母函数（生成函数）（发生函数）（发生函数）英文：generating function我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。
这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。
（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换）§1 母函数利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k=≥的知识，我们用一个母函数+++=∑=≥22100)(x a x a a xa x g kk k这里x k 是指数函数来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转记为成函数。
假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。
这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的母函数仅只是序列的另一种表示。
如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{}2,,1ωω的母函数为+++++=rx x x x F rcos 2cos cos1)(2ωωω另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ，xx x x x 411)1()1()1(6)1(2122-=-+++-+++故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
高考数学冲刺复习母函数考点速查高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在高考数学的众多考点中，母函数是一个较为复杂但又十分重要的知识点。
在冲刺复习阶段，对母函数考点进行速查和强化，能够帮助我们在考试中更加从容应对。
一、什么是母函数母函数，简单来说，就是一种将数列与多项式联系起来的工具。
通过母函数，我们可以将一个数列的各项用一个多项式的系数来表示。
例如，对于数列 1，2，3，4，5，其对应的母函数可以表示为 G(x) ＝ 1 ＋ 2x ＋ 3x^2 ＋ 4x^3 ＋ 5x^4 。
母函数的作用在于它能够将一些离散的数量关系转化为连续的函数形式，从而便于我们进行分析和计算。
二、常见的母函数类型1、普通型母函数普通型母函数主要用于解决组合计数问题。
比如，从 n 个不同元素中选取 r 个元素的组合数，可以通过普通型母函数来表示和计算。
2、指数型母函数指数型母函数通常用于解决排列计数问题。
在涉及到具有重复元素的排列时，指数型母函数能够发挥重要作用。
三、母函数的基本运算1、加法运算两个母函数相加，就是将它们对应的多项式的系数相加。
例如，G1(x) ＝ 1 ＋ 2x ＋ 3x^2 ，G2(x) ＝ 2 ＋ 3x ＋ 4x^2 ，则 G1(x) ＋ G2(x) ＝ 3 ＋ 5x ＋ 7x^2 。
2、乘法运算母函数的乘法运算对应着组合问题中的分步计数原理。
例如，G1(x) ＝ 1 ＋ 2x ，G2(x) ＝ 1 ＋ 3x ，则 G1(x)×G2(x) ＝ 1 ＋ 5x ＋ 6x^2 。
四、母函数在解题中的应用1、求解组合数通过构造合适的母函数，可以方便地求出特定条件下的组合数。
例如，求从 5 个不同的球中选取 2 个球的组合数。
我们可以设母函数 G(x) ＝（1 ＋ x)＾5 ，展开后 x^2 的系数即为所求组合数。
2、解决分配问题在将一定数量的物品分配到不同的容器或分组的问题中，母函数能够清晰地展现各种可能的分配情况。
