ＞0，b ＞0)，会用此不等式求某些函数的最大(小)值，能够解决一些简单的实际问题。

【过程与方法目标】通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力、创新能力和勇于探索的精神。

【情感态度价值观目标】通过实例的引入及实际问题的探究，使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生的应用意识，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

【教学重点】用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题。

【教学难点】基本不等式ab ba≥+2等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分让学生回忆上节课我们探究的基本不等式：如果a ，b 是正数，那么ab ba ≥+2(当且仅当a ＝b 时等号成立)。

在这个不等式中，+2a b为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样基本不等式就有了几何意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.3.1 基本不等式 本节教材分析 教材首先给出不等式,222xy y x ≥+分析其等号成立的条件，在此基础上得到基本不等式（均值不等式），将均值不等式分别用文字语言、符号语言来表示，然后给出了基本不等式的几何解释，帮助学生认识和理解基本不等式.例1是基本不等式基础上的拓展，目的是让学生认识到：（1）利用基本不等式可推出他的不等式；（2）利用图形中各种不等关系可以发现新的不等式，尽管写出的不等式形式复杂，但很明了.三维目标1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤的证明过程；教学难点: 2a b +≤等号成立条件 教学建议：xy y x ≥+2222a b +≤成立的条件是不同的.前者中的x,y 可以是全体实数，而后者中的a,b 只能是非负数.授课时要强调等号成立的条件；然后给学生教会如何用均值不等式解题.新课导入设计导入一:[直接导入] 在代数中，有许多有趣的不等式，例如对任意实数x,y,0)(2≥-y x 总是成立的，即,0222≥+-y xy x 所以xy y x ≥+222，当且仅当y x =时，等号成立，并进(0,0),2a b a b +≤>> 这是一个非常重要的一个不等式.本节我们对其作进一步的探究，由此展开新课.导入二：[情景导入]教师自制风车，让学生把教师自制风车转起来，这是学生小时候的得意玩具；手持风车把手，来一个360度的旋转，不但风车转的漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情景引入达到高潮，此时教师提问，展开新课.。

高三数学《基本不等式》教学设计高三数学《基本不等式》教学设计作为一名辛苦耕耘的教育工作者，时常需要编写教学设计，借助教学设计可以让教学工作更加有效地进行。

教学设计应该怎么写呢？下面是小编收集整理的高三数学《基本不等式》教学设计，仅供参考，欢迎大家阅读。

一、内容和内容解析本节课是北师大版高中数学必修5中第三章第4节的内容。

主要是二元均值不等式。

它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

二、教学目标和目标解析教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

3.3.12a b +≤ 授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】2a b +≤的证明过程； 【教学难点】2a b +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入2a b +≤的几何背景：(课本105页阅读材料) 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为x 、y 。

这样，4个直角三角形的面积的和是2xy ，正方形的面积为22x y +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222x y xy +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即x=y 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222x y xy +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈y x xy y x y x3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2y x xy y x -=-+当22,()0,,()0,x y x y y x y ≠->=-=时当x 时所以，0)(2≥-y x ，即 ：.222xy y x ≥+4．1） 2a b +≤x 、y ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +≤2）2a b +≤ 用分析法证明：要证 2a b +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2)要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。

1 3.3.1 基本不等式本节教材分析 教材首先给出不等式,222xy y x ≥+分析其等号成立的条件，在此基础上得到基本不等式（均值不等式），将均值不等式分别用文字语言、符号语言来表示，然后给出了基本不等式的几何解释，帮助学生认识和理解基本不等式.例1是基本不等式基础上的拓展，目的是让学生认识到：（1）利用基本不等式可推出他的不等式；（2）利用图形中各种不等关系可以发现新的不等式，尽管写出的不等式形式复杂，但很明了.三维目标1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤的证明过程；教学难点:2a b +≤等号成立条件 教学建议： xy y x ≥+2222a b +≤成立的条件是不同的.前者中的x,y 可以是全体实数，而后者中的a,b 只能是非负数.授课时要强调等号成立的条件；然后给学生教会如何用均值不等式解题.新课导入设计导入一:[直接导入] 在代数中，有许多有趣的不等式，例如对任意实数x,y,0)(2≥-y x 总是成立的，即,0222≥+-y xy x 所以xy y x ≥+222，当且仅当y x =(0,0),2a b a b +≤>> 这是一个非常重要的一个不等式.本节我们对其作进一步的探究，由此展开新课.导入二：[情景导入]教师自制风车，让学生把教师自制风车转起来，这是学生小时候的得意玩具；手持风车把手，来一个360度的旋转，不但风车转的漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情景引入达到高潮，此时教师提问，展开新课.。

高二数学 第三章第3节基本不等式 北师大版必修5【本讲教育信息】一、教学内容：基本不等式及其应用二、教学目标：（1）熟练地掌握基本不等式),(,222R b a ab b a ∈≥+，)R b ,a (,ab 2ba +∈≥+，会解释其几何意义，并能利用基本不等式求函数的最大值（最小值）及在实际问题中的应用。

（2）在基本不等式应用过程中，体会等价转化的数学思想、函数的思想，会用配凑法，判别式法等数学思想方法解决问题。

三、知识要点分析： 1. 两个基本不等式（1）)R b ,a (,ab 2b a 22∈≥+（当且仅当a=b 时等号成立）。

（2）)R b ,a (,ab 2ba +∈≥+（当且仅当a=b 时等号成立）。

（2ba +叫两个正数a ，b 的算术平均数，ab 叫两个正数的几何平均数） 由上述的两个基本不等式得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤++≤⇒∈≥+2b a )2b a (2b a ab )R b ,a (,ab 2b a 2222222 2)2(2b a ab ab b a +≤⇒≥+ 2b a 2ba ab b1a 1222+≤+≤≤+不等式链： 2. 基本不等式的应用：（1）若x+y=P （P 为定值，x ，y )+∈R ⇒4P )2y x (xy 22=+≤，（x=y 时取等号，和定积大）（2）若xy=S （S 为定值，x ，y )R +∈时取等号，积定和小y x (,S 2xy 2y x ==≥+⇒）3. 利用基本不等式),(,22+∈≥+R b a ab ba 求最值注意三点：（一正、二定、三相等） 一正：指公式中的字母均为正。

二定：和为定值积最大，积为定值和最小。

三相等：等号成立的条件，即等号应能取到。

否则不能用均值不等式求最值。

4. 基本不等式在实际问题中的应用：审题→建模→利用基本不等式求解→还原到实际问题。

四、典型例题分析考点一：利用基本不等式证明简单的不等式例1. （1）已知a ，b ，c +∈R 且a+b+c=1求证：9111≥++cb a （2）已知a ，b ，c ,R ∈求证：2222222≥+++++++cb ac a c b b a思路分析：（1）把已知条件中的“1”换成a+b+c ，然后拆分、配凑创造使用均值不等式的条件。

教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。

2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。

二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。

●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。

●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。

●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。

2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。

●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。

●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。

3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。

●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。

●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。