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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案)

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1 3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、教材分析 本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。 二、教学目标 ⒈掌握两角和与差公式的推导过程； ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。 三、教学重点难点 重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式； 难点：两角和与差公式变aSina＋bCosa为一个角的三角函数的形式。 四、学情分析 五、教学方法 1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 多媒体课件 七、课时安排：1课时 八、教学过程 （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

coscoscossinsin；coscoscossinsin．

这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

sincoscoscoscossinsin2222







sincoscossin．

sinsinsincoscossinsincoscossin



让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） 2

sinsincoscossintancoscoscossinsin



．

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan． 注意：,,()222kkkkz 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ tantantantantantan1tantan1tantan







注意：,,()222kkkkz． （二）例题讲解

例1、已知3sin,5是第四象限角，求sin,cos,tan444的值. 解：因为3sin,5是第四象限角，得2234cos1sin155， 3sin35

tan4cos45 ，

于是有 242372sinsincoscossin444252510 242372coscoscossinsin444252510



两结果一样，我们能否用第一章知识证明？ 3tantan144tan7341tantan144







 3

例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、sin72cos42cos72sin42；（2）、cos20cos70sin20sin70；（3）、1tan151tan15．

解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

（1）、1sin72cos42cos72sin42sin7242sin302；

（2）、cos20cos70sin20sin70cos2070cos900；

（3）、1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15． 例3、化简2cos6sinxx 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 132cos6sin22cossin22sin30coscos30sin22sin3022xxxxxxx





思考：22是怎么得到的？222226，我们是构造一个叫使它的正、

余弦分别等于12和32的. （三）反思总结，当堂检测。 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。 设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录） （四）发导学案、布置预习。 设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。 九、板书设计 十、教学反思 ⑴注重教学过程，注重探索，应贯穿于每一节课的始终。 ⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系，创设问题情景，激发学生的学习兴趣。 ⑶通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。 在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步! 十一、学案设计(见下页) 4

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课前预习学案 一、预习目标

1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值； 2.经历两角和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力； 二、预习内容 1、在一般情况下sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ. 3sin,sin()_________;sin()_________.544则若是第四象限角，则

.___________)6tan(,2tan是第三象限角，求

2、等。灵活运用，如注意角的变换及公式的)2()2(2),()(2;)( 已知)tan(,52)tan(41，那么的值为)5tan(( ) A、－183 B、183 C、1213 D、223 3.在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan(α±β)= tantan1tantan可变形为：tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ);

±tanαtanβ=1-)tan(tantan, .___________40tan20tan340tan20tan 4、又如：asinα+bcosα=22ba (sinαcosφ+cosαsinφ)= 22ba sin(α+φ),其中tanφ=ab等，有时能收到事半功倍之效. ;__________cossin .___________cossin

xxsincos3=_____________.

三、提出疑惑 5

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。 2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 学习重难点： 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 二、学习过程 （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

动手完成两角和与差正弦和正切公式. 观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan． 注意：,,()222kkkkz 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ tantantantantantan1tantan1tantan







注意：,,()222kkkkz． （二）例题讲解

例1、已知3sin,5是第四象限角，求sin,cos,tan444的

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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)


sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
两角和与差的正弦余弦正切公式导学案

两角和与差的正弦余弦正切公式导学案

两角和与差的正弦余弦正切公式导学案一、知识导入1.热身问题：两角和与差的公式是什么？在何种情况下适用？2.引入话题：今天我们将学习两角和与差的正弦、余弦和正切公式，这些公式在解决三角函数问题时非常有用。

二、学习内容1.两角和的公式导出(1)先导出两个重要的三角函数和差公式：① 余弦和差公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)② 正弦和差公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)③公式推导过程(2)利用正弦和差公式导出正弦两角和公式：① sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)② sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)③将以上两个公式相加可得：sin(a + b) + sin(a - b) = 2sin(a)cos(b)④ 整理得：sin(a + b) = 2sin(a)cos(b) - sin(a - b)2.两角差的公式导出(1)正弦差公式的导出过程与正弦和公式相似，推导思路相同，不再赘述。

(2)余弦差公式的导出过程：① cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)② 令c = -b，代入cos(-c) = cos(c)，得到cos(a - c) =cos(a)cos(c) + sin(a)sin(c)③ 结合两个公式可得cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)3.两角和与差的正切公式(1) 利用sin和cos的定义式得到tan的定义式：tan(a) = sin(a) / cos(a)(2)利用正弦和差公式和余弦和差公式推导得到正切两角和公式：① tan(a + b) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)) / (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))② 可以将分子和分母同时除以cos(a)cos(b)，得到：tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))4.注意事项和特殊情况(1)在计算过程中，应注意角度的单位，推导过程中常用弧度制。

两角和与差的正弦、余弦与正切公式

两角和与差的正弦、余弦与正切公式

b=
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
两角和与差的正、余弦公式教案

两角和与差的正、余弦公式教案

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计 富锦一中 陈金生教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2、了解公式间的内在联系，能用公式进行简单的求值.3、培养学生的创新意识与应用意识.教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用.教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系.授课类型：新授课教 具：多媒体、导学案 教 法：合作探究、启发引导 教学过程：一、 复习巩固上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15º=cos(45º-30º) 之类问题，而cos75º=cos(45º+30º) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？二、 公式推导借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有： 思考途径一：把βα+转化为)(βα--cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.思考途径二：把任意角β换成-βcos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 即：两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β. 注意：1两角和差余弦公式的异同之处.2两角和、差余弦公式间的关系.3公式中的角具有任意性.4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值（1） cos75º （2） cos105º如何利用两角和与差的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β和 cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β推导出两角和与差的正弦公式？运用公式cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β及诱导公式有：sin()βα+=cos[)(2βαπ+-]=cos[βαπ--)2(] =cos(απ-2)cos β+sin(απ-2)sin β= sin αcos β+cos αsin β 即：两角和的正弦公式 sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β. 在上式中用-β代换β 得：sin()βα-= sin αcos （-β）+cos αsin （-β） 即：两角差的正弦公式 sin()βα-= sin αcos β-cos αsin β注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.2 两公式间的关系、异同.3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号.4牢记公式，熟练左右互化.练习2、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值(1) sin75º (2) sin105º如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos(βα+)≠0时，将公式sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β 与cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β两边分别相除，有：βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若cos αcos β≠0 时，上式即为:两角和的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 用-β代换β，则有：两角差的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 练习3、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值(1) tan75º (2) tan105º注意：1、 和角公式: S )(βα+、 C )(βα+ 、 T )(βα+差角公式： S )(βα-、 C )(βα- 、 T )(βα-2、公式之间的内在联系.3、明确各三角函数的意义.4、公式的逆向变换、多向变换.5、理解公式推导中角的代换的实质.6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例 如：ααααπαπαπcos sin 0cos 1sin 2sin cos 2cos )2cos(=⋅-⋅=-=+7、形如asinx+bsinx(a 、b 不同时为0)的变化.三、例题例4：:课堂练习：1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 2.已知sin α－sin β＝－31, cos α－cos β＝－31,求cos(α－β)的值。